【精选备课】2022-2023学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 25.4解直角三角形的应用 同步练习（含解析）

25.4解直角三角形的应用
一、单选题
1．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物的高度，如图，已知斜坡的坡度为，小明在坡底点处测得建筑物顶端处的仰角为，他沿着斜坡行走米到达点处，在测得建筑 物顶端处的仰角为，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，已知点、点是同一幢楼上的两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．65°
3．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
4．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）
A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
5．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A． B．12 C． D．
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（　　）
A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile
7．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（　　）
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
8．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
9．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
10．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡长BC＝40米（建筑物DE、小山坡BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直），则信号发射塔AB的高约为 （　　）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米
二、填空题
11．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行_____小时即可到达．（结果保留根号）
12．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．
13．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，操作平台C离地面的高度为_______米.
（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
14．如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为_____米．
15．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝______米．
三、解答题
16．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图 说明：线段GH表示旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一直线上，点E在GH上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A，B之间的距离 5.4m 5.6m
…… ……
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是______m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么 （写出一条即可）
17．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）
18．为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin55°58′≈0.83，cos55°58′≈0.56，tan55°58′≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
19．如图，公路为东西走向，在点北偏东方向上，距离千米处是村庄，在点北偏东方向上，距离千米处是村庄；要在公路旁修建一个土特产收购站(取点在上)，使得，两村庄到站的距离之和最短，请在图中作出的位置（不写作法）并计算：
（1），两村庄之间的距离；
（2）到、距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）
20．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.利用坡度先求出FG与EG，设DE=CD=x，表示出FH，CH，再利用三角函数即可解得.
【详解】
如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.
根据题意易知DC=DE，EF=13m，∠CFH=35°，HF=GD，HD=FG
∵斜坡的坡度为，且EF=13m
故FG=5m，EG=12m
设DE=CD=x，则FH=DE+EG=x+12，CH=CD-HD=CD-FG=x-5
在直角三角形CHF中，
解得x≈44.7
故选D
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于能够画出辅助线.
2．B
【解析】
【分析】
如图，标注字母，由题意得： 证明 再利用 从而可得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，由题意得：
故选：
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
4．A
【解析】
【详解】
试题分析：过点P作PD⊥AB于点D，根据方位角可得：∠A=30°，∠B=45°，根据AP=80海里可得PD=40海里，PB=40海里，故选A．
5．A
【解析】
【分析】
作三角形的高AD，在直角△ABD中，利用三角函数即可求得AD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】
作AD⊥BC于点D，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABD=180°-120°=60°，
在直角△ABD中，AD=AB sin60°=6×=3，
在△ABC的面积是：BC AD=×8×3=12，
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式以及三角函数，正确求得三角形的高是关键．
6．B
【解析】
【详解】
如图，作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，
∴PE=AE=×60=n mile，
在Rt△PBE中，∵∠B=30°，
∴PB=2PE=n mile．
故选B．
7．D
【解析】
【分析】
过B作BM⊥AD于M，先证∠BAD＝∠ABC，得BC＝AC＝100米，再在Rt△BCM中，由锐角三角函数定义求出BM即可．
【详解】
解：过B作BM⊥AD于M，如图：
由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，sin∠BCM＝，
∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50，
即B点到河岸AD的距离为50米，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【详解】
解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选C．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
9．A
【解析】
【分析】
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】
解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
10．D
【解析】
【分析】
延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．
【详解】
解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，
∵ED⊥DG，
∴四边形EDGH是矩形，
∴GH＝ED＝12，
∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，
设BG＝4x，CG＝3x，则BC＝5x，
∵BC＝40，
∴5x＝40，
解得x＝8，
∴BG＝32，CG＝24，
∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，
BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，
在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，
∴AH＝EH tan56°≈40×1.48≈59.2，
∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．
答：信号发射塔AB的高约为39.2米．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【详解】
如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ tan30°=PQ（海里），
所以 PQ﹣90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里），
所以 MN=PQ=45（3+）（海里），
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里），
所以（小时），
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
12．
【解析】
【详解】
【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【详解】由于，
，，
在中，，
米，
在，，
米，
米，
故答案为.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
13．7.6
【解析】
【分析】
作于，于，如图2，易得四边形为矩形，则，，再计算出，在中利用正弦可计算出，然后计算即可．
【详解】
解：作于E，于，如图2，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴操作平台离地面的高度为．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用三角函数的定义进行几何计算．
14．13．
【解析】
【分析】
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【详解】
解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，
∴，即，
解得，AC＝12，
由勾股定理得，AB＝＝13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
15．58；
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE为矩形，根据矩形的性质得AE=BC=30米，AB=CE=28米，在Rt△DAE中可得DE＝AE＝30m，根据DC＝DE+EC即可求得DC的长.
【详解】
过点A作AE⊥CD于点E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE为矩形，
∴AE=BC=30米，AB=CE=28米，
根据题意得，在Rt△DAE中，∠DAE=45°，
∴DE＝AE＝30m，
∴DC＝DE+EC＝58m.
故答案为58.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，本题应借助仰角关系构造直角三角形，利用直角三角形模型解决问题．
16．任务一：5.5；任务二：旗杆GH的高度为14.7m；任务三：答案不唯一，如没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等
【解析】
【分析】
任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；
任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；
任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）．
【详解】
解：任务一：平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m
故答案为：5.5；
任务二：由题意可得，四边形ACDB，ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=xm，
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°=，
∴DE=，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°=，
∴CE=，
∵CD=CE－DE，
∴－=5.5，
∴x=13.2，
∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.
答：旗杆GH的高度为14.7m.
任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
【详解】
解：（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．
（2）在中，
（米）
答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
18．避雷针BC的长度为4.8米．
【解析】
【分析】
解直角三角形求出CD，BD，根据BC=CD-BD求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABD中，∵，
∴1.48=，
∵AD=80米，
∴BD=118.4（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=，
∴1.54=，
∴CD=123.2（米），
∴BC=CD-BD=4.8（米）
答：避雷针BC的长度为4.8米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．(1) M，N两村庄之间的距离为千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是5千米．
【解析】
【分析】
（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．
【详解】
解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．
（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°
∴NE=AN sin∠NAB=10 sin36.5°=6，
AE=AN cos∠NAB=10 cos36.5°=8，
过M作MC⊥AB于点C，
在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°
∴AC=MA sin∠AMB=MA sin36.5°=3，
MC=MA cos∠AMC=MA cos36.5°=4，
过点M作MD⊥NE于点D，
在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，
ND=NE-MC=2，
∴MN==，
即M，N两村庄之间的距离为千米．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．
DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得
MN′==5（千米）
∴村庄M、N到P站的最短距离和是5千米．
【点睛】
本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．标语牌CD的长为6.3m．
【解析】
【详解】
分析：如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可；
详解：如图作AE⊥BD于E．
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=AB=5（m），AE=5（m），
在Rt△ADE中，DE=AE tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．