【精选备课】2022-2023学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 25.3解直角三角形 同步练习（含解析）

25.3解直角三角形
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为( )
A． B． C． D．
2．如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（、、在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．-1 B． C． D．2
4．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离为，在A点测得D点的仰角为，在B点测得D点的仰角为，则乙建筑物的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，则A′的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
8．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ）
A． B． C． D．
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
二、填空题
11．如图，矩形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若，，则_________．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为____．
13．如图，在中，，，，点在边上，，联结．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为________．
14．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________ m．
15．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为_____．
三、解答题
16．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
17．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求的值：
（2）若，求的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
19．如图，两楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
20．如图，矩形在平面直角坐标系中， 交 轴于点，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 轴正方向移动，移动时间为秒，过点 P 作垂直于 轴的直线，交 于点 M ，交 或 于点 N ，直线扫过矩形 的面积为．
（1）求点 的坐标；
（2）求直线 移动过程中到点之前的 关于 的函数关系式；
（3）在直线 移动过程中，第一象限的直线上是否存在一点 ，使 是等腰直角三角形 若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
延长DC与AB交于一点K．解直角三角形求出DK，再求出AD，再在△Rt△ADC中利用勾股定理求出AC．
【详解】
解：延长DC交AB的延长线于点K；
在Rt△ADK中，∠DAK=60°∠AKD=30°，BC=1，
∴CK＝2，BK＝，
∴DK=CD+CK=4，
∴AD==
在△Rt△ADC中，
AC==
故选C．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用，解题关键在于构造RtADK,然后再解直角三角形即可．
2．B
【解析】
【分析】
先通过等量代换得出，然后利用余弦的定义即可得出结论．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，掌握余弦的定义是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE交AB的延长线于点J；通过证明△CKD≌△CHE (ASA)，进而证明所构建的四边形CKJH是正方形，所以当点E与点J重合时，BE的值最小，再通过在Rt△CBK中已知的边角条件，即可求出答案.
【详解】
解：如图,过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE交AB的延长线于点J
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90° ,得到线段CE
∴∠DCE=∠KCH = 90°
∵∠ECH=∠KCH - ∠KCE，∠DCK =∠DCE-∠KCE
∴∠ECH =∠DCK
又∵CD= CE，CK = CH
∴在△CKD和△CHE中
∴△CKD≌△CHE (ASA)
∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK
∴∠CKJ =∠KCH =∠H=90°
∴四边形CKJH是正方形
∴CH=HJ=KJ=C'K
∴点E在直线HJ上运动，当点E与点J重合时，BE的值最小
∵∠A= 30°
∴∠ABC=60°
在Rt△CBK中，BC= 2
∴CK = BCsin60°=，BK=BCcos60° = 1
∴KJ = CK =
所以BJ = KJ-BK=
BE的最小值为
故选A．
【点睛】
本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
在中，解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．
【详解】
如图，过点A作于点F，在中，
，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即乙建筑物的高度为．
故答案选：B．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
过点作C⊥x轴于C，勾股定理求出OA，根据正切公式求出，由此得到∠OC=60°，根据三角函数求出OC，C，即可得到的坐标．
【详解】
解：过点作C⊥x轴于C，
∵点A的坐标为，∠ABO＝90°，
∴，
∴
∴
∴，
由旋转的性质可得，
∴∠OC=60°，
∴OC=Ocos60°=1，C=Osin60°=，
∴（-1，），
故选：A．
．
【点睛】
此题考查了旋转的性质，勾股定理，三角函数，求坐标系中点的坐标的方法：从该点向坐标轴作垂线，求对应线段的长度即可．
6．B
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【详解】
在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
7．B
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
8．B
【解析】
【分析】
作CD⊥AB于D，则△BCD是等腰直角三角形，得BD=CD，∠BCD=45°，求出∠ACD=30°，由直角三角形的性质得AD=AC=3，BD=CD=AD=3，即可得出答案．
【详解】
解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，∠BCD=45°，
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，
∴AD=AC=×6=3，CD= =3，
∴BD=CD=3，
∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）；
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】
作CE⊥y轴于E．
在Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，
∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，
∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】
解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
11．-10
【解析】
【分析】
设C（x，），根据求出OB，BC，再根据求出AC，由勾股定理求出AB，从而得出AO，得到D的坐标，进而求出k的值．
【详解】
解：设C（x，）（x＞0），
，，
∵四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，即，
解得，，（舍去），
，，
，
，即，
，
，
，
，
∵D在函数的图象上，
．
故答案为：-10．
【点睛】
此题是一道综合性较强的题目，将解直角三角形和用待定系数法求函数解析式结合起来，有一定难度．
12．2
【解析】
【分析】
以AB为边向右作等边，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于点H，证明△BAP △FAQ，由全等性质可以得到∠ABP=∠AFQ，进一步解三角形求得AE的值，判断出点Q的运动轨迹是射线FE，在△DHE中，当点Q与点H重合时，DH的值最小，利用特殊角的锐角三角函数值求解即可．
【详解】
解：以AB为边向右作等边，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于点H，如下图：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABP=∠BAE=
∵△ABF和△APQ是等边三角形
∴∠BAF=∠PAQ=，BA=FA，PA=QA
∴∠BAP+∠PAF=∠PAF+∠FAQ
∴∠BAP=∠FAQ
在△BAP和△FAQ中，
∴
∴∠ABP=∠AFQ=
∵∠FAE=
∴∠AEF=
∵AB=AF=4
∴
∴点Q的运动轨迹是射线FE
∵AD=BC=
∴DE=AD-AE=
∵DH⊥EF，∠DEH=∠AEF=
∴
由垂线段最短可知，当点Q与点H重合时，DH的值最小，最小值为
故答案为：2
【点睛】
本题考查三角形全等的性质和证明，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值计算等相关知识点，能够根据已知条件作出相关的辅助线是解题重点．
13．
【解析】
【分析】
如图，过点 E作 EH⊥BC于H．首先证明 是等边三角形，解直角三角形求出 即可
【详解】
解：如图，过点作于．
∵ ，，
∴ .
∵ ，，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ 到直线的距离为.
【点睛】
本题考查三角形翻折问题和等边三角形性质、有角为60°直角三角形性质运用，掌握这些知识点是解题关键．
14．20m
【解析】
【分析】
延长CD交AM于点E．在Rt△ACE中，可求出CE；在Rt△ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．
【详解】
解：延长CD交AM于点E，则AE=30．
∴
同理可得
∴（米）
故答案为
【点睛】
考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．
15．（1+）2019
【解析】
【分析】
解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．
【详解】
解：在Rt△OA1B1中，
∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1 tan60°＝，
∵A1B1∥A2B2，
∴，
∴，
∴A2B2＝（1+），
同法可得，A3B3＝（1+）2，
……
由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019，
故答案为：（1+）2019．
【点睛】
本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
16．（1）详见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）利用菱形的性质，由SAS证明即可；
（2）证是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在和中，
，
∴（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
17．（1）；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键．
18．sinA=，cosA=，tanA=．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】
由勾股定理得，，
则，，．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.
19．（1）75°；（2）
【解析】
【分析】
（1）如图：过点A作于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得，即、进一步可得∠EAC=30°，再结合即可解答；
（2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．
【详解】
（1）如图：过点A作于点E，
∵在Rt△ABC中，
∵AE//BC
；
(2)∵在RtAED中，AE=BC=，∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
．
【点睛】
本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．
20．（1）；（2）；（3）存在．
【解析】
【分析】
(1)由 ，且AB=6即可求出AO的长，再由勾股定理即可求出BO的长，即可求出A和B点坐标.
(2)P点从原点出发，在到达终点前，直线l扫过的面积始终为平行四边形BMNE，故求该平行四边的底BE和高OP，相乘即得到面积S；由，且AB=6，可求出AC=10，过D点作DF⊥x轴，易证，求出CF=AO，进而求出OF的长；由，故，求出OE的长，进而求出OB+OE=BE.
(3)分类讨论，当B为直角顶角时，过Q1点作QH⊥y轴，此时△Q1HB≌△BOC，即可求出Q1的坐标；当Q2为直角顶角时，过Q2点作QM⊥y轴，QN⊥x轴，此时Q2MB≌Q2NC,即可求出Q2的坐标.
【详解】
解：（1）由题意可得
故答案为：
（2）过点作轴，垂足为 F ，则
∴
∵
∴，故，求得
.
当时，直线 扫过的图形是平行四边形，
故答案为：.
存在，．如下图所示：
情况一：当B为直角顶角时，此时BQ1=BC，过Q1点作Q1H1⊥y轴于H1，
∴∠Q1H1B=∠BOC=90°，且BQ1=BC，
∵∠Q1BC=90°
∴∠H1BQ1+∠OBC=90°
又∠BCO+∠OBC=90°
∴∠H1BO1=∠BCO
在△Q1H1B和△BOC中：
，∴△△Q1H1B≌△BOC(AAS)
∴Q1H1=BO=，BH1=OC=，∴OH1=
∴
情况二：当Q2为直角顶角时，此时有Q2B=Q2C，
过Q2点分别作Q2M⊥y轴，Q2N⊥x轴
∴∠MQ2B+∠BQ2N=90°
又∴∠NQ2C+∠BQ2N=90°
∴∠MQ2B =∠NQ2C
在△MQ2B和△NQ2C中
，∴△MQ2B≌△NQ2C(AAS)
∴MQ2= NQ2=OM=ON，且∠MON=90°
∴四边形Q2MON为正方形，设MB=NC=a
则OC-a=ON=OB=，且OC=
∴求得a=，∴ON=OM=OB+a=
∴
故答案为：和
【点睛】
本题考查了三角函数求值、平行四边形的面积公式、三角形全等、等腰直角三角形等相关知识，利用锐角相等，其对应的三角函数值相同，可列出比例求解未知线段长.