人教A版（2019）数学必修第二册8_4_1平面课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
平 面
本节目标
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点) 1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．
2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.
课前预习
预习课本P124～127，思考并完成下列问题
1．平面的表示方法有哪些？

2．基本事实1、基本事实2、基本事实3的内容是什么？

3．推论1、推论2、推论3各自的作用是什么？
课前小测
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　)
A．A∈l，l α　　　　 B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A l，l α
B
2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
A
注意：表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP
3．任意三点可确定平面的个数是(　　)
A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．1或无数个
D
无数个
1个
考点精讲
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是___________的．
无限延展
思考1：一个平面能否把空间分成两部分？
提示: 因为平面是无限延展的，一个平面可以把空间分成两部分．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个___________，它的锐角通常画成______，且横边长等于其邻边长的______．如图①.
①
②
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用______画出来．如图②.
平行四边形
45°
2倍
虚线
3．平面的表示法
上图①的平面可表示为________、_________、________或_________.
①
平面α
平面ABCD
平面AC
平面BD
4．平面的基本性质
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过_______________的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ________
事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的___________ P∈α，P∈β
______________
不在一条直线上
两点
l α
公共直线
α∩β＝l且P∈l
思考2：经过空间任意三点能确定一个平面吗？
提示: 不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．
推论1：经过一条直线和_____________，有且只有一个平面．
推论2：经过两条_______直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条_______直线，有且只有一个平面．
相交
直线外一点
5．推论
平行
题型一 立体几何三种语言的相互转化
典例剖析
【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B
【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形．
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图．
方法技巧
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
三种语言的转换方法
活学活用
1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②.
题型二 点线共面问题
【例2】　如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
PQ∥a
PQ 与 a 确定一个平面β
直线a β，点 P∈β
P∈b，b α
P∈α
a α
α与β重合
PQ α
方法技巧
解决点线共面问题的基本方法
活学活用
2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.
求证：直线AB，BC，AC共面．
因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α.
因此直线AB，BC，AC都在平面α内，
所以直线AB，BC，AC共面．
法一
2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.
求证：直线AB，BC，AC共面．
法二
因为A不在直线BC上，
所以点A和直线BC可确定一个平面α.
因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB α.
同理AC α，故直线AB，BC，AC共面．
2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.
求证：直线AB，BC，AC共面．
法三
因为A，B，C三点不在同一条直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个平面α.
因为A∈α，B∈α，所以AB α，
同理BC α，AC α，
故直线AB，BC，AC共面．
题型三 点共线、线共点问题
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示]　如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C 平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示]　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．
【例3】　如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.
求证：AB，CD，l共点(相交于一点).
梯形的两腰
找交点
探究交点与面α、 β的位置关系
得结论
【例3】　如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.
求证：AB，CD，l共点(相交于一点).
因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB，CD必定相交于一点. 设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，所以M∈α，M∈β. 所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共点(相交于一点).
活学活用
3、本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
若EF、GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF 平面ABD，GH 平面CBD，
平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
由基本事实3可得P∈BD.
方法技巧
选择其中两点确定一条直线
1．证明三点共线的方法
方法一
找出两个平面
证明这三点都是这两个平面的公共点
这些点都在两个平面的交线上
基本事实3
方法二
证明另一点也在此直线上
方法技巧
2．证明三线共点的步骤
得到交线也过此点，从而得到三线共点．
1
2
3
首先说明两条直线共面且交于一点；
说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
随堂检测
1．判断正误
(1)平面是处处平的面．(　　)
(2)平面是无限延展的．(　　)
(3)平面的形状是平行四边形．(　　)
(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.(　　)
√
√
×
×
2．下列空间图形画法错误的是(　　)
A
B
C
D
√
√
√
×
遮挡部分应画成虚线
D
3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A a，a α，B∈α
B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α
D．A∈a，a∈α，B∈α
B
4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
P∈AB
AB 平面ABC
P∈平面ABC
P∈α
平面ABC∩平面α＝DE
P∈直线DE
本课小结
1．立体几何的三种语言
图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．
2．三个基本事实的作用
基本事实1——判定点共面、线共面的依据；
基本事实2——判定直线在平面内的依据；
基本事实3——判定点共线、线共点的依据．
首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点. 或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．
3．证明几点共线的方法