人教A版（2019）数学必修第二册8_2立体图形的直观图课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
立体图形的直观图
本节目标
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 2. 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点) 通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
课前预习
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？

2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？

3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
预习课本P107～110，思考并完成下列问题
课前检测
1．长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　)
A．①②　　　　　　 B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
C
2．梯形的直观图是(　　)
A．梯形 B．矩形
C．三角形 D．任意四边形
A
3．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝______________.
∠A＝90°
∠x′O′y′＝45°或135°
∠A′＝45°或135°
45°或135°
A
B
C
考点精讲
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的___________．斜二测画法是一种特殊的____________画法．
平行投影
直观图
2．平面图形直观图的画法及要求
思考1：相等的角在直观图中还相等吗？
[提示]　不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．
3．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是________轴；
(2)平面________表示水平平面，平面______和_______表示竖直平面；
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中________和_______都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为________．
z′
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行性
长度
虚线
思考2：空间几何体的直观图唯一吗？
[提示]　不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
题型一 平面图形的直观图
典例剖析
【例1】　(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为_______．
因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，
所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝
直观图
(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
①
②
③
方法技巧
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
活学活用
1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝ OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
题型二 画空间几何体的直观图
【例2】　画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
思
路
探
究
先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去多余的线．
题型二 画空间几何体的直观图
【例2】　画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
方法技巧
画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：
画轴
画底面
画侧棱
成图
活学活用
画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
2．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A,B,C,D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
(4)成图．顺次连接A′,B′,C′,D′，加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到直观图．
题型三 直观图的还原与计算
探究1：如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示]　根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
题型三 直观图的还原与计算
探究2：若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示]　由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝ ＝10.
题型三 直观图的还原与计算
探究3：如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？
[提示]　由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．
C
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝ ×2＝5.
变式探究
3．本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积．
如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝ .而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝1.
所以BC＝BE＋EC＝ ＋1.由此可还原原图形如图，是一个直角梯形．
E
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为S＝ (A′D′＋B′C′)·A′B′＝2＋ .
变式探究
4．本例(1)若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？
变式探究
5．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？
方法技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有
S′＝S或S＝2 S′.
2．直观图与原图形面积之间的关系
1．直观图的还原技巧
随堂检测
1．判断正误
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
(1)原来相交的仍相交. (　　)
(2)原来垂直的仍垂直. (　　)
(3)原来平行的仍平行. (　　)
(4)原来共点的仍共点. (　　)
√
×
√
√
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
A　　 　 　B　　　 C　　　 　 D
C
3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为___________．
由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.
故原四边形OPQR的周长为10.
10
4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
　　　①　　　　 ②　　　　③
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝ OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝ EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，
四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
本课小结
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁. 在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．