人教A版（2019）数学必修第二册6_4_3余弦定理、正弦定理(1)课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理(1)
高一
必修二
本节目标
1．理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．
2．掌握余弦定理的综合应用，能应用余弦定理判断三角形的形状．
课前预习
预习课本P42～44，思考并完成以下问题
(1) 余弦定理及推论的内容是什么？
(2) 什么叫解三角形？已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？
(3)已知三角形的三边如何解三角形？
课前小测
1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)
A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝
A
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　 )
A． B．8
C．10 D．7
由余弦定理得：
c＝
＝
＝7
D
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B.
C．2 D．3
由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)．
D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
cos C＝
c2＝a2＋b2－ab
c2＝a2＋b2－2abcos C
2cos C＝1
新知探究
1．余弦定理
C
B
A
a
b
c
c＝a－b
|c|2 ＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2 ＋b2 －2|a| |b|cosC
c2＝a2 ＋b2 －2ab cosC
同理
a2＝b2 ＋c2 －2bc cosA
b2＝a2 ＋c2 －2ac cosB
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
余弦定理
1．余弦定理
余弦定理 公式表达 a2＝__________________
b2＝__________________
c2＝__________________
语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论 cos A＝_________________
cos B＝_________________
cos C＝_________________
b2＋c2－2bc cosA
a2＋c2－2ac cosB
a2＋b2－2ab cosC
2．余弦定理与勾股定理的关系
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
3．余弦定理的特点
(1)适用范围
余弦定理_________________________．
(2)揭示的规律
余弦定理指的是三角形中_____________________________________，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
对任意的三角形都成立
三条边与其中一个角的余弦之间的关系
4．解三角形
(1)一般地，三角形的_______________和它们的_____________叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求___________的过程叫做解三角形．
三个角A，B，C
对边a，b，c
其他元素
5．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知___________或已知_______能直接利用余弦定理解三角形．
(2)若已知_________________，可以用余弦定理解三角形．
两边和夹角
三边
两边和一边的对角
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　已知两边及一角解三角形
[例1]　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.
[例1]　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；
由余弦定理 a2＝b2 ＋c2 －2bc cosA 得
(cm)
[例1]　(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.
BC＝4或BC＝5
余弦定理 AB2＝AC2 ＋BC2 －2·AC·BC cosA
()2＝52＋BC2－2×5×BC×
BC2－9BC＋20＝0
4或5
方法总结
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．　　
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　)
A．4 B.
C．3 D.
跟踪训练
cos C＝－cos(A＋B)＝－
c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×(－)＝17
c＝
D
2．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
∴A＝60°
根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B
＝(2)2＋(＋)2－2×2× (＋) ×cos 45°
＝8
∴b＝2
又∵cos A＝ ＝ ＝
C＝180°－(A＋B)＝75°
题型二　已知三边解三角形
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
根据余弦定理，得cos A＝ ＝ ＝ .
∵A∈(0，π)，∴A＝ ，
cos C＝ ＝ ＝ ，
∵C∈(0，π)，∴C＝ .
∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ π，
∴A＝ ，B＝ π，C＝ .
方法总结
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；
再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；
最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．　　　　
已知三角形三边解三角形的方法
跟踪训练
1．已知△ABC中，a:b:c＝2::(＋1)，求△ABC中各角的度数．
已知a:b:c＝2::(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得
cos A＝ ＝ ＝ ，
∵0°cos B＝ ＝ ＝ ，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
2．若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　　)
A．1∶2∶3 B． 1∶∶2
C．1∶ ∶ D． ∶∶2
设三角形三边长分别为m，m， 2m(m＞0)，最大角为A，
则cos A＝ ＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cos B＝ ＝ ，
∴B＝30°，∴C＝60°.
故三角形三角之比为1∶2∶3.
A
3．在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(＋1)∶2，求角C.
∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B.
∴2accos B＝ac，∴cos B＝.
∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵ ，∴2sin A＝(＋1)sin C.
∴2sin(120°－C)＝(＋1)sin C.
∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝(＋1)sin C.
∴sin C＝cos C. ∴tan C＝1.
∵0°题型三　判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，试判断△ABC的形状．
将已知等式变形为
b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C.
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b2 (2－c2 (2＝2bc× ×，
∴b2＋c2＝ ＝ ＝a2.
∴A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
方法总结
(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．　
跟踪训练
在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
由余弦定理知
cos A＝ ，cos B＝ ，cos C＝ ，
代入已知条件得a· ＋b· ＋c· ＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
随堂检测
1．判断正误
(1)余弦定理适用于任意三角形．(　　)
(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)
(3)在△ABC中，已知两边和它们的夹角，△ABC不唯一．(　　)
√
√
×
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A. B. C. D.
由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，
则cos C＝ ＝ ＝，
所以C＝ .
B
3．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为____________．
∵a＝2bcos C＝2b· ＝ ，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
等腰三角形
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝ a，则cos A＝________.
由B＝C，2b＝ a，可得b＝c＝ a，
所以cos A＝
＝
＝
本课小结
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形．
(2)已知两边及一角解三角形．
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．
通过本节课，你学会了什么？