高中数学人教A版2019必修2 向量的数乘运算（二）数量积 教案

高中数学人教A版2019必修2
向量的数量积 教学设计
【教学目标】
知识与技能：
①了解平面向量的物理背景，理解数量积的含义及物理意义，从而知道平面向量数量积的定义的产生过程，掌握其定义，掌握其几何意义;
②体会平面向量数量积与向量投影的关系；
③能够由定义探究平面向量数量积的重要性质和运算律;
④会用数量积的夹角判断两个平面向量的垂直、共线关系；
过程与方法：
通过物理学中同学们已经学习过的功的概念引导学生探究出数量积的定义，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念；接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。
情感、态度与价值观：
通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。
【教学重点】
数量积的定义，向量模和夹角的计算方法
【教学难点】向量的数量积的几何意义
【教学方法】启发式、自主探究式相结合
【教学过程】
一、回顾旧知：
平面向量的模的定义
平面向量的加减法运算法则，运算结果是什么？
平面向量的数乘运算规则及运算结果是什么？
二、导入新课：
回顾平面向量的几种运算，提出问题：物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.探究，两个向量是否可以相乘。
阅读课本，引入新课：
请同学们阅读课本第17-18页，思考并完成以下问题：
什么是向量的夹角？当向量的夹角分别等于00和900时，两个平面向量的位置关系如何？
板书：（1）已知两个非零向量、，O为平面上任意一点（如图所示），作,，则A叫做与的夹角
（2）当时，与同向；当时，与反向
（3）当时，与垂直，即
规定：零向量可与任一向量垂直。
怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
板书：已知两个非零向量、，他们的夹角为θ，我们把数量
︱︱·︱︱叫做与的数量积（或内积），记作：，即：
注意不能写成或的形式
向量在方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
板书：（1）叫作向量在方向上的射影。
注意：射影也是一个数量，不是向量。
（2）数量积的几何意义：是向量的模与向量在向量方向上的投影的乘积 ，也等于向量的模与向量在向量方向上的投影的乘积，在方向上的投影与在方向上的投影。
向量数量积的性质有哪些？
是单位向量，
（3）；
特别地：或
（4）
（5）
5.向量数量积的运算律有哪些？
板书：已知向量、、和实数λ，则：
（1）.交换律：
（2）.数乘结合律：（）
(3).分配律：
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
例1：若，
当时，求
向量与向量的夹角1200，求
当时，求
（4）向量与向量的夹角600，求向量在向量方向上的投影
解：（1）①当时，若与同向，则它们的夹角为0°.
∴
若与反向，则它们的夹角为180°.
∴
（2）当与的夹角为120°时，
（3）当a⊥b时，它们的夹角为90°.
∴
向量在向量方向上的投影：
【随堂练习1】：课本20页练习1、2、3
已知向量满足，，求的夹角
解：设d的夹角为θ，由题意得:
，
又，
，即
又，的夹角为
【随堂练习2】：课本22页练习1、2、3
【课后小结】
让学生自己总结本节课所学主要知识及解题技巧
【板书设计】
知识点 1、 2 3 4 5 例1 例2 学生演板 课后小结 课后作业
【课后作业】
23页习题6.2第10、11、13
【教学反思】
亮点：学生能够熟练的掌握平面向量的性质及运算规律
不足：针对平面向量的几何意义有部分同学理解的不够到位
建议：针对平面几何的几何意义需要加强习题的练习。