16.3 二次根式的加减（知识讲解）同步学案（含解析）
文档属性
| 名称 | 16.3 二次根式的加减（知识讲解）同步学案（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-16 16:47:52 | ||
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文档简介
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16.3二次根式的加减
【学习目标】：
1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【知识讲解】：
16.3.1、二次根式的加减
1.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
即： ；
2.二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
即： ；
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
3)合并同类二次根式.
【练习1】计算（1） （2） （3）
【练习2】计算（1） （2）
【练习3】已知，，满足，
求：(1)求，，的值；
（2）以，，为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
【练习4】有一个等腰三角形的两边长分别为，，求其周长。
2.二次根式的比较大小
能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大；
不能化简成同类二次根式的：
正数大于负数；
同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大；
同为负数时，进行平方运算，结果大的二次根式反而小；
作差法。
【练习5】比较大小：
（1）与 （2）与 （3）与
16.3.2、二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【练习6】已知，，则等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【练习7】化简：
【练习8】计算（1） （2）
2.二次根式的化简求值
当遇到已知条件中字母的值比较复杂且不能化简，直接代入求值比较繁琐时，一般是先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后采用“整体代入”的方法进行求值.
【练习9】已知，求的值。
【练习10】若，求的值。
【练习11】若，化简 的正确结果是（ ）
A．﹣1 B．5 C． D．
【练习12】若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【练习13】先化简，再求值：化简，并求时的值．
3.二次根式规律题
解决此类问题关键是归纳各算式之间的规律，利用所找到的规律化简复杂的运算.
【练习14】观察下列各式，，······请你将猜到的规律用含的代数式表示出来 。
4.二次根式的应用
【练习15】已知、、满足，
（1）求、b、的值．
（2）试问：以、、为三边长能否构成三角形，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．
【练习16】如图所示，已知长方形ABCD的面积为，求阴影部分的面积．
参考答案
【练习1】【答案】（1） （2） （3）
【解析】解：（1）
（2）
（3）
【练习2】【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）
（2）
【练习3】【答案】（1）， ， （2）
【解析】解：（1）由题意可得：，，
（2）能；理由如下：
，即
又，即
所以能构成三角形，周长=
【练习4】【答案】或
【解析】解：（1）当腰长为时，
，∴能构成三角形
周长为：
（2）当腰长为时，
，∴能构成三角形
周长为：
【练习5】
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为，，所以
（2）因为，，所以
（3）因为，
，即
，
【练习6】【答案】B
【解析】解：原式=（+1）2﹣5（+1）（﹣1）+（﹣1）2+6
=3+2﹣5+3﹣2+6
=7，故选：B．
【练习7】【答案】
【解析】
【练习8】【答案】（1） （2）2
【解析】（1）
（2）
【练习9】【答案】93
【解析】因为，所以，所以，
【练习10】【答案】4033
【解析】有意义的条件是，所以，所以代入解得，所以
【练习11】【答案】D
【解析】解：原式=（2﹣a）+（3﹣a）=5﹣2a
【练习12】【答案】C
【解析】解：
原式=
【练习13】【答案】
【解析】解：
【练习14】【答案】
【解析】由题中规律可得：
验证：
【练习15】【答案】（1） （2）可以构成三角形，周长为
【解析】（1） ，，
以a、b、c为三边长可以构成三角形．理由如下：由（1）知，．
，即，∴以a、b、c为三边长可以构成三角形．
三角形周长为：
【练习16】【答案】
【解析】
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16.3二次根式的加减
【学习目标】：
1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【知识讲解】：
16.3.1、二次根式的加减
1.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
即： ；
2.二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
即： ；
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
3)合并同类二次根式.
【练习1】计算（1） （2） （3）
【练习2】计算（1） （2）
【练习3】已知，，满足，
求：(1)求，，的值；
（2）以，，为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
【练习4】有一个等腰三角形的两边长分别为，，求其周长。
2.二次根式的比较大小
能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大；
不能化简成同类二次根式的：
正数大于负数；
同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大；
同为负数时，进行平方运算，结果大的二次根式反而小；
作差法。
【练习5】比较大小：
（1）与 （2）与 （3）与
16.3.2、二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【练习6】已知，，则等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【练习7】化简：
【练习8】计算（1） （2）
2.二次根式的化简求值
当遇到已知条件中字母的值比较复杂且不能化简，直接代入求值比较繁琐时，一般是先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后采用“整体代入”的方法进行求值.
【练习9】已知，求的值。
【练习10】若，求的值。
【练习11】若，化简 的正确结果是（ ）
A．﹣1 B．5 C． D．
【练习12】若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【练习13】先化简，再求值：化简，并求时的值．
3.二次根式规律题
解决此类问题关键是归纳各算式之间的规律，利用所找到的规律化简复杂的运算.
【练习14】观察下列各式，，······请你将猜到的规律用含的代数式表示出来 。
4.二次根式的应用
【练习15】已知、、满足，
（1）求、b、的值．
（2）试问：以、、为三边长能否构成三角形，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．
【练习16】如图所示，已知长方形ABCD的面积为，求阴影部分的面积．
参考答案
【练习1】【答案】（1） （2） （3）
【解析】解：（1）
（2）
（3）
【练习2】【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）
（2）
【练习3】【答案】（1）， ， （2）
【解析】解：（1）由题意可得：，，
（2）能；理由如下：
，即
又，即
所以能构成三角形，周长=
【练习4】【答案】或
【解析】解：（1）当腰长为时，
，∴能构成三角形
周长为：
（2）当腰长为时，
，∴能构成三角形
周长为：
【练习5】
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为，，所以
（2）因为，，所以
（3）因为，
，即
，
【练习6】【答案】B
【解析】解：原式=（+1）2﹣5（+1）（﹣1）+（﹣1）2+6
=3+2﹣5+3﹣2+6
=7，故选：B．
【练习7】【答案】
【解析】
【练习8】【答案】（1） （2）2
【解析】（1）
（2）
【练习9】【答案】93
【解析】因为，所以，所以，
【练习10】【答案】4033
【解析】有意义的条件是，所以，所以代入解得，所以
【练习11】【答案】D
【解析】解：原式=（2﹣a）+（3﹣a）=5﹣2a
【练习12】【答案】C
【解析】解：
原式=
【练习13】【答案】
【解析】解：
【练习14】【答案】
【解析】由题中规律可得：
验证：
【练习15】【答案】（1） （2）可以构成三角形，周长为
【解析】（1） ，，
以a、b、c为三边长可以构成三角形．理由如下：由（1）知，．
，即，∴以a、b、c为三边长可以构成三角形．
三角形周长为：
【练习16】【答案】
【解析】
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