16.2 二次根式的乘除法（知识讲解）同步学案（含解析）

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16.2二次根式的乘除法
【学习目标】：
1、掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
【知识讲解】：
16.2.1、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
要点诠释：
(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中、都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2.积的算术平方根:
　　,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，、可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足，才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的移到根号外面.
【练习1】直角三角形的两条直角边长分别为、，这个直角三角形的面积为（　　）.
A． B． C． D．
【练习2】计算：（1） （2）
【练习3】下列各式成立的有（　　）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【练习4】计算
16.2.2、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数、的取值范围应特别注意，，因为在分母上，故不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
　　要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
【练习5】化简的结果是（　　）
A．2 B． C． D．
【练习6】的值是（　　）.
A． B． C． D．
【练习7】计算：(1) (2)
3.二次根式的乘除混合运算
结合二次根式的乘除法法则，熟练的进行运算，且结果是最简二次根式或有理式。
【练习8】化简的结果是 ．
【练习9】计算：（1） （2）
【练习10】计算（1） （2）
16.2.3、最简二次根式
1.最简二次根式
（1）被开方数不含有分母（即根号无分母，分母无根号）；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【练习11】下列各式化成最简二次根式后被开方数是2的是（　　）
A． B． C． D．
【练习12】把的根号外的因式移到根号内等于__________．
【练习13】当x=　 　时，与既是最简二次根式，且被开方数相同．
【练习14】若和都是最简二次根式，则m=　 　，n=　 　．
二次根式的化简
1、把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
例如：；
2、化简二次根式的方法:
①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可；
②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母；
③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
【练习15】化简的结果为（　　）.
A． B． C． D．
【练习16】已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．2
【练习17】若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【练习18】把化成最简二次根式为________．
3.同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
(1)几个二次根式是否为同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号前面的系数无关。
(2)判断同类二次根式首先要将二次根式化为最简二次根式，然后再判断。
【练习19】下列各式与是同类二次根式的是（　　）.
A． B． C． D．
【练习20】下列二次根式，不能与合并的是( )
A． B． C． D．
【练习21】下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【练习22】如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=　 　
【练习23】若最简二次根式与可合并，则的值为（　　）.
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【练习24】若与可以合并，则m值为（　　）
A． B． C． D．
【练习25】已知二次根式与是同类二次根式，的值是______
参考答案
【练习1】【答案】D
【解析】直角三角形的面积为：，故选：D．
【练习2】【答案】（1） （2）-18
【解析】解：（1）
（2）
【练习3】【答案】C
【解析】解：=（a≥0，b≥0），所以①正确；
==3×9×4=108，所以②错误；
=（b≥0），所以③正确；
当a＞0时，=2a，所以④正确．故选C．
【练习4】【答案】
【解析】解：原式=
【练习5】【答案】C
【解析】．故选：C．
【练习6】【答案】A
【解析】．故选A．
【练习7】【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）
（2）
【练习8】【答案】
【解析】
【练习9】【答案】（1） （2）
【解析】（1）
（2）
【练习10】【答案】（1）18 （2）
【解析】（1）
（2）
【练习11】【答案】B
【解析】解：A、，故错误；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、，故错误；故选：B．
【练习12】【答案】
【解析】由可知，且,则,则，
故答案为
【练习13】【答案】-5
【解析】解：若与既是最简二次根式，则x2+3x=x+15，解得x=﹣5或3，当x=3时，被开方数x+15=18，两式不是最简二次根式，故x=﹣5．
【练习14】【答案】1；2
【解析】解：∵若和都是最简二次根式，∴，解得：m=1，n=2，故答案为：1；2
【练习15】【答案】D
【解析】，故选：D．
【练习16】【答案】C
【解析】，且是整数，∴ 正整数n的最小值是6.故选C
【练习17】【答案】B
【解析】，且是整数，∴ 正整数n的最小值是3.故选B
【练习18】【答案】
【解析】:．故答案为：
【练习19】【答案】C
【解析】A ；B ；C D ，故选：C.
【练习20】【答案】B
【解析】A ；B ；C D ；,只有B选项其不是同类项，故选：B.
【练习21】【答案】B
【解析】A ；B ；C D ；故选：B.
【练习22】【答案】1
【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式.，解得：
【练习23】【答案】B
【解析】∵最简二次根式与可合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
解得，
∴ab=2×（﹣1）=﹣2．故选B．
【练习24】【答案】C
【解析】解：由与可以合并，得
解得，故选：C．
【练习25】【答案】2
【解析】因为二次根式与是同类二次根式，
所以 解得，所以
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