人教A版（2019）数学必修第二册考点复习：解三角形课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
解三角形
高一必修二
考情分析
2018年 2019年 2020年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 新高考Ⅰ卷
T17 T6 T9 T17 T15 T18 T17 T7 T17
正弦定理和余弦定理是历年高考的必考内容, 主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用.常与三角函数的图象与性质及三角恒等变换相结合进行考查. 解三角形
本节目录
正弦定理和余弦定理的应用
1
利用正弦定理和余弦定理解决有关三角形面积的问题
2
三角形中的最值和范围问题
3
考向一　正弦定理和余弦定理的应用
真题再现
例 (2018课标全国Ⅱ,6,5分)在△ABC中, cos = , BC=1, AC=5, 则AB=(　　)
A.4 B. C. D.2
A
考向分析 利用余弦定理解三角形
思路点拨 先根据二倍角公式求cos C,再根据余弦定理求AB
易错分析 记错二倍角公式,不能正确运用余弦定理求解
素养解读 利用余弦定理解三角形考查了数学运算的核心素养
变式训练
变式1　在△ABC中, sin = , BC=1,AC=5,则AB=(　　)
A.4 　 B. 　 C. 　 D.2
因为cos C=1-2sin2 =1-2× = ,
所以由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=25+1-2×5×1× =20,
所以AB=2.
D
变式2　在△ABC中, 内角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若sin2A+sin2B-sin2C=0, a2+c2-b2-ac=0, c=2, 则a=(　　)
A. B.1 C. D.
B
因为sin2A+sin2B-sin2C=0, 所以a2+b2-c2=0, C为直角,
因为a2+c2-b2-ac=0, 所以cos B= = ,
所以B= ,
因此在△ABC中, a=ccos =1.
总结提升
(3)已知两边及其中一边的对角,先由正弦定理求另一边的对角, 再由三角形内角和求第三角, 注意此类问题有一解、两解或无解的情况.
(1)已知两边及其夹角, 先由余弦定理求第三边, 再由正弦定理求角;
(2)已知三边, 直接由余弦定理求角;
利用正弦、余弦定理求三角形的角的常见的形式
对点训练
因为= , 所以= ,
解得sin C= .
1.(2020北京顺义高三第二次统考)在△ABC中, a=7, c=3, A= , 则sinC的值为(　 　)
A. B. C. D.
B
2.(2020辽宁大连高三第二次模拟)在△ABC中, sin2A=sin2B+sin2C-sin BsinC, 则角A的大小为　　 　 .
由正弦定理得a2=b2+c2-bc, 即b2+c2-a2=bc,
则cos A= = ,
∵A∈(0,π), ∴A= .
考向二　利用正、余弦定理解决有关三角形面积的问题
真题再现
例 (2018课标全国Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(　　)
A. B. C. D.
C
考向分析 本题主要考查解三角形
思路点拨 利用三角形面积公式和余弦定理进行求解
易错分析 不能正确运用余弦定理,不能正确地选取面积公式
素养解读 利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解,体
现了数学运算的核心素养
变式1　△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若△ABC的面积为bccos A,则A=(　　)
A. B. C. D.
变式训练
因为S△ABC = bccos A, 所以bcsin A= bccos A,
所以tan A=1, 因为A∈(0, π), 所以A= .
C
变式2　在△ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, △ABC的面积为S, 且2S=(a+b)2-c2, 则tan C=(　　)
A. B. C. D.
C
在△ABC中, ∵S= absin C, c2=a2+b2-2abcos C, 且 2S=(a+b)2-c2,
∴absin C=(a+b)2-(a2+b2-2abcos C),
整理得sin C-2cos C=2,∴(sin C-2cos C)2=4.
∴ =4,化简可得 3tan2C+4tan C=0,
解得tan C=0或tan C= .∵C∈(0,π),∴tan C= .
对点训练
(2020湖南郴州高三第三次质量检测)如图, 在四边形ABCD中, ∠D=2∠B, AD=2DC=4, sin∠B= .
(1)求AC的长;
(2)若△ABC的面积为6,求sin∠CAB·sin∠ACB的值.
对点训练
(2020湖南郴州高三第三次质量检测)如图, 在四边形ABCD中, ∠D=2∠B, AD=2DC=4, sin∠B= .
(1)求AC的长;
由题可知cos∠D=cos2∠B=1-2sin2∠B= - .
在△ACD中, AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠D=22,
所以AC= .
对点训练
(2020湖南郴州高三第三次质量检测)如图, 在四边形ABCD中, ∠D=2∠B, AD=2DC=4, sin∠B= .
(2)若△ABC的面积为6, 求sin∠CAB·sin∠ACB的值.
S△ABC= AB·BCsin∠B=6, 则AB·BC=16.
又= = = ,
所以sin∠CAB·sin∠ACB=16× = .
考向三　三角形中的最值和范围问题
真题再现
例 (2019课标全国Ⅲ,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
例 (2019课标全国Ⅲ,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
思路拆解
第一步：运用正弦定理将边化成角
第二步：利用三角恒等变换、诱导公式求角B
第三步：由(1)求出S△ABC
第四步：利用正弦定理表示出a
第五步：根据锐角三角形的性质求出角C的取值范围
第六步：求出△ABC的面积的取值范围
规范解答
(1)由题设及正弦定理得sin Asin =sinBsin A.
因为sin A≠0, 所以sin =sin B.
由A+B+C=180°, 可得sin =cos ,
故cos =2sin cos .
因为cos ≠0, 所以sin = , 因此B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= a.
由正弦定理得a= = = + .
由于△ABC为锐角三角形, 故0°由(1)知A+C=120°, 所以30°故 因此△ABC面积的取值范围是.
变式训练
由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A.
因为sin A≠0, 所以sin =sin B.
由A+B+C=π,可得sin =cos , 故cos =2sin cos .
因为cos ≠0,所以sin = ,
因为0变式　△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsinA.若△ABC为锐角三角形,且b= , 求△ABC的面积的取值范围.
变式训练
变式　△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsinA.若△ABC为锐角三角形,且b= , 求△ABC的面积的取值范围.
因为b= ,B= ,所以= = = =2,
所以a=2sin A,c=2sin C,
所以S△ABC= acsin B= ×2sin A×2sin C×
= sin Asin C= sin sin C= sin C
= sin 2C+ (1-cos 2C)= sin + ,
变式训练
变式　△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsinA.若△ABC为锐角三角形,且b= , 求△ABC的面积的取值范围.
因为△ABC为锐角三角形, B= ,
所以A∈ , C∈ , A= -C,
所以C∈ , 所以2C- ∈ ,
所以sin ∈ , 所以S△ABC∈ .
一是利用基本不等式求得最大值或最小值;
二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数的形式, 结合角的范围确定所求式的范围.
总结提升
解三角形中的最值与范围问题的两种解决方法
对点训练
(2020河南六市高三第一次模拟)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2, A=2B, 则a的取值范围为(　 　)
A.(2, 2) B.(2, 2) C.(2, 4) D.(0, 4)
A
由正弦定理= , 得a= = = =4cos B,
∴a∈(2, 2).
∵A=2B且△ABC为锐角三角形,
∴A∈, ∴B∈,
又A+B=3B, ∴3B∈ , ∴B∈ ,
∴B∈ , ∴cos B∈ ,
通过本节课，你学会了什么？