人教A版（2019）数学必修第二册6_4_1平面几何中的向量方法课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
高一
必修二
本节目标
1. 掌握用向量方法解决简单的几何问题的方法．
2．体会向量在解决数学问题中的作用．
3．培养运用向量知识解决实际问题的能力．
课前预习
预习课本P38～39，思考并完成以下问题
1. 用向量方法可以解决哪些平面几何问题？
2. 用向量方法解决平面几何问题有哪“三部曲”？
课前小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有· ＝0.(　　)
(2)若∥ ，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)向量， 的夹角就是直线AB，CD的夹角．(　　)
×
×
×
2．做一做
(1)在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
C
＝
四边形ABCD是平行四边形
· ＝0
四边形ABCD是矩形
2．做一做
(2)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
1:2
A
B
C
D
O
O是中线BD的中点
新知探究
知识点一 向量在几何中的应用
(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由___________________________表示出来．
向量的线性运算及数量积
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将___________________________；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
平面几何问题转化为向量问题
知识点二 平面几何中的向量方法
(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝ ＝(a＝(x，y))或AB＝_____________________________ (A(x1，y1)，B(x2，y2))．
(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理： ____________________________________________________________．
a∥b a＝λb(λ∈R，b≠0) x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： ___________________________________________________．
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝ _____________________ (a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
＝
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
[例1]　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，
故可设＝e1， ＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2.
∴ ＝ ＋ ＝e1＋e2， ＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.
而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝ － ＝|e1|2－|e2|2＝0，
∴ ⊥，即AC⊥BC．
证法一
A
B
C
D
题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
[例1]　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．
跟踪训练
1. 已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝ AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
设＝a， ＝b，
则＝－＝ －a＝ (a＋b)－a＝ b－a，
＝ － ＝b－ ＝ b－ a，
所以＝ ，且D，E，F，B四点不共线，
所以四边形DEBF是平行四边形．
题型二　向量在平面几何计算问题中的应用
[例2]　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝ AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．
[例2]　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝ AB；
以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A(0, m)，B(n, 0)．
∵D为AB的中点，∴D .
∴||＝ ，||＝ ，
∴||＝ ||，即CD＝ AB．
[例2]　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．
∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝ ， ＝(x,－m)．
∵A，E，F三点共线，∴ ＝λ，
即(x,－m)＝λ.
∴| |＝ ，即AF＝ .
则
故λ＝ ，x＝ ，∴F ，
方法总结
用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，
一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；
二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝ .
跟踪训练
2. 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
设＝a， ＝b，则＝a－b， ＝a＋b，
而||＝|a－b|＝ ＝
＝ ＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ .
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝ ，即AC＝ .
随堂检测
1．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)
A．10 B．
C．2 D．22
C
|a－b|＝
＝
＝
＝2
以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.
|a＋b|＝
＝
＝
＝ ＝2
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
A
由题意得＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥ ，则满足条件的x，y的关系式是____________．
∵ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
∴ ·＝2x－ ＝0，
∴y2＝8x(x≠0)．
y2＝8x(x≠0)
4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则· 的取值范围是_____________．
设＝λ(0≤λ≤1)，则
＝λ＝λ， ＝(1－λ) ＝(1－λ) ，
则· ＝(＋ )·(＋ )
＝(＋λ)·[＋(1－λ) ]
＝ ·＋(1－λ) 2＋λ2＋λ(1－λ)··.
∵ ·＝0，∴ · ＝4－3λ.
∵0≤λ≤1，∴1≤ · ≤4，即· 的取值范围是[1,4]．
A
B
C
D
2
1
M
N
[1,4]
解法一
4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则· 的取值范围是_____________．
[1,4]
解法二
如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
因为AB＝2，AD＝1，
所以A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1)．
设＝t∈[0,1]，则||＝t，||＝2t.
则M(2，t)，N(2－2t,1)，故·＝4－4t＋t＝4－3t，
又t∈[0,1]，所以(· )max＝4－3×0＝4，
(·)min＝4－3×1＝1.故·的取值范围是[1,4]．
5．如图，在 OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝ BA．
∵O，E，D三点共线，∴向量与向量共线．
则存在实数λ1，使得＝λ1.
而＝ ＋ ＝ ＋ ，则＝λ1＋ .
又∵A，E，B三点共线，
∴ 与共线，则存在实数λ2，使＝λ2 ＝λ2(－)．
∴ ＝λ2 －λ2 .而＋ ＝ ，
∴ ＋λ2 －λ2 ＝λ1＋ .即(1－λ2) ＋λ2 ＝λ1 ＋ .
∵ 与不共线，∴ ∴λ2＝ .
∴ ＝ ，即BE＝ BA．
本课小结
1. 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2. 向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．
通过本节课，你学会了什么？