【精选备课】2022-2023学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 26.2特殊二次函数的图像 同步练习（含解析）

26.2特殊二次函数的图像
一、单选题
1．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
2．抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1
3．关于抛物线：，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而增大 D．对称轴是直线
4．关于抛物线y=﹣2（x﹣1）2说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x=0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x=﹣2
5．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线
C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0
6．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A． B．
C． D．
7．对于抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大 D．函数的最大值是3
8．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
9．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．2
二、填空题
11．如果抛物线的最高点是坐标轴的原点，那么的取值范围是__________．
12．抛物线的顶点坐标为______________________________．
13．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
14．已知二次函数，当分别取时，函数值相等，则当取时，函数值为______．
15．下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
三、解答题
16．已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
17．已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
18．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
19．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
20．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．
【详解】
解：A．，当时，，当时， ，故错误；
B．抛物线的顶点坐标为，当时，，故错误；
C．抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，，故正确；
D．抛物线上有两点，，若，，，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可直接求得答案．
【详解】
解：∵抛物线y=x2+1，
∴抛物线对称轴为直线x=0，即y轴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
3．C
【解析】
【分析】
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
A选项：∵，
∴抛物线的开口向下，故A错误；
B选项：抛物线的顶点坐标是，故B错误；
C选项：对抛物线，当时，y随x增大而增大，故C正确；
D选项：抛物线的对称轴是直线，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．B
【解析】
【分析】
抛物线y=-2（x-1） 2，开口方向由a的大小判定，a<0，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线．
【详解】
A，抛物线的顶点坐标是（1，0），故错误．
B，由于开口方向向下，对称轴为x=1，x＜1时y随x的增大而增大，故正确；
C，由于开口方向向下，顶点坐标是（1，0），所以当x=1时，y有最大值0，故错误；
D，抛物线的对称轴是x=1，故错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.
5．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象性质即可判断．
【详解】
解：A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误；
B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；
D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=2（x-1）2满足条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
7．D
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，随增大而减小，由此逐一判断即可．
【详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，，故B不符合题意；
∴抛物线开口向下，故A不符合题意；
∴当x> 1时，y随x的增大而减小，函数的最大值为3，故C选项不符合题意，D选项符合题意．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质．
8．A
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．
【详解】
A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误，不符合题意；
C.抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
先根据函数图象可得抛物线与轴的两个交点坐标为和，再设抛物线的解析式为，将点代入即可得．
【详解】
解：由函数图象可知，抛物线与轴的两个交点坐标为和，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，即为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了求抛物线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
10．D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可．
【详解】
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
在等腰中，
，则，即．
代入二次函数y＝﹣x2+m得，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形的性质求出点的坐标．
11．
【解析】
【分析】
根据函数图像有最高点可得出开口向下，即可得出答案；
【详解】
∵抛物线的最高点是坐标轴的原点，
∴抛物线开口向下，
∴m+1＜0，
∴．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了根据二次函数的开口方向求参数，准确分析判断是解题的关键．
12．(1，8)
【解析】
【分析】
根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
【详解】
解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
13．2
【解析】
【分析】
设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
【详解】
解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．
14．2020
【解析】
【分析】
根据二次函数y=2x2+2020，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，可以得到x1和x2的关系，从而可以得到2x1+2x2的值，进而可以求得当x取2x1+2x2时，函数的值．
【详解】
解：∵二次函数y=2x2+2020，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴2x12+2020=2x22+2020，
∴x1=-x2，
∴2x1+2x2=2（x1+x2）=0，
∴当x=2x1+2x2时，y=2×0+2020=0+2020=2020，
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．①②④
【解析】
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】
当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
16．(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
(1)
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
(2)
解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
【点睛】
本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
17．（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
【详解】
（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．
18．
【解析】
【分析】
过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0），
于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到
（m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】
解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=PC=（m-2），
∵PB=n=，
∴（m-2）=，
解得m=，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=，BP=，
∴S△ABC=．
【点睛】
本题考查二次函数的性质.
19．（1），；（2）；（3）3
【解析】
【分析】
（1）将点代入二次函数与一次函数即可求得的值；
（2）联立二次函数与一次函数的解析式即可求得点的坐标；
（3）设直线与轴的交点为,根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据即可求得．
【详解】
（1）二次函数与一次函数的图象相交于，
则，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点
联立
解得
（3）设直线与轴的交点为,如图，
由，令，解得
，
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．(1)抛物线解析式为
(2)
【解析】
【分析】
(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C
的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．
(1)
把代入得：，
∴抛物线解析式为；
(2)
设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．