高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
一、单选题
1．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值是
A． B． C． D．
2．若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）．
A．1 B． C．2 D．3
7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中为周期是的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递增
C．为周期函数 D．方程在上有三个实根
10．下列函数中，是奇函数的是（ ）．
A． B．，
C．， D．
11．已知函数，则（ ）
A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．的一个零点为
12．已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．函数最靠近原点的零点为
B．函数的图像在轴上的截距为
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
14．已知对任意都有，则等于________．
15．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是___________.
16．已知，则的最大值为____________
四、解答题
17．已知函数.
(1)若，求f（x）的单调递增区间；
(2)若f（x）在[0，m]上的最小值为2，求实数m的取值范围.
18．已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）当时，求函数的值域.
19．若函数在区间内没有最值，求的取值范围.
20．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
21．已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
22．已知函数，其中．
(1)当a为何值时，为偶函数
(2)当a为何值时，为奇函数
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案：
1．C
【解析】根据题意求出原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得，，相减即可.
【详解】解：由题意函数在上单调递减，函数在上单调递减，
所以则，，所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
2．A
【分析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．
【详解】解：函数的单调区间为，
由，
得．
函数 在区间内没有最值，
函数 在区间内单调，，
解得由，得．
当时，得，
当时，得，又，故，
综上得的取值范围是
故选A
3．A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
4．D
【分析】令，则，令，根据的取值范围求出的值域，依题意与在上有交点，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：令，即，令，
因为，所以，所以，即，
依题意与在上有交点，则，所以，即；
故选：D
5．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
6．B
【分析】根据以及周期性求得.
【详解】依题意函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
即，解得.
故选：B
7．D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
8．A
【分析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解.
【详解】对于A，为偶函数,且最小正周期为,所以A正确;
对于B，为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C，为奇函数，所以C错误;
对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误.
综上可知,正确的为A
故选:A
9．ACD
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，
函数为偶函数，A选项正确；
对于B选项，，，则，故函数在上不是增函数，B选项错误；
对于C选项，，
故函数为周期函数，C选项正确；
对于D选项，由，解得或或，
所以，方程在上有三个实根，D选项正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】先观察函数的定义域，然后计算与之间的关系.
【详解】对A，由，定义域为，
且，
故函数为奇函数，故A正确
对B，由函数的定义域为，故该函数为非奇非偶函数，故B错
对C，，定义域关于原点对称，
且，故C正确
对D，的定义域为，
且，
故该函数为奇函数，故D正确
故选：ACD
【点睛】本题考查诱导公式的应用以及函数奇偶性的判断，对函数奇偶性的判断，需要两点：（1）定义域关于原点对称；（2）与之间的关系，属基础题.
11．AD
【分析】对于A，直接利用周期公式求解即可；对于B，直接把代入解析式中验证即可；对于C，求出的单调区间进行判断；对于D，把代入计算即可.
【详解】根据函数知最小正周期为，正确.
当时，，由余弦函数的对称性知，错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；
，
，故正确.
故选：AD
【点睛】此题考查余弦型函数的图像和性质，属于基础题
12．ABC
【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项.
【详解】根据函数的部分图像知，，
设的最小正周期为，则，∴，．
∵，且，∴，
故．
令，得，，
即，，因此函数最靠近原点的零点为，故A正确；
由，因此函数的图像在轴上的截距为，故B正确；
由，因此函数是偶函数，故C正确；
令，，得，，此时函数单调递增，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故D不正确．
故选：ABC．
【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.
13．
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
14．
【分析】由给定等式可得图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解.
【详解】因对任意都有，则直线是图象的一条对称轴，
所以.
故答案为：
15．① ③ ④
【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】对于①：由可得，故①正确；
对于② ：由可得关于直线对称，
因为是定义域为R的奇函数，所以
所以，
所以函数的周期为，故② 不正确；
对于③ ：当时，单调递增，且，
在单调递减，且，
所以在单调递增，因为是奇函数，
所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图
函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，
所以函数所有零点之和为.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
16．916##0.5625
【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】，
，，即
又，
利用二次函数的性质知，当时，
故答案为：
17．(1)（）
(2)
【分析】（1）先化简得到，利用复合函数单调性“同增异减”列不等式求出f（x）的递增区间；.
（2）利用单调性实数m的取值范围.
(1)
.
令，（）
解得，（）
∴f（x）的递增区间为（）.
(2)
，得.
∵f（x）在上的最小值为2，
∴，
解得.
18．（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，，对称中心为（）；（3）.
【分析】（1）根据正弦函数的性质先求出最值和周期，最后代入特殊值计算的值即可；（2）根据正弦函数的性质，整体代入求单调区间，对称轴，对称中心，解出即可；（3）求出整体的范围，代入正弦型函数中计算，可求出值域.
【详解】(1)由题设知，，
周期，，由得.
所以.
又因为时，取得最大值3，
即，，解得，又，
所以，所以.
(2)由，得.
所以函数的单调递增区间为.
由，，得，.
对称轴方程为，..
由，得（）.
所以，该函数的对称中心为（）.
(3)因为，所以，则，
所以.所以值域为：.
所以函数的值域为.
【点睛】本题考查由三角函数特殊点的取值求三角函数解析式，考查求正弦型函数的单调区间，对称轴，对称中心以及值域，数学正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
19．
【分析】由题意可知函数在区间单调，易知，结合函数的图像与性质可得结果.
【详解】由于函数在区间内没有最值，
∴函数在区间单调，
∴ 则
当时，，
由于在区间内没有最值，
因此或，
即或，
解得或，
所以的取值范围是．
20．（1）不是，理由见解析；（2）.
【分析】(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”；
(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围.
【详解】(1) 不是函数的“区间”.理由如下：
因为，
所以对于任意的，，都有，
所以不是函数的“区间”.
(2)因为是函数的“区间”，
所以存在，，使得.
所以
所以存在，使得
不妨设，又因为，
所以，所以.
即在区间内存在两个不同的偶数.
①当时，区间的长度，
所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.
②当时，有，
所以.
当时，有，即.
所以也符合题意.
当时，有，即.
所以符合题意.
当时，有，此式无解.
综上所述，的取值范围是.
21．（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意求得，根据，求得，结合偶函数的定义，即可求解；
（2）由题意求得，根据，求得，结合奇函数的定义，即可求解；
(1)
解：由函数，
可得，，
若是偶函数，则，即，可得，
当时，函数，
此时函数满足，函数为偶函数.
(2)
解：由，可得，
若是奇函数，则，可得，
当时，，
此时函数满足，函数为奇函数.
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