人教A版（2019）数学必修第二册8_6_2直线与平面垂直课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
直线与平面垂直
本节目标
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解线面垂直的定义．(重点) 2.理解线面垂直的判定定理，并会运用．(难点) 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点) 4.能利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明．(重点) 1.通过学习线面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.
课前预习
预习课本P149～155，思考并完成以下问题
1．直线与平面垂直的定义是怎样的？

2．直线与平面垂直的判定定理是什么？

3．直线与平面所成的角是怎样定义的？直线与平面所成的角的范围是什么？

4．直线与平面垂直的性质定理是什么？
课前小测
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB　　　　 B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
C
OA⊥ OB
OA⊥ OC
OA⊥平面OBC
OB=O
2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b与α相交
C
当b⊥α，a⊥α时，a∥b.
3．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C ．相交不垂直 D ．不确定
B
4．在正方体ABCD- A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
45°
考点精讲
1．直线与平面垂直
定义 如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________.
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
任意一条
垂线
垂面
垂足
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的_____________垂直，那么该直线与此平面垂直.
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，_________ l⊥α
图形语言
两条相交直线
a∩b＝P
3.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α_____，但不与这个平面α_____，图中__________.
斜足 斜线和平面的_______，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引_____PO，过____O和_____A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 [0°，90°] 相交
垂直
直线PA
交点
垂线
垂足
斜足
思考1：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
4．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言 _______
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行
②作平行线
平行
a∥b
思考2：过一点有几条直线与已知平面垂直？
提示：有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．
题型一 直线与平面垂直的判定
典例剖析
【例1】 如图，在三棱锥S -ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
题型一 直线与平面垂直的判定
典例剖析
【例1】 如图，在三棱锥S -ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
方法技巧
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法 (不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；
②判定定理最常用：
要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；
结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
方法技巧
证线面垂直的方法
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；
②α∥β，a⊥α a⊥β.
活学活用
1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N. 求证：AN⊥平面PBM.
设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
题型二 直线与平面所成的角
1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？
[探究问题]
[提示]　需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．
2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？
[探究问题]
[提示]　在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．
【例2】　在正方体ABCD -A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝ ，
∴tan∠A1CA＝ .
【例2】　在正方体ABCD -A1B1C1D1中，
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝ A1B，∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
活学活用
2. 在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．
O
O1
过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a，∵E是AB的中点，EO1∥AC，
∴O1是BO的中点，
方法技巧
求斜线与平面所成角的步骤
作图
证明
计算
作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
题型三 线面垂直性质定理的应用
【例3】　如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN∥AD1.
因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
方法技巧
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
证明线线平行常用方法
活学活用
3．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理 l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以 l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以 EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以 a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
随堂检测
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能(　　)
A．平行　　　B．相交　　　C．异面　　　D．垂直
A
若l∥m，l α，m α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．
所以直线l与m不可能平行．
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　)
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．不确定
A
因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，
所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60° B．45°
C．30° D．120°
A
1
2
60°
4．在正方体ABCD- A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
如图，连接AC，∴ AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，∵A1C 平面A1AC，
∴ BD⊥A1C.
同理可证 BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
本课小结
1．线线垂直和线面垂直的相互转化
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
2．证明线面垂直的方法