【精选备课】2022-2023学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 25.2求锐角的三角比的值 同步练习（喊解析）

25.2求锐角的三角比的值
一、单选题
1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为 （　　）
A． B． C．3 D．
2．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，在中，，，，则　　
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A． B． C． D．2＋2
7．已知为锐角，且，则 （　　）
A． B． C． D．
8．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
二、填空题
11．如图，为轴负半轴上一点，、是函数的图像上的两个动点，且．若的最小值为10，则点的坐标为______．
12．如图，在正方形网格中有，则的值等于______．
13．比较大小：____(填“”“”或“＞”)
14．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．若AD、BC所在直线互相垂直，的值为 ___．
15．如图，在中，是边上的高，已知，则_______．
三、解答题
16．计算：
17．计算：
18．（1）计算：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
20．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求解即可；
【详解】
由图可知：，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，准确利用勾股定理和正弦的定义求解是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可．
【详解】
选项A，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，
选项A正确；
选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，
即BC＝m tanα，
选项B正确；
选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，
选项C错误；
选项D，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝，
选项D正确.
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
连接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，从而求解．
【详解】
如图，连接，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得，，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出斜边AB，再求出sinB即可．
【详解】
∵在中，，，，
∴，
∴.
故答案为A.
【点睛】
本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.
5．C
【解析】
【分析】
连接AD，由△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是tan∠BDE=tan∠BAD．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=5，
∴AD==12，
∴tan∠BAD==
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠BAD，
∴tan∠BDE=tan∠BAD=．
故选C．
【点睛】
此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
等腰三角形的性质.
6．B
【解析】
【分析】
过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】
解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，，
∴，
∴，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，，
∴△ADB∽△APC，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC PD∴，
当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】
∵为锐角，且，
∴．
故选A．
【点睛】
此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
8．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】
解：由勾股定理得，，
所以，．
故选：．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得BC的长，根据，可得答案．
【详解】
解：在中，由勾股定理，得，
∴．
故选D
【点睛】
本题考查了锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
10．A
【解析】
【分析】
根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】
解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
11．
【解析】
【分析】
取MN的中点为B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：AB最小值，由AB⊥MN时，AB最小，再通过即可求出AC的长，从而得出A点的坐标．
【详解】
假设中点为点，连接，根据直角三角形斜边中线定理可得
∵
∴
（即定点A到直线上动点的最短距离为5）
∵的图象与x、y轴交于C、D两点，
∴C(0，3)，D(4，0)，
根据垂线段最短可得，直线时，如图所示
在中，由勾股定理得：
中，
中，
∴，
∴
∵点A在轴的负半轴
∵
∴
∴点A的纵坐标为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标，以及垂线段最短和三角函数等知识，得出垂线段AB长是解决问题的关键．
12．
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，最后根据锐角三角函数的定义求出sin∠ABC的值．
【详解】
解：∵AB=，BC=，AC=，
∴AB2=BC2+AC2，
∴∠ACB=90°．
∴sin∠ABC=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和它的逆定理以及锐角三角函数的定义．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
13．
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质得，即可比较它们的大小关系．
【详解】
∵
∴
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了三角函数值大小比较的问题，掌握三角函数的性质是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AHBH，由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，先证出∠AGB=∠DGC，由，证出△AGB△DGC，得出比例式，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出，即可得出的值．
【详解】
解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：
则AHBH，
GE是AB的垂直平分线，
GA= GB，
同理：GD= GC，
在△AGD和△BGC中，
，
△AGD△BGC (SAS)，
∠GAD =∠GBC，
在△GAM和△HBM中，
∠GAD =∠GBC，∠GMA= ∠HMB，
∠AGB = ∠AHB = 90°，
∠AGE=∠AGB= 45°，
∠AGD = ∠BGC，
∠AGB = ∠DGC=90°，
∴△AGB和△DGC是等腰直角三角形，
，
，
又∠AGE=∠DGF，
∠AGD=∠EGF，
△AGD△EGF，
．
【点睛】
本题是相似三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，本题难度较大，综合性强，解题的关键是通过作辅助线综合运用全等三角形和相似三角形的性质．
15．4
【解析】
【分析】
先由，可得，在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，可求BC=18x，利用BC=6，解得x＝，然后利用AD＝12x进行计算．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键．
16．-2
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可．
【详解】
解：原式＝
=-2
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．
【解析】
【分析】
首先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的运算即可求得．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了含特殊角的三角形函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角形函数值及二次根式的运算是解决本题的关键．
18．（1）；（2）；见解析
【解析】
【分析】
（1）根据负整指数幂，特殊三角函数值，零指数幂，立方根，然后化简绝对值，合并同类项即可；
（2）将不等式组标号，解每个不等式，利用数轴表示不等式的解集，求出不等式组公共解即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴表示不等式的解集，
∴此不等式组的解集为．
【点睛】
本题考查实数混合运算，不等式组解法，掌握负整指数幂，特殊三角函数值，零指数幂，立方根，绝对值符号化简，以及不等式的解法，会利用数轴表示不等式组解集是解题关键．
19．（1）见解析1；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】
解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
20．（1）四边形ACC'A'是菱形，理由详见解析；（2）CB=10．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．
（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．
【详解】
（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
则四边形ACC'A'是平行四边形．
又∵CD平分∠ACB的外角，
∴∠ACA′=∠A'CC'，
∵AA'∥BB'，
∴∠C'CA'=∠AA'C，
∴∠AA'C=∠ACA'，
∴AA'=AC，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，
∴cos∠BAC=，即
∴AC=26．
∴由勾股定理知：
【点睛】
本题考查了平移的性质，解直角三角形，勾股定理以及菱形的判定与性质等知识点．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．