2022－2023学年上学期沪科版数学八年级第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元复习题 （含解析）

第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元复习题
一、单选题
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）
A．66° B．104° C．114° D．124°
3．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
4．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，，于D，EF垂直平分AB，交AC于F，在EF上确定一点P使最小，则这个最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90 ，∠A＝30 ，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
9．如图，在△ ABC中，∠PAQ＝∠APQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论① AS＝AR；② ；③ △ BPR≌ △ QSP中（ ）
A．全部正确 B．仅 ① 和 ② 正确 C．仅 ① 正确 D．仅 ① 和 ③ 正确
10．如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
二、填空题
11．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有_______个．
12．如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号）_____________.
13．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是_____．
14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为_____cm．
15．如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.
16．如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中结论正确的是___________（填序号）
17．如图，在中，，AD平分交BC于点D，若，，则的面积为______．
三、解答题
18．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
19．将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数．
20．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
21．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
22．如图，在中，,；点在上，．连接并延长交于．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，与有什么数量关系？请说明理由．
23．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N.
（1）如图①，若∠BAC ＝ 110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC ＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC ＝ α（α ≠ 90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
24．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)求证：∠ABE＝∠ACD；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F．
(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；
(2)在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(不必证明)；
(3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．
26．如图，中， ，将其折叠，使点落在边上处，折痕为 ，求 的度数．
参考答案：
1．C
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．C
【解析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，
故选C．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
3．D
【解析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3，1﹣n=2，
解得：m=2，n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选D．
本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
4．B
【解析】根据线段垂直平分线的性质，得到EA＝EB，而△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC=18，且已知BC=8，即可求得AC=10．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+CE+BE＝18，
则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10，
故选：B．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并掌握△BCE的周长=AC+BC是解题的关键．
5．D
【解析】根据三角形的面积公式得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于执行EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．
∴AD=6，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴AD的长度=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为6，
故答案选D.
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质以及轴对称-最短路线问题，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质以及轴对称-最短路线问题.
6．B
【解析】根据轴对称的性质证得△OCD是等腰三角形，求得得∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证明△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，∠OPM=∠ODM=50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．
∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，
∴∠COD=2∠AOB=80°，
在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，
∴∠OCD=∠ODC=50°；
在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，
∴△CON≌△PON，
∴∠OCN=∠NPO=50°，
同理∠OPM=∠ODM=50°，
∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．
故选：B．
本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点．
7．B
试题解析：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选B．
考点：等腰三角形的判定．
8．B
【解析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．B
【解析】由已知条件先证得，从而得到① ;再由全等的性质得,结合∠PAQ＝∠APQ可得到② ；由题目的已知条件只能得到一组对应边和一组对应角相等，故③ 错
∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴ AP平分，
在和中
故①对
∵∠PAQ＝∠APQ
∴
∴
故②对
在△ BPR和△ QSP中，只有一边和一角是无法判断三角形全等的
故③错
故选：B
本题考查了角平分线的判定运用，三角形全等的判定与性质的运用，两直线平行的运用，解答时证明三角形全等是关键．
10．B
【解析】利用基本作图和三角形全等的判定方法求解．
解：如图，
由作法得到，，
而为公共边，
所以根据“”可判断，
所以，
即平分．
故选：B．
本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握5种基本作图，也考查了全等三角形的判定．
11．5
与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．
故答案为：5
12．①，②
【解析】连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明．
解：连接AP
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，
∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，
∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②.
本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.
13．160°．
分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠AA″A′=80°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
详解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=100°，
∴∠AA′M+∠A″=80°．
由轴对称图形的性质可知：∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160°．
故答案为160°．
点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
14．16
【解析】根据DE是AC的垂直平分线以及AE＝3cm，即可得出DA＝DC且AC＝6cm，再根据△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系即可得出C△ABC的值．
∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，
∵C△ABD＝AB+BD+DA，C△ABC＝AB+BD+DC+CA＝AB+BD+DA+CA＝C△ABD+CA，且C△ABD＝10cm，
∴C△ABC＝10+6＝16cm，
故答案为16．
本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，解题的关键是找出△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系．解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．
15．3
【解析】根据线段垂直平分线性质得AN=BN，NC+BC=AN+NC=AC，由△BCN的周长是8cm，得AC+BC=8（cm），所以可求出BC．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是8cm，
∴BN+NC+BC=8（cm），
∴AN+NC+BC=8（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=8（cm），
又∵AC=5cm，
∴BC=8﹣5=3（cm）．
故答案为3．
本题考核知识点：线段垂直平分线．解题关键点：熟记线段垂直平分线的性质．
16．①②③
【解析】根据全等、等腰三角形以及三角形边的性质即可得出答案.
∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE
又∠BAD=∠BAC+∠CAD
∠CAE=∠EAD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE，故选项①正确；
∴∠BDA=∠CEA=45°
又∠ADE=45°
∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°
∴BD⊥CE，故选项②正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ACE=∠ABD
又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故选项③正确；
在△BAE中
AB+AE>BE
又AB=AC，AE=AD
∴AC+AD>BE，故选项④错误；
故答案为：①②③.
本题考查的是等腰三角形，难度适中，需要熟练掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性质.
17．5
【解析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=2，然后根据三角形面积公式计算．
解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC=2，
∴△ABD的面积=
故答案为5．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18．证明见解析.
【解析】要证是的中点，根据题意可知，证明为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
证明：连接，
在等边，且是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，为等腰三角形，
又，
是的中点．
本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）105°
【解析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE．
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°．
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3．
∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键．
20．证明见解析
【解析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）69°．
【解析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
（2）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．
（1）∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∵∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∵，∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，∵EC=ED，∠1=42°，∴∠C=∠EDC=（180°-42°）÷2=69°，∴∠BDE=∠C=69°．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）若 ，则，理由见解析
【解析】（1）首先利用SAS证明，即可得出结论；
（2）利用全等三角形的性质和等量代换即可得出，从而有，则结论可证；
（3）直接根据等腰三角形三线合一得出，又因为，则结论可证．
解答：（1）证明：，
．
在和中，，
，
；
（2）证明：∵，
．
，
，
即，
，
；
（3）若 ，则．理由如下：
，
∴BE是中线，
．
，
．
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
23．(1) 40°;(2) 40°.;(3)见解析.
【解析】1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；
（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；
（3）根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC－∠BAE－∠CAN＝∠BAC－(∠B＋∠C)，
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝70°，
∴∠EAN＝110°－70°＝40°.
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C
∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC，
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝110°－70°＝40°.
(3)当α＜90°时，∠EAN＝180°－2α；
当α＞90°时，∠EAN＝2α－180°.
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
24．(1)证明详见解析(2) 证明详见解析
【解析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
本题考查了等边三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，全等三角形的判定即性质，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
25．(1)当点D在BC的中点时，DE=DF；证明见解析
(2)有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD
(3)CG=DE+DF，证明见解析
【解析】（1）因为当△BED和△CFD全等时，DE=DF，所以当点D在BC中点时，可利用AAS判定△BED和△CFD全等，利用全等三角形的性质可得DE=DF；
（2）在（1）的结论下：DE=DF，BD=CD， 利用SSS可判定△ADB≌△ADC；利用HL可判定△AED≌△AFD，利用AAS可判定△BED≌△CFD，所以有3对全等三角形；
（3）连接AD，根据三角形的面积公式即可求证．
（1）
解：当点D在BC的中点上时，DE=DF；理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵在△BED和CFD中，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
（2）
解： 根据解析（1）可得：△BED≌△CFD；
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF，
∵在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴△AED≌△AFD（HL）；
∵在△ABD和△ACD中，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；
综上分析可知，有3对全等三角形，分别为：△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD．
（3）
解：CG=DE+DF；理由如下：
连接AD如图所示：
∵，
∴，
∵AB=AC，
∴．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
26．
【解析】先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解.
解：
本题考查了轴对称的性质，正确运用外角的性质是解题关键.