第23章一元二次方程_学案

课题：23.2 一元二次方程
学习目标:
知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）
学习过程：
一 、设疑自探：
自探一 1．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得：x2＋10x－900=0.　　（1）
二、 解疑合探：
自探二 下列方程是什么方程？有什么特点？
（1） x (2) 7x=6x (3) (4)
这些方程是_______________________________;共同特点: (1)__________________
(2)_____________________________,(3) _________________________________.
自探三 （1）x2＋10x－900=0. （2）2x2-2x-5=0； （3） 3x2+x-1=0；
（4） x2+x-=0； （5） x2-2+1=0；
思考：这些方程显然都不是一元一次方程.那么这些方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？你能否仿照一元一次方程的特点来总结一下。
共同特点：
（1） _____________________（2）_________________ （3） _________________
你能仿照一元一次方程的定义给这类方程起个名称并说出它的定义吗
三、学生自学课本第16页的概括.要求明确相关概念.并举例说明.
四、拓展运用：
1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1）
（2） （3） （4）
2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）
3．例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
4．例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
五、巩固练习：
练习一
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
2x(x-1)=3(x-5)-4
练习二 关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
学习反思：
课题：23.2 用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程
学习目标: 1.会用直接开平方法解一元二次方程.
2.正确理解因式分解法的实质．
3．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．
学习过程:
一.复习回顾:
1.请写出平方根的定义:
2. 根据平方根的定义求下列各数的平方根：
（1） 49; (2) 64; (3) 1.69; (4) ;
3. 求下列各式中的x：
（1）x2=36 （2）x2-4=0 （3）（x-1）2=25 （4）49x2=1
二．探索新知：
自探一 利用平方根的定义解方程：
（1）x2=9 （2）x2-1=0 （3）（x-2）2=25 （4）36x2=1
总结:
自探二
如果两个因式的积为零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．
即AB=0有下列三层含义
①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
利用些知识点解方程: (1) （x＋2）（x＋3）＝0， (2)
总结:
三.反馈练习
(1) (2)
(3) 3（x-2）-x（x-2）＝0． (4)
(5) (6)

(7) (8)
学习反思：
课题：23.2 用配方法解一元二次方程 （1）
学习目标: 会用配方法解数字系数的一元二次方程。
学习过程：
一、做一做：
试将方程（x+3）2=2的左边展开、移项、合并同类项。
二、小组交流探索：
现在，我们来研究方程：x2+6 x+7=0的解法。
我们知道，方程：x2+6 x+7=0是由方程：（x+3）2=2变形得到的，因此，要解方程：x2+6 x+7=0应当如何变形？
下面重点研究如何将方程：x2+6 x+7=0，变形为：（x+3）2=2。
（这里，不是只研究这一道题解法的问题，而是注意找出一般规律。）
（小结：）这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
三、课堂练习：
1、x2+6x+ =（x+ ）2； 2、x2－5x+ =（x－ ）2；
3、x2+ x+ =（x+ ）2；
四、例题学习：
例1 解方程：x2－4 x－3=0。
例2 解方程：2x2+3=7 x。
该方程和例1有什么区别，应怎样解？
五、课堂练习
课本第22页练习第1，2题。
六、反馈纠正：
①用配方法解下列方程：
⑴x2-2x-5=0； ⑵x2+x-1=0；
⑶x2+x-=0； ⑷x2-2+1=0；
②用配方法将下列各式化成a（x+h）2+k的形式．
⑴-3x2-2x+1； ⑵x2-x+1；
⑶y2+y-2； ⑷ax2+bx+c（a≠0）；
课题：23.2 用配方法解一元二次方程（2）
学习目标:
1．使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2．引导学生熟记求根公式并理解公式中的条件
3．使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
学习过程：
（一）复习引入
我们学过了一元二次方程的两种解法，它们是
1．直接开平方法：
2．配方法：
（二）探索新知
1.用配方法解方程：
推导可得一元二次方程的求根公式:
2．例题学习
例1、解方程
例2、 解方程
例3、解方程
4．反馈练习
（1） （2） （3） （4）
（三）课堂总结：
（1）要牢记一元二次方程的求根公式
（2）利用求根公式求一元二次方程的根的步骤：
①化方程为一般形式 ②确定方程中的、、的值
③算出的值 ④代入求根公式求方程的根
（3）求根公式是在时求方程的根，如果＜0时，则方程在实数范围内无解。
（四）拓展练习
（1）用公式法解方程得到方程的根是 。
（2）已知能使的值等于的值的值是 。
（3）若代数式与的值是互为相反数，则的值为 。
（4）关于的一元二次方程的常数项为0，则关于的一元二次方程的一般式为
课题：23.2 一元二次方程解法的复习
学习目标:
1、掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法解方程。
学习过程：
一、知识回顾
1.判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4xx +3=0 （2）3x -y-1=0
（3）ax +ｂx+c=0 （4）x+=0
2.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________,它的二次项系数是_____,一次项是_____,常数项是_____
巩固提高：
1、若（m+2）x2 +（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方程则m ______________。
2、已知关于x的方程（m -1）x +（m-1）x-2m+1=0，当m____________时是一元二次方程，当m=______________时是一元一次方程，当m=____________时，x=0。
例题：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2） -49=0 2、（3x -4） =（4x -3） 3、4y = 1 - y
二、比一比
请用四种方法解下列方程: 先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法
4(x＋1)2 = 9(2x－5)2
三、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
1、3x -1=0 2、x（2x +3）=5（2x+3）
3、x -4x-2=0 4、2x -5x+1=0
四、能力提高
求证：关于x的方程：x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实根。
阅读材料，解答问题
为了解方程（y -1） -3（y -1）+2=0，我们将y -1视为一个整体.
解：设 y -1=a，则（y -1） =a ，
原方程可化为
a -3a+2=0， （1）
解得
a1=1，a2=2。
当a=1时，y -1=1，解得，y1= , y2=
当a=2时，y -1=2，解得y3= y4=
解答问题：1、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了__________ 法达到了降次的目的，体现了______________的数学思想。
学习反思:
课题：23.2 一元二次方程的根的判别式
学习目标: 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况.　
学习过程:
　　一、复习引入
1. 用公式法解下列方程．
(1) （2） (3)
2. 计算上述三个方程的的值.并思考与方程根的情况.
二、自主探究，合作交流
从前面的具体问题，我们已经知道>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
（1）当>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．
　　例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） (2)
(3) (4)
分析：不解方程，判定根的情况，只需用的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
例2 不解方程，判别方程 的根的情况。
例3 求证：若关于x的一元二次方程（2m2+1）x2-2mx+1=0没有实数解
三. 拓展提高:
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（ ）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）．
A．a=0 B．a=2或a=-2 C．a=2 D．a=2或a=0
3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数
4．不解方程，当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
5．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
学习反思：
课题：23.2 一元二次方程的应用（1）
学习目标:
1.会列一元二次方程解相关的应用题，并能检查所得的结果是否正确、合理
2.通过列一元二次方程解相关的应用题，培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生心身边生活，勇于思考、勇于探索的实践能力，进一步提高学生列方程解决问题的能力
学习过程：
一、课前热身
问题1：某小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
二、自主学习、合作探究
用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形，求这个矩形的长及宽。
三、小结：
列一元二次方程解应用题的步骤：
①　审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；
②　设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
③　列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；
④ 解：求出所列方程的解；
⑤ 检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
⑥ 答：写出答案．
四、巩固练习
1、以墙为一边，再用长为13m的铁丝为另外三边，围成面积为20m2的长方形．已知长大于宽，则长方形的长、宽分别是（ ）
A．5m、4m或9m、2m B．9m、2m C．10m、1.5m D．8m、2.5m或5m、4m
2、若等腰直角三角形的面积为8，则斜边长为（ ）
3、两个正方形的边长之和为25dm，面积之和为325dm2，设一个小正方形的边长为x，则关于x的一元二次方程是( )大正方形的边长为（ ）
五、达标反馈：
1.用16cm长的铁丝弯成一个矩形，用18cm长的铁丝弯成一个有一条边长为5cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，求矩形的边长．
2.为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，学校决定一边靠校园20m的院墙，另外三边用55m长的篱笆，围起一块面积为300m2的矩形场地，组织生物小组学生喂养鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长是多少？
课题：23.2 一元二次方程的应用（2）
学习目标:
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的应用题；
2、进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。
学习过程：
复习提问：
列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？
二、探索新知
1.情境导入
问题：“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施，某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范．2002年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务，而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x，并保持这一增长率不变，2003年村长完成了36.3亩坡耕地还林还草任务，求①增长率x是多少？②该村有50户人家，每户均地以村长2003年完成的亩数为准，国家按每亩耕地500斤粮食给予补助，则国家将对该村投入补助粮食多少万斤？
分析：这是一个平均增长率问题，它的基数是30亩，平均增长的百分率为x，那么第一次增长后，即2002年实际完成的亩数是30（1+x），第二次增长后，即2003年实际完成的亩数是30（1+x）2，而这一年村长完成的亩数正好是36.3亩．由此可列方程。
解：
三、例题学习
说明：题目中求平均每月增长的百分率，直接设增长的百分率为x，好处在于计算简便且直接得出所求。
例、某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两降价的百分率相同，求每次降价百分之几？
四、巩固练习
一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少（精确到0.1%）？
五、课堂总结：
1、善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据间相互关系，正确列出方程。
2、注意解方程中的巧算和方程两个根的取舍问题。
六、反馈练习：
1.某商品计划经过两个月的时间将售价提高20%，设每月平均增长率为x，则列出的方程为（）
A．x+（1+x）x=20% B．（1+x）2=20% C．（1+x）2=1.2 D．（1+x%）2=1+20%
2.某工厂计划两年内降低成本36%，则平均每年降低成本的百分率是 （ ）
3.某种药剂原售价为4元，经过两次降价，现在每瓶售价为2.56元，问平均每次降低百分之几？
课题：23.2 一元二次方程（习题课）
学习目标:
1、会根据同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。
2、能利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况；灵活掌握一元二次方程的求根公式。
会列一元二次方程解简单实际问题，并对结果作合理的解释。
【学习过程】
一、自主学习：
复习课本知识，思考下列问题：
一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？
用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？
用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
如何利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？
求取的方程的解都符合题意吗？有什么判断依据？
二、自主练习、合作交流：
例1、观察下列方程,你打算选择什么方法求解,并与同学交流、讨论
（1） （2）
解： 解：
（3） （4）
解： 解：
（5）
解：
例2：关于x的一元二次方程
（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根。
（2）当m取何值时，此方程有两个相等的实数根。
（3）当m取何值时，此方程没有实数根。
解：
三、巩固练习
解下列方程：
（1） (2)
解： 解：
（3） （4）
解： 解：
2、列方程解实际问题。
（1）一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积7cm。求斜边的长（精确到0.01cm）。
（2）参加一次商品交易会的两家公司之间都签订了一份合同，所有公司供签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
四、总结反思：（针对学习目标）
由学生自主完成，教师作适当补充。
解一元二次方程时，首先把方程转化成一般形式观察，首先考虑因式分解法，若不行再选择其它方法。
解方程时要细心，注意符号运算及每一步细节。
遇实际问题时，方程的解要符合实际意义。
b2-4ac来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。
五、达标检测
1、解方程较简便的方法是（ ）
A、直接开平方法 B、因式分解法 C、配方法 D、公式法
2、在一元二次方程 中，若a与c异号，则方程（ ）
A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根
C、没有实数根 D、无法判断
3、（2007安徽）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A． m＞－1 B． m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
4、若，那么x= 。
5，如果二次三项式是完全平方式，那么m= 。
6、设一元二次方程的两个实数根为，则= 。
7、用适当的方法解方程：
（1） （2）
解： 解：
（3） （4）
解： 解：
六、拓展创新
1、求证：方程对于任何实数m，永远有两个不相等的实数根。
2、已知关于x的方程
（1）当m取何值时，方程有两个实数根。
（2）为m选一个合适的整数，使方程有两个不相等实数根，并求出这两个根。
课题：23.2 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：
1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2．灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
一、课前准备
1、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
2、如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。
二、课上探究