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第4章-指数函数与对数函数 单元检测卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，，
因为在上递减，
所以在上递减，
又，
所以函数的零点所在的区间为，
故答案为：D
2．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，， ，令，则在上单调递增，所以。
故答案为：A
3．已知正实数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，故 ，故
故答案为：C
4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
∵在上单调递减，
∴在内递增，且恒大于0，
且，
．
故答案为：C．
5．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，所以或.
函数在单调递增，在单调递减.
又函数在定义域内单调递减，
所以函数的单调递减区间是.
故答案为：C
6．已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，画出的图象，设
结合图象知：当或时有且仅有1个实根；当时有2个实根；
问题转化为在内有两个不同的零点，
从而，解得.
故答案为：D
7．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：，
因为，
所以
对于任意，存在，有等价于
即.
则实数a的取值范围是.
故答案为：A.
8．已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，A错误，符合题意；
这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，D正确，不符合题意；
因为，即，所以，B正确，不符合题意；
，即，所以，C正确，不符合题意.
故答案为：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列函数是奇函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【解析】对于A，因为函数f(x)=x3在R上单调递增，所以函数f(x)=-x3在R上单调递减，故A错误；
对于B，因为 ，所以函数 为偶函数，故B错误；
对于C，因为 ，所以函数为奇函数，
任取x1，x2，满足0由于0所以f(x1)-f(x2)<0 ，
即f(x1)故函数f(x)在（0，1）上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ，所以函数为奇函数，
任取x1，x2，满足0，
由于00 ， x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0 ，
即f(x1)所以函数f(x)在（0，1）上单调递增，故D正确.
故选：CD.
10．已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C,D
【解析】因为，所以，
故，
设，则，
故，解得：或2，
当时，，故，，故；
当时，，故，，故
故答案为：CD
11．已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为16 B．的最大值为9
C．的最大值为9 D．的最大值为
【答案】A,D
【解析】因为，则，；
则，即，当且仅当时，即时等号成立，A项正确，C项错误；
因为，，则，，当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为9，B项错误；
因为，，，当且仅当时，即时等号成立，D项正确.
故答案为：AD.
12．已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．可以取到3
【答案】B,D
【解析】由题设，，其函数图象如下：
而的对称轴为且，即，
所以必有两个零点、分别在的两侧，
由上图知：且，满足原方程有四个实根，
故，则，D符合题意；
所以：；且；
：；且：.；
所以且，则，
A、C不符合题意，B符合题意.
故答案为：BD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．若，则 ．
【答案】
【解析】若，则，所以。
故答案为：。
14．已知，，则 ．（用a，b表示）
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，，所以，
由换底公式可得：.
故答案为：.
15．已知，则 .
【答案】21
【解析】因为，所以，即，
所以，。
故答案为：21。
16．已知，且，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】由题，则，得.
又.则.
当且仅当时取等号.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知函数是定义在R上的奇函数（其中实数）．
（1）求实数m的值；
（2）试判断函数的单调性，并求不等式的解集．（无需证明单调性）
【答案】（1）解：因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，得，
此时，，
所以函数为奇函数，故；
（2）解：因为，
因为函数为增函数，为减函数，为增函数，
所以函数在R上单调递增，
所以由得，
∴，
∴，
∴，
∴所求不等式的解集为.
18．设，函数．
（1）若，判断并证明函数的单调性；
（2）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围．
【答案】（1）解：当时，因为，所以，
所以函数的定义域为，
结论：函数是增函数．
证明：设对任意的，，且，则
，
因为，所以，即．
又因为，，，
所以，
所以，即证．
（2）解：因为m又由知，，所以，
因为，所以或．
①当时，由（1）知，函数是增函数．
因为函数在区间上的取值范围是，
所以，即，
从而关于的方程有两个互异实根．
令，则，所以方程有两个互异正根，
所以从而．
②当时，函数在区间，上均单调递减，
若，则，于是，这与矛盾，故舍去；
若，则，
于是即，
所以，两式相减并整理得，，
又，故，从而．
因为，所以．
综上，的范围是．
19．已知奇函数.
（1）求值；
（2）若函数的零点是大于的实数，试求的范围.
【答案】（1）解：因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，
因为在上单调递增，
所以，即，解得；
（2）解：，
由题意，，即，
因为，所以，所以，
又在上单调递增，所以，
所以的范围为.
20．已知函数是定义在上的偶函数，函数.
（1）求实数的值；
（2）若时，函数的最小值为.求实数的值.
【答案】（1）解：的定义域为，
为偶函数，所以，
.
（2）解：由（1）得.
.
令，
结合二次函数的性质可知：
当时，时，最小，即，
解得，舍去.
当时，时，最小，即，解得（负根舍去）.
当时，时，最小，即，
解得，舍去.
综上所述，.
21．已知函数与.
（1）判断的奇偶性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：∵的定义域为R，
∴，∴为偶函数.
（2）解：函数只有一个零点
即
即方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.
∴实数a的取值范围为.
22．已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值；
（3）当为何值时，讨论关于的方程的根的个数．
【答案】（1）解：由题意得：，即，所以，其中，
∴，解得：
（2）解：，
∴，
故函数的最小值为，
令，故的最小值为，等价于，解得：
或，无解
综上：．
（3）解：由，
令，，
有
．
由，有，，可得，可知函数为增函数，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，
令，有，
方程（记为方程①）可化为，整理为：（记为方程②），
，
当时，有，此时方程②无解，可得方程①无解；
当时，时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为；
时，方程②的解为，可得方程①有两个解；
当时，可得或，
1°当方程②有零根时，，此时方程②还有一根为，可得此时方程①有三个解；
2°当方程②有两负根时，可得，不可能；
3°当方程②有两正根时，可得：，又由，可得，此时方程①有四个根；
4°当方程②有一正根一负根时，，可得：或，又由，可得或，此时方程①有两个根，
由上知：当时，方程①有一个根；
当时，方程①没有根；
当或或时，方程①有两个根；
当时，方程①有三个根；
当时，方程①有四个根．
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第4章-指数函数与对数函数 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正实数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列函数是奇函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为16 B．的最大值为9
C．的最大值为9 D．的最大值为
12．已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．可以取到3
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．若，则 ．
14．已知，，则 ．（用a，b表示）
15．已知，则 .
16．已知，且，则的最小值为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知函数是定义在R上的奇函数（其中实数）．
（1）求实数m的值；
（2）试判断函数的单调性，并求不等式的解集．（无需证明单调性）
18．设，函数．
（1）若，判断并证明函数的单调性；
（2）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围．
19．已知奇函数.
（1）求值；
（2）若函数的零点是大于的实数，试求的范围.
20．已知函数是定义在上的偶函数，函数.
（1）求实数的值；
（2）若时，函数的最小值为.求实数的值.
21．已知函数与.
（1）判断的奇偶性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
22．已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值；
（3）当为何值时，讨论关于的方程的根的个数．
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