人教A版（2019）数学必修第二册8_6_1直线与直线垂直课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
直线与直线垂直
本节目标
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解空间中两直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点) 2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(重点、易错点) 1.通过实物观察抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，培养直观想象的核心素养.
2.借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.
课前预习
预习课本P146～148，思考并完成以下问题
1．空间两直线有哪几种位置关系？什么是异面直线？

2．什么是异面直线所成的角？

3．异面直线所成角的范围是什么？什么是异面直线垂直？
课前小测
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A．共面　　　　　　 B．平行
C．异面 D．平行或异面
D
2．如图正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是_________．
∠A1BC1即为EF与D1C所成的角
60°
3．已知正方体ABCD -A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为___________；
(2)AD与BC′所成的角为____________．
60°
45°
考点精讲
异面直线所成的角
定义
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
a
b
O
异面直线所成的角
范围
0°<θ≤90°
a
b
O
θ
a
b
当θ＝_______时，a与b互相垂直，记作______.
90°
a⊥b
注意
题型一 异面直线所成的角
典例剖析
[探究问题]
1．在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD- EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？
[提示]　
由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画．应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．
题型一 异面直线所成的角
[探究问题]
2．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
[提示]　
异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b.
【例1】　如图，已知正方体ABCD- A′B′C′D. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
【例1】　如图，已知正方体ABCD- A′B′C′D. (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
直线BA′和CC′的夹角为45°
45°
【例1】　如图，已知正方体ABCD- A′B′C′D. (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
方法技巧
“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．
活学活用
1．如图，已知长方体ABCD -A′B′C′D′中，AB＝2 ，AD＝2 ，AA′＝2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
2
2
2
Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°
BC和A′C′所成的角是45°
1．如图，已知长方体ABCD -A′B′C′D′中，AB＝2 ，AD＝2 ，AA′＝2.
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
2
2
4
60°
异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
题型二 直线与直线垂直的证明
【例2】　如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
O
法一
题型二 直线与直线垂直的证明
【例2】　如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
法二
如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE DB1.
于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，
取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋IF2＝ . ∴HF2＝EF2＋HE2. ∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
证明两条异面直线垂直的步骤
1
2
3
4
恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．
把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
给出结论. 若求出的平面角为直角，垂直得证．
方法技巧
活学活用
2．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝ ，EF＝3. 求证：AC⊥BD.
∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝ ，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
随堂检测
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)
A．异面　　　　　　 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
D
当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面;
当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．
2．如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
∠A1BC1
B
3．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是_________．
∠D1AC
60°
4．如图，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是 ．
ABCD是平行四边形
AB∥CD
∠PAB是PA与CD所成的角
PA⊥AB
∠PAB＝90°
PA与CD所成
的角是90°
90°
本课小结
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．
需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]．
本课小结
作异面直线所成的角主要有三种方法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．