高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章5.4.1正弦函数、余弦函数的图像（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章5.4.1正弦函数、余弦函数的图像
一、单选题
1．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有( )
A．3对 B．5对 C．7对 D．14对
4．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数与图像交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若函数在区间上有个零点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
10．满足不等式的x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．[多项选择题]函数,的图像与直线(t为常数)的交点可能有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．
14．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______．
15．函数的定义域为_____．
16．已知余弦函数过点，则的值为__________．
四、解答题
17．已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）当时，求函数的值域.
18．作出函数，的大致图像．
19．求函数的对称轴和对称中心.
20．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若任意恒成立，，求m范围．
21．设函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
（2）作出函数在一个周期内的简图．
22．当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）；
（2）；
（3）.
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案：
1．C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
2．C
【分析】根据函数的定义域，对称性，偶函数定义进行判断.
【详解】对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；
对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；
对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；
对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查偶函数的判断，首先需要考虑对称轴是否关于原点对称，再根据图象是否关于轴对称或利用定义判断.
3．C
【分析】结合题意，将函数的友好点的对数转化为与的图象的交点个数，然后利用图像求解即可.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称，
所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数，
即函数与的图象的交点个数，
作出函数与的图象，如图所示:
可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对.
故选:C．
4．B
【分析】根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果.
【详解】对于A，，图象与重合，A错误；
对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；
对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；
对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.
故选：B.
5．B
【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】因为，且为偶函数
所以，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出，在同一坐标系的图象，如图，
因为方程至少有8个实数解，
所以，图象至少有8个交点，
根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当时，只需，即，
当时，只需，即，
当时，由图可知显然成立，
综上可知，.
故选：B
6．D
【分析】由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．
【详解】函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，
，
如图：
①当，则，得无解；
②当，则，求得；
③当时，则，求得；
④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意；
综上，可得或；
故选：D.
7．C
【分析】作出直线与函数在上的图象，观察图形即可得解.
【详解】作出函数在上的图象，并作出直线，如图：
观察图形知：函数在上的图象与直线有两个公共点，
所以函数与图像交点的个数为2.
故选：C
8．C
【分析】求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
9．BD
【解析】令，可得，作出函数与在区间上的图象，可知两个函数在区间上的图象有两个交点，进而求出实数的取值范围，从而可得出合适的选项.
【详解】令，可得， 可知两个函数在区间上的图象有两个交点，
作出函数与在区间上的图象，如下图所示：
则或，解得或.
故选：BD.
【点睛】本题考查利用三角函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
10．BCD
【分析】利用三角函数的图象解得即可得解.
【详解】由三角函数的图象知，
当时，，
故B，C，D都可以.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数的图象解不等式是解题关键.
11．ABC
【解析】作出函数,的图像和直线,观察交点即可.
【详解】解析:在同一平面直角坐标系中,作出函数,的图像和直线,如图所示.
由图可知,当或时,交点个数为0;当或时,交点个数为2;当或或时,交点个数为1.
综上,交点个数可能为0,1,2.
故选：ABC.
【点睛】本题考查正弦函数的图像，是基础题.
12．ABD
【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由图可知，
设函数的最小正周期为，则，，，则，
由得，解得，
又，，，A正确；
对于B选项，由，得，B正确；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，
得的图象，C错误；
对于D选项，由得，
由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，
则，解得，D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
13．
【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得，进而得到答案.
【详解】作出，与的大致图象，如图所示．
由图象，可知，即，故实数a的取值范围为．
故答案为：.
14．
【分析】参变分离后画出函数图象，数形结合得到，进而求出的取值范围.
【详解】由题意得：，因为，所以，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：
故答案为：
15．
【分析】解不等式可求得函数的定义域.
【详解】解不等式，可得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
16．
【分析】将代入余弦函数即可求解.
【详解】设余弦函数为，
由函数过点可得.
故答案为：.
17．（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，，对称中心为（）；（3）.
【分析】（1）根据正弦函数的性质先求出最值和周期，最后代入特殊值计算的值即可；（2）根据正弦函数的性质，整体代入求单调区间，对称轴，对称中心，解出即可；（3）求出整体的范围，代入正弦型函数中计算，可求出值域.
【详解】(1)由题设知，，
周期，，由得.
所以.
又因为时，取得最大值3，
即，，解得，又，
所以，所以.
(2)由，得.
所以函数的单调递增区间为.
由，，得，.
对称轴方程为，..
由，得（）.
所以，该函数的对称中心为（）.
(3)因为，所以，则，
所以.所以值域为：.
所以函数的值域为.
【点睛】本题考查由三角函数特殊点的取值求三角函数解析式，考查求正弦型函数的单调区间，对称轴，对称中心以及值域，数学正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
18．图见解析
【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可.
【详解】函数，
其图如下所示：
19．对称轴为；对称中心为
【分析】结合的性质，分别令和可解得对称轴和对称中心.
【详解】由，得，
所以对称轴为.
由，得，
所以对称中心为.
【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的对称轴及对称中心，用到了整体代换的思想，属于基础题.
20．(1)
(2)
【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，按照正弦型函数的周期计算方法即可计算；
(2)问题等价于求f(x)在上的最大值，m大于等于该最大值，根据三角函数性质可求其最大值.
(1)
∵，
∴的最小正周期为；
(2)
∵，
∴，
当，即时，，
，使恒成立，
∴．
21．（1），；（2）图象见解析
【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心.
（2）首先根据函数的解析式得到数的图象与轴的一个交点坐标为，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，再画出函数的图象即可.
【详解】（1），.
令，，解得，，
故对称中心为.
（2）令，解得，令，解得，
令，解得，令，解得，
令，解得，
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，
在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.
故函数在一个周期内的函数图象为：
【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.
22．答案见解析
【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；
（2）作出图象，根据图象观察即可解出；
（3）作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.
（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
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