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第3章-函数的概念与性质 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A．3 B．－1 C．1或－3 D．－1或3
5．已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值-4
8．定义域为R的函数满足，任意的实数都成立，且值域为．设函数若对任意的，都存在，使成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．以下函数中和为同一函数的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
10．已知函数， 关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若， 则的值是
11．是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．当时，
12．若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ）
A．“影子函数”可以是奇函数
B．“影子函数”的值域可以是
C．函数是“影子函数”
D．若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 .
14．请写出一个同时满足条件①②③的函数 .
①，；②函数的最小值为1；③函数不是二次函数.
15．若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
16．若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明：是上的增函数.
18．设函数， 令函数．
（1）若函数为偶函数， 求实数的值；
（2）若， 求函数在区间上的最大值．
19．已知函数，其中为常数.
（1）若，判断函数在上的单调性，并证明；
（2）设则在上恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数
（1）讨论函数的奇偶性（只需写出正确结论）；
（2）当时，写出函数的单调递增区间：
（3）当时，求函数在区间上的最大值.
21．已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，，求的最大值.
22．已知函数.
（1）当时，写出函数的单调区间；
（2）若函数的图象关于点中心对称，求的值；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
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第3章-函数的概念与性质 单元检测卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则可得
所以，所以
故答案为：B
2．已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】已知函数，其中
所以则有.
故答案为：A.
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得或，即的定义域为，
而在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性得，的单调递减区间为，
故答案为：B
4．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A．3 B．－1 C．1或－3 D．－1或3
【答案】A
【解析】因为是幂函数，
所以，解得或3；
又在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
故．
故答案为：A．
5．已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为是偶函数，故，
故由，得，
由函数在上单调递增得，
则，则，
所以，即，，
所以ACD不合题意，B符合条件．
故答案为：B.
6．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因函数是R上的增函数，则，解得，
所以a的取值范围是：.
故答案为：B
7．已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值-4
【答案】A
【解析】为奇函数，
，
，
，
单调递增，单调递增，
单调递增．
为了解决问题我们先研究对勾函数的性质，
，令且，
，
∴在上单调递增．
若恒成立，
则等价成，
即①，
令，
①化为 ，
令，
由上面的讨论知，在上单调递增，
，
，
∴，
∴ a的最大值为。
故答案为：A．
8．定义域为R的函数满足，任意的实数都成立，且值域为．设函数若对任意的，都存在，使成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，解得或，
因为为偶函数，且值域为，
所以；
由，在一个平面直角坐标系中画出两者的函数图象，如图，
要想满足任意的，存在，使得成立，
则当时，，解得，
且时，函数的图象要位于函数图象的下方，
故只需，解得.
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．以下函数中和为同一函数的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】B,D
【解析】A选项：虽然函数的对应法则一样，但是函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，故A项错误；
B选项：当时，，则，与定义域和对应法则都相同，故函数和为同一函数，所以B项正确；
C选项：函数，函数和对应法则不同，不是同一函数，故C错误；
D选项：的定义域为，与定义域和对应法则都相同，为同一函数，故D正确.
故答案为：BD
10．已知函数， 关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若， 则的值是
【答案】B,C
【解析】由分段函数解析式可知其定义域为，A不符合题意；
当时，此时，在上单调递增，则此时；
当时，此时，对称轴为，则，且，故此时，
故值域为，作出如图所示图象，B符合题意；
，C符合题意，
当时，，；当时，，（舍去另一个负值），
故若，则的值是或，D不符合题意；
故答案为：BC.
11．是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．当时，
【答案】A,C,D
【解析】因为是奇函数，是偶函数，
所以，
解得，
对于A：，A符合题意；
由，
当时，，
所以，
当时，，，
所以，
又，
则有，
，
所以，B不符合题意；
对于C：
，C符合题意；
对于D：由B可知，D符合题意；
故答案为：ACD
12．若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ）
A．“影子函数”可以是奇函数
B．“影子函数”的值域可以是
C．函数是“影子函数”
D．若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”
【答案】A,C
【解析】，在其定义域内，对任意的，存在，使得成立，是“影子函数”，它也是奇函数；A符合题意；
若“影子函数”值域是R，则当满足时，不存在，使得，B不符合题意；
，对任意的，，是唯一的，C符合题意；
若，，，不是“影子函数”，如，，或时，都有，不唯一，D不符合题意．
故答案为：AC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 .
【答案】a≥1
【解析】因为函数的定义域为，
所以在R上恒成立，
则，
解得：a≥1.
故答案为：a≥1.
14．请写出一个同时满足条件①②③的函数 .
①，；②函数的最小值为1；③函数不是二次函数.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由①可得，为偶函数，再结合②③可得，可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
因为函数的值域为，
所以，解得，
综上所述实数的取值范围是.
故答案为：.
16．若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 .
【答案】
【解析】令
I.当时，函数显然单调递增，
所以，，
由题意可得，
这与矛盾，故舍去；
II，当时， 在单调递减，单调递增，
①.当时，即，所以，
由题意可得，
这与矛盾（舍去）.
②．当时，即，
所以，
，
由题意得，
a.当时，此时，
所以
，故，
而 ，故，
b.当时，此时，所以
，
故，
而，
故.
③．当时，即，
所以，，
由题意可得，
这与矛盾，
综上所述：.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明：是上的增函数.
【答案】（1）解：函数是定义在上的奇函数，
∴，即，解得，∴，经验证满足题意
（2）证明：任取，
则，
由，可得，，，，
则，即，
∴是上的增函数.
18．设函数， 令函数．
（1）若函数为偶函数， 求实数的值；
（2）若， 求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）解：因为.
因为为偶函数，所以.
即，化简得，
所以对任意恒成立，所以；
（2）解：当时，，对称轴为，
又
所以函数在区间上的最大值，
当，两边同平方得，化简得，解得，此时，
则，解得，此时，
故
19．已知函数，其中为常数.
（1）若，判断函数在上的单调性，并证明；
（2）设则在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数在上单调递增，理由如下：
设，
，
因为，
所以，
因为，
所以
所以
即当时，，
所以在上函数的单调递增.
（2）解：解法1：由题意得：，
①当时，不等式成立；
②当时，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以：
解法2：由题意得：恒成立，
设，成立，
对称轴为
①当，即时，，成立；
②当时，，得；
③当时，，解集为；
综上所述：的取值范围是.
20．已知函数
（1）讨论函数的奇偶性（只需写出正确结论）；
（2）当时，写出函数的单调递增区间：
（3）当时，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）解：当时，，，故为奇函数；
当时，为非奇非偶函数.
（2）解：当时，，
所以，
所以当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，
所以的单调递增区间为.
（3）解：因为且，
所以，对称轴为，
当，即时，；
当，即时，在上单调递增，，
综上.
21．已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，，求的最大值.
【答案】（1）解：∵，∴图象的对称轴为直线，
又，故设，，
∵，∴，得，
∴，即.
（2）解：当时，恒成立，即恒成立，
令，当时，单调递减，
∴，∴，即实数的取值范围为.
（3）解：
，，
故图象的对称轴为直线，
①当，即时，；
②当，即时，，
综上，.
22．已知函数.
（1）当时，写出函数的单调区间；
（2）若函数的图象关于点中心对称，求的值；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：若函数图像关于点中心对称，则
．
令，则．
∴，∴．
经检验时，，
，
满足函数的图象关于点中心对称.
所以.
（3）解：①当 时，恒成立，故．
②当时，，令
则恒成立，故．
③当时，，，
解法一：由上可知，
设，对称轴为直线，
若，即时，，
∴∵∴．
若，即时，，∴恒成立．
∴．
解法二： ，∴
设，
则，
∴
综上①②③，．
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