“数”是初中数学中研究的主要对象之一
新教材对于“数”更关注什么
新教材对于“数”的内容主要研究“大（小）数的认识”和“数系的拓展”两部分。对于正数的认识，以往只限于小学阶段是不够的。因此本套教材在七上、七下分别安排了对“大数”、“小数”的认识，核心是培养数感。所谓的“数感”是指：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。这突出了运用数来解决问题的意识。
对于数系的扩充，我们首先关注学生的经验型理解，其次是形式化理解，最终我们关注结构化理解。例如：对于负数的意义的理解，教材首先通过大量的现实生活中具有相反意义的量，来理解负数，其次用“—”号表示负数，最终研究有理数与小学算术数之间的关系，对有理数取绝对值，就回到了小学的算术数，发现不同的数域之间的联系与区别。
对于运算，重在突出类比、发现法来建立新的数学的运算。
有理数是怎么产生的
很久很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果和水里的鱼，终年靠狩猎为生.那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题.开始，人们只是以“多”和“少”来区分.渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数数，因为那时每天狩猎的结果也只是“屈指可数”的水平.再后来，狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过十个以后，“屈指”已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数.周代（公元前10世纪前后）《易经·系辞》中记载的“上古结绳而治”，指的就是那个远古的时代.又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳’不但麻烦，而且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东西的数目，出现了最早的数字.例如，公元前三、四千年我国西安的半坡遗址和公元前近二千年的二里头遗址的陶文中，就有?|? ||? |||? ||||× 或X ∧ 或个 + 八? + |等符号，它们分别表示? 1? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 8? 70. 在殷墟的甲骨文卜辞中，也有许多数字（参见《中国数学的世界之最》一文）.在国外，大约在公元八世纪有一种印度的数字传入阿拉伯，它们是： ????? 〡? ∧ ∨??? 10，等等，它们分别表示l：2、工4、5、5、7：8、9、10．这种数字后来由阿拉伯传人欧洲，被欧洲人称作阿拉伯数字.这些数字符号，在使用过程中经人们不断的改进，最后演变成现在我们所使用的数字. 数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便.但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个问题，在中国人首先创立了十进制记数法以后，才最终得到圆满的解决. 打猎有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获二头羊.如何分配这些食物呢？起初，人们只知道“二分一”、”五分二’；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，这也是中国人首创的.《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元前100～50年）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年.我们现在所说的分数除法把除数“颠倒相乘”，就是我国古代教学家刘徽（公元前三世纪）的原话. 人类对零的认识比较晚.打不到野兽，空手而归，这是最初对“零”的印象──空虚、饥饿、一无所有.在记录这种情况时，各民族大多不约而同地用空位来表示.后来，又用符号“□”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现的“0”了. 正如伟大导师恩格斯所精辟论断的那样“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的”. 在小学教学中，算式“2-3”给我们的印象是“不够减”.但学习了《有理教》的知识以后，我们就能解决这个问题了.有理数包括正数、负数和0.正负数的概念也是从生产实际的需要中产生的.生产发展了，一方面，人们的“财富”多起来，同时也促使人们“互通有无”，进行交换.于是，人们把私有财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为负……人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念.负数是相对于正数而言的.正数和负数既相互对立，又相互依存.我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则（如《九章算术》），这在当时也是一件具有世界意义的重大创造.
由于生产实践的需要，随着科学技术的发展，数的概念一直在不断地扩充.目前，对于人类已经掌握的数的概念，其关系可综述为：
课件15张PPT。第一节 有理数北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算一、复习回顾（1）生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？
（2）你对负数有什么样的认识？
（3）有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？
有了负数，能解决哪些实际问题？二、探索新知 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，
答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0
分．两个代表队答题情况如下表：答对答错不回答 如果答对题所得的分用正数表示，那么你能用
正负数表示每个代表队答题得分的情况吗？ 试完成下表： -30+8练习：
1.把消费价格比上年上涨4.8%记为+4.8%，那么下跌
记为 .
2.零上温度1℃记为+1℃，零下温度记为 .
3.生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行
交流．-0.6%-5℃三、实际应用 例 （1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向
转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表
示？
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标
准质量0.02克记作＋0.02克，那么﹣0.03克表示
什么？
（3）某大米包装袋上标注着：“净重量：
10kg±150g”， 这里的“10kg±150g”
表示什么？解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；
（2）-0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克；
（3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有150g的误差，即最多超出标准质量150g，最少少于标准质量150g。练习：（1）在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分，那
么扣20分记作什么？
（2）东、西为两个相反方向，如果-4米表示一
个物体向西运动4米 ，那么+2米表示什么？
原地不动记为什么？
（3）某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨，那么运
出3.8吨应记作什么？议一议 你能选定一个高度为标准，用正负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗？你是怎样表示的？与同伴交流．四、合作交流 我们把正整数、0和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数。如2是整数，而且是正整数；2/3是分数，而且是正分数，-2是负整数，-2/3是负分数。
整数和分数统称为有理数。
（1）将学过的数进行分类，并与同伴交流。 整数正整数零负整数负分数分数有理数正分数整数与分数统称为有理数（2）把下列各数填入相应的集合中：
3，-7， ， ，0， ，15，
正数集合：｛ … ｝
负数集合：｛ … ｝
整数集合：｛ … ｝
分数集合：｛ … ｝3， ， ，15，-7,3,-7,0,15五、反思小结 用一句话“我知道了……我学会了……我还想知道……”小结本课。 作业：习题2.1第二章 有理数及其运算
1．有理数
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过整数、分数、小数的概念及运算；对负数的概念有所了解，知道正数、负数和零的区别。
学生活动经验基础：学生在小学通过对温度计的认识活动，学习了用负数解决一些简单的比较大小的问题。
刚进入初中的学生掌握正数、负数的概念程度参差不齐，结合实际正确的表示具有相反意义的量，建立有理数的概念是学习的难点。
二、学习任务分析
“有理数”是初中数学学习的重要基础。本节课的内容是正、负数的概念和有理数的分类。通过和学生生活贴近的实例引入负数激发学生对数学学习的兴趣；通过让学生了解“中国是世界上最早使用负数的国家”，培养学生爱国主义情操，增强民族自豪感。为此，本节课的学习任务是：
1．在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义。
2．经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。
3．会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类。
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾，引入新课，第二环节：创设情境，探索新知，第三环节：实际应用，巩固提高，第四环节：合作交流，能力提升，第五环节：小结反思，布置作业。
第一环节：复习回顾，引入新课
活动内容
观察中国地图，珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作：+8844.43米；吐鲁番盆地地狱海平面155米，记作-155米.
教师出示上图，提出问题：
（1）生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？
（2）你对负数有什么样的认识？
（3）有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？有了负数，能解决哪些实际问题？
本章将在小学学习的基础上，进一步学习负数，研究有理数的有关概念及其运算，并利用有理数的知识解决实际问题。
活动目的：
通过提供学生熟悉的情景引导学生回顾小学有关负数的知识，三个问题不仅为本节课温故引入，也为本章的学习做了铺垫。
活动效果：
学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用，激发了学习本章内容的兴趣。
第二环节：?创设情境，探索新知
活动内容
问题：
答对 答错 不回答
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．两个代表队答题情况如下表：
答题情况
第一队
第二队
如果答对题所得的分用正数表示，那么你能用正负数表示每个代表队答题得分的情况吗？试完成下表：
答对题的得分
答错题的得分
未回答题的得分
第一队
+6
第二队
-2
练习：1.把消费价格比上年上涨4.8%记为+4.8%，那么下跌0.6%记为 .
2.零上温度1℃记为+1℃，零下温度5℃记为 .
3.生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行交流．
活动目的：
用知识竞赛得分的情景启发学生用正负数表示相反意义的量。通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正负数表示的量，从而体会学习负数的必要性。
活动效果：
由于从学生熟悉的情景讨论问题，学生参与积极，在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要。
第三环节：实际应用，巩固提高
活动内容
例1 （1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么﹣0.03克表示什么？
（3）某大米包装袋上标注着：“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g” 表示什么？
解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；
（2）-0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克；
（3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有150g的误差，即最多超出标准质量150g，最少少于标准质量150g。
练习：
（1）在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分，那么扣20分记作什么？
议一议
你能选定一个高度为标准，用正负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗？你是怎样表示的？与同伴交流．
活动目的：
通过对实例的分析，让学生知道用正负数表示相反意义的量时要明确“基准”。例1中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球标准质量”“10kg”。 “议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”。
活动效果：
学生认识当用正负数表示相反意义的量时要考虑“基准”。“0”是常用的基准，但不是所有的基准都必须为0。
第四环节：合作交流，能力提升
活动内容
我们把正整数、0和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数。如2是整数，而且是正整数；2/3是分数，而且是正分数，-2是负整数，-2/3是负分数。
整数和分数统称为有理数。
（1）将学过的数进行分类，并与同伴交流。
（2）把下列各数填入相应的集合中：
3，-7，，，0，， 15，
正数集合：｛ … ｝
负数集合：｛ … ｝
整数集合：｛ … ｝
分数集合：｛ … ｝
活动目的：
使学生在原有认知结构的基础上，将数扩充到了有理数的范围。通过练习使学生加深理解有理数的意义。
活动效果：
在将学过的数分类时，学生有很多不同的分法，通过同伴交流，教师引导，学生知道分类得有标准，有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类。学生在领会数学分类思想的同时对有理数有了整体的认识。
第五环节：小结反思，布置作业
活动内容
1.用一句话“我知道了……我学会了……我还想知道……”小结本课。（先小组同学互相小结，然后小组汇报）
2. 作业：习题2.1
活动目的：
通过小结整理，培养学生归纳、总结能力。
活动效果：
学生将所学知识纳入已有的知识结构，建构新的知识体系。
四、教学反思
本节课的内容是在学生小学认识负数的基础上学习有理数，是后续学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础。
??? 在教学设计中注意结合学生熟悉的生活情境，唤起学生已有的生活经验，以“知识回顾”---“正负数表示相反意义的量”---“明确基准”---“有理数的分类”为线索让学生掌握有理数的意义。
《数学课程标准》指出，数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的知识和生活经验出发。这就要求数学教学活动必须关注学生的个人知识和生活经验，引入贴近学生生活实际的问题情境。教学中从学生熟悉的海拔高度作为教学起点，让学生在生活实际背景中学习和感受正负数的意义。又通过设计大量具有生活实际背景的练习活动，让学生学会用正负数表示一些具有相反意义的量。再从“明确基准”的活动中，尽可能让学生自己列举生活中正负数应用的实例，体会“基准”的不唯一，进而理解有理数的意义，建立新的数系。教学中创设的问题情景让学生思考、交流、质疑较好地激发学生应用数学思维方法观察和解决生活中的实际问题。
1．当你把纸对折一次时，可以得到2层；对折2次时，可以得到4层；对折3 次时，可以得到8层；照这样折下去：
(1)你能发现层数与折纸的次数的关系吗?
(2)计算对折5次时层数是多少?
(3)如果每张纸的厚度是0.05毫米，求对折l0次后纸的总厚度．
2.意大利米兰国立歌舞剧场演出歌剧时,挪威电视台中转,猜一猜, 谁最早听到歌剧的开始?是与舞台相距25米的现场观众,还是距离2900千米的挪威电视观众?(声速是340米/秒,电波速度是3×108米/秒)
3. 一根方便筷子的长、宽、高大约为0.5cm、0.4cm、20cm，估计1000万双方便筷子要用多少木材？这些木材要砍伐半径为0.1米、高10米（除掉不可用的树稍）的大树多少棵？（保留三个有效数字）
4.计算机的存储容量的基本单位是字节，用b表示，计算机一般用Kb（千字节）或Mb（兆字节）或Gb（千兆字节）称为存储容量的计量单位，它们之间的关系为：1Kb=210 b ，1Mb=210 Kb，1Gb= 210Mb ，一种新款电脑的硬盘的存储容量为20Gb，它相当于多少Kb（用科学记数法）？
5.将自然数1到15中的素数之积的相反数表示成科学记数法为_________.
第二章 有理数及其运算
10．科学记数法
一、学生起点状况分析
科学记数法是在学生学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等内容之后，安排了一节与现实世界中的数据（尤其是大数）相关的数学内容，一方面让学生感受现实生活中的各种大数据，培养学生的数感。另一方面又通过对较大数学信息进行合理的处理的过程中，学会用简便的方法表示大数，同时为今后用科学记数法表示微观世界中较小的数据奠定基础。
二、教学任务分析
本节课学习内容是用科学记数法表示比10大的数。大数在实际生活中有着广泛的应用，因此在教学中利用多媒体、互联网等现代教育手段实施教学能突出本课特色，同时在课堂中引导学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索，发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。增强数学应用意识，养成及时归纳总结的良好学习习惯。并为今后学习用科学记数法表示“小数”打下基础。
为此，本节课的教学目标是：
①理解科学记数法的意义，学会用科学记数法表示大数，对用科学记数法表示的数进行简单的运算；
②积累数学活动经验，发展数感；学会与人合作、与人交流。感受数学与生活的密切联系，开拓学生视野，激发学生学习数学的热情；
③感受科学记数法的作用，体会科学记数法表示大数的优越性及必要性。
三、教学过程设计
本节课由六个教学环节组成。第一环节：自主收集，课前欣赏；第二环节：创设情景，导入问题；第三环节：合作交流，探索新知；第四环节：运用新知，当堂演练；第五环节：小组活动，自主检测；第六环节：延伸拓展，能力提升；第七环节：课堂小结，课后调查。
第一环节 自主收集，课前欣赏
内容：请学生课前收集生活中的大数据，可以来源于报刊网络，也可以自己调查或请父母帮助提供工作中涉及的大数据。通过收集你觉得身边的大数据多吗？这些大数据在读写上有什么困难没有？你觉得采取什么方法表示这些大数据比较合适？
下面是学生收集的部分资料的展示：
宜昌2011年种烟草种植情况：宜昌市现有4个种烟区域，分布在兴山、五峰、长阳和兴山，涉及烤烟、白肋烟和马里兰烟3个烟叶类型，常年种植烟叶11万亩，年产量30万担，其中马里兰烟是中国唯一的种植产区，世界最大产区。2011年，全市共种植烟叶120 000亩，其中烤烟50 000亩、白肋烟20 000亩、马里兰烟50 000亩。年产量30.8万担，其中烤烟15万担、白肋烟5.8万担、马里兰烟11万担。种烟农户14 103户，涉烟农民人数56 412人。年实现烟农收入2.2亿元，创税50 000 000元。烟农户平收入16000元，人平收入4000元。
三峡大坝发电情况调查：三峡电厂对工程枢纽的运行管理包含左、右岸两座电站。水电站厂房位于泄洪坝段左、右两侧，共装机26台，单机容量700 000千瓦，其中左岸电站14台、右岸电站12台，总容量18 200 000千瓦，年均发电量84 700 000 000度。 2003年7月10日和16日,三峡左岸电站首批发电的两台机组2号机和5号机分别正式移交三峡电厂运行管理；2003年共接管6台机组，创造了电厂半年内接机数量和接机总容量最大的世界纪录，当年发电量8 620 000 000度；2005年9月16日，左岸电站9号机组正式投入运行，三峡电厂提前一年接管左岸全部14台机组。
我国2011年银行贷款情况介绍：据了解，国家发改委向国务院上报的2011年新增贷款规模为7500000000000元。今年1--11月，全国各银行新增人民币贷款7465486000000元，接近全年的信贷目标7500000000000元。截至日前为止，我国已有深发展、华夏、民生、中行、建行、兴业、农业、浦发8家银行发布了2010年度业绩报告。按照各行公布的贷款增速，由大到小依次是：浦发银行以23.43%的增速领先，该行2010年度贷款总额为1146489000000元；其次是华夏银行，贷款增速22.7%，2010年度贷款总额为527937000000元。兴业银行暂列第三，贷款增速21.77%，贷款总额854339000000元。农行发放贷款和垫款总额4956741000000元，增加818554000000元，增长19.8%。民生银行贷款和垫款总额10575.71亿元，比上年末增长19.77%。建行2010年客户贷款和垫款总额56691.28亿元，比上年底增长17.62%。中行贷款总额56606亿元，增幅15.28%。深发展贷款总额4073.91亿元、较年初增长13.32％。
全国中小学生人数：目前，我国中小学生在校生约为30000000人，中小学教职工约有10690000人
新闻报道：世界人口今天达到7000000000 本世纪末将突破10000000000
……
目的：让学生经历了一些数据收集体验活动，感受到了大数据在生活中的广泛应用
注意事项与效果：
由于这是学生在初中阶段的第一次数据收集工作，教师和学生简单讨论收集的方式方法，实际效果：学生通过课前收集，感受到问题的产生来源于生活实际问题，有了极大的探究热情和强烈的探索欲。
第二环节：创设情景，导入问题；
教师展示收集到的资料：
（1）2010年中国西南大旱是2010年发生于中国西南五省市云南、贵州、广西、四川及重庆的百年一遇的特大旱灾。一些地方的干旱天气可追溯至2009年7月。3月旱灾蔓延至广东、湖南等地以及东南亚湄公河流域。截至3月30日，中国耕地受旱面积116000000亩，其中作物受旱90680000亩，重旱28510000亩、干枯15150000亩，待播耕地缺水缺墒25260000亩；有24250000人、15840000头大牲畜因旱饮水困难。云南、贵州、广西、重庆、四川等西南受旱五省（区、市）累计投入抗旱资金4110000000元，投入劳力25260000人，投入抗旱机动设备1140000台套、运水车380000辆次，保障了当前19390000因旱饮水困难群众的基本生活用水。
问题：请多名学生依次读出材料中的各个数据。可能有的学生很顺利有的很困难。
目的：学生收集到的资料大数据往往已经进行了一些处理方便读写，（中国汉代人徐岳写了一部数学书，叫《数术记遗》，其中就有我们现在用的万，亿，亿亿，……之法；古希腊的著名数学家、科学家阿基米德也列出了一种大数记法，是“亿”进位，亿，亿亿等；在近代时期，科学界的努力使人们解决了“指数”和“方幂”的符号表示的问题，为新的大数记法打下工具基础）不一定能让学生体会到大数读写上的困难，产生强烈的求知欲。老师收集的材料一是数据多集中，二是做了一些处理，产生了一定的读写困难，让学生体会寻找简便方法表示大数的必要性。
注意事项与效果：
现场效果很好，部分学生通过读写材料中的数据，感受到大数据在读写过程中有一定的困难，还有部分学生感觉不是太困难，希望挑战更大难度的数据的读写。
（2）问题：以上材料中的数据，大家在读写过程中还不是太麻烦，那么如果碰到更大的数据了。
西南大旱是不是地球上的水不够多了，其实不是地球上的水是相当多的，只是分布不均。下面我们看看地球上水资源的相关数据
注：一立方米的水的质量为一吨。
1km=1000m 、1km2=1000000m2 、 1km3=1000000000m3
大气中的水蒸气：13000km3
极地冰川中的水：29190000km3
地表水：230000km3
地下水：8595000km3
海水：1321890000km3
问题：如果把上面数据中的单位由大家不熟悉的立方千米转化为大家熟悉的吨，上图中的数据会变得更大，那么这么大的数据大家能不能方便的读写呢？
大气中的水蒸气：13000km3=13000000000000m3（吨）
极地冰川中的水：29190000km3=2919000000000000m3 （吨）
地表水：230000km3=230000000000000m3 （吨）
地下水：8595000km3=8595000000000000m3 （吨）
海水：1321890000km3=1321890000000000000m3 （吨）
目的：第一个例子中的数据可能相当一部分同学会感到虽然麻烦但还是比较容易解决读写问题，所以顺势给出第二个例子，尤其是单位换算后的例子数据极其巨大，具有很强的视觉冲击力。学生马上就会强烈的体会到用简便方法表示大数的必要性。
注意事项与效果：巨大的数据让学生惊叹不已，深刻的感到用简便方法表示大数和超大数的必要性。完全达到预期目的。
第三环节：合作交流，探索新知
102=＿＿；104=＿＿＿＿；107= 10n =＿＿＿？
10n=100 … 0
用10n的形式表示：100 000=＿＿； 1 000 000=＿＿；1 000 000 000=＿＿.
试一试：
太阳半径约700 000 千米： 700 000=7× =7×
2010年春运期间铁路运送旅客达210 000 000人次：210000000=2.1× =2.1×
板书：一般地,一个大于10的数可以表示成a×１０n的形式，其中１≤a＜10, n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.
目的：从一系列的数据中体会大数“读”“写”的困难，从而导出课题。通过系列问题帮助学生对幂的意义进行回忆，弄清指数与其结果中零的个数的关系，使学生对科学记数法有初步的理解，并体会用幂的形式表示数的简便性从而导出用科学记数法表示大数。
注意事项与效果：在教师的引导下，学生通过对的积极探索交流,学会了从特殊到一般转化问题的方法，增强了归纳慨括的能力。
问题：小组讨论：科学记数法中的a怎样确定, n怎样确定?
讨论结束后回到例子一（西南大旱）：请学生依次确定材料中各个数据如果用科学记数法表示时，a是多少?n怎么确定？
归纳总结：科学记数法中 10的指数n值的确定法：
①比原整数位数少1(当原数的绝对值≥10时)；
②由小数点的移动位数来确定。
目的：通过学生的自主探索和合作交流归纳用科学记数法表示大数的步骤，培养学生的逆向思维能力。学生通过讨论交流得出用科学记数法表示一个大数的步骤，先把原数的小数点往左移到最高位数的右下方，确定a的值；再数出小数点的位置向左移动了多少位或原整数位数少1的值，n的值就是多少，从而确定n的值。
注意事项与效果：本环节要留给给学生自主探究的时间和空间，达到了问题由学生自己解决的目的。现场效果学生体会到了解决问题的乐趣，享受到了成功的喜悦，效果非常好。
问题：请同学们用科学记数法表示我们第二个例子中的大数。
第四环节：运用新知，当堂演练
挑战一：用科学记数法表示下列各数
①32 000 ②384 000 000 ③94100.00 ④－810 000 ⑤10 000 000
⑥－223 000 ⑦二千三百四十六万 ⑧一亿五千万
挑战二：下列科学记数法表示的数的原数是什么？
①1×105 ②4×103 ③8.5×106 ④7.04×102
⑤3.96×108 ⑥3.6×103
挑战三：仔细观察找出下列错误的地方，并纠正:
① 90000=94
②某县境内森林面积达1 000 000亩， 1 000 000亩用科学记数法表示为：1×107亩；
③ “神州七号”的入轨飞行速度为每小时21700千米. 21700千米用科学记数法表示为： 2.17×104米;
④地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米，149 000 000平方千米用科学记数法表示为:
14.9×10７平方千米;
⑤陆地上最低处是位于亚洲西部的死海，海拔为－392米；-392米用科学记数法表示为0.392×10３米.
目的：通过学习竞赛和挑战的形式，帮助学生快速掌握科学记数法的概念，使学生进一步感受大数，加深对科学记数法的理解。
注意事项与效果：学生通过小组交流讨论（争辩）进一步明确了如何合理使用调查数据，在感受大数的同时体会科学记数法的优越性
第五环节：小组活动，自主检测
每组前一名同学出题后面一名同学解题，以此类推，另安排6名同学做裁判
目的：通过学习竞赛的形式，保证每个同学都正确的理解科学记数法
注意事项与效果：教师巡视及时处理问题，现场气氛热烈。
第六环节：延伸拓展，能力提升
问题：
（1）天安门广场大约可以容纳多少位受检阅的官兵？（ 每个人大约占0.5平方米 ）
（2）如果１亿名群众排成一个方阵，那么所占用的场地相当于几个天安门广场？
问题：计算（结果用科学记数法表示）：
目的：帮助学生体会科学记数法可以帮助简化大数据的加减乘除运算，明白①涉及科学记数法的加、减、乘、除、乘方的简单混合运算，可考虑数据还原计算；也可考虑应用乘法运算律和乘方的意义计算。 ②最后结果要注意a×10n 中1≤a<10.
注意事项与效果：部分学生在知识的迁移上遇到一定障碍，一味的考虑数据还原计算，方法比较单一，通过对两种解决方法的对比演算讨论，学生最终达成共识。
第七环节：课堂小结，课后调查
教师与学生共同总结以下问题：
⑴．什么叫做科学记数法？
⑵．灵活运用科学记数法，注意解题技巧，总结解题规律
⑶. 用科学记数法表示大数应注意以下几点：
① １≤a＜10．② 当大数是大于１０的整数时，n为整数位减去１.
课后调查1：（１）调查本校图书馆某个书架所存放图书的数量．中国国家图书馆所藏的书需要多少个这的书架？用科学记数法表示结果．
（２）调查本校的人数，如果每人借阅１０本书，那么中国国家图书馆的藏书大约可以供多少所这样学校的学生借阅？用科学记数法表示结果．
课后调查2：调查古代大数表示方法．
目的：培养学生归纳反思的习惯，锻炼学生收集整理合理处理（合理估算）数据的能力。
注意事项与效果：师生合作学习归纳反思，帮助学生将学到的知识进一步升华。课后调查体现数学从生活中来回到生活中去。
四 教学反思
1、这节课的特点是通过课前师生调查收集实际生活中的大数据和超大数据，让学生感受在大数读写上的困难，感受到数学来源与生活，充分体会到学习数学对于指导实践的价值。我利用收集到的水资源的相关大数据和超大数据，在很短的时间内给予学生强烈的视觉冲击，极大的震撼了学生，激发了学生的非常强烈的学习兴趣和求知欲，让学生深刻的体会到用科学记数法表示大数据的必要性和合理性。本节课的教学设计是建立在“学生是数学学习活动的主人，教师是数学学习活动的组织者、引导者、与合作者”的教育理念上的。通过有吸引力的情景自然生成的问题，引导学生通过思考、探索、交流获得知识，引导学生更多地关注解决问题的过程和策略。学生的小组讨论过程教师要参与，在给学生思维自由和空间的同时，教师应作为积极的参与者和指导者，保持和学生的交流，及时发现问题，把握时机促进思维活跃学生的思维向更高层次提升，同时关注困难学生的思维问题答疑解惑，提高其思维效率帮助其保持学习热情。
2、教材提供的素材、问题不仅仅是为了帮助教师传授知识，更重要的的是给学生创造思维的空间，数学课堂知识的传授应该在学生各种思维活动进行的过程中自然的完成，教师的教学设计也应以怎样创设合适的思维情境，更好的激发学生的思维热情，发展学生的思维能力，培养学生良好的思维品质为核心目的展开。
怎样激发和保持学生的思维热情：为了达到以上目的，除了教师的课前准备以外，教师应注意适当的使用激励、讨论、合作交流等手段，要以提高学生的思维能力和品质为目的来综合使用这些手段，帮助学生形成积极主动的求知态度，不要肤浅的流于形式为了讨论而讨论和不分对错言过其实的表扬，要用适当的方式帮助暴露其思维过程中的问题，促进其思维能力的提高。另外，教师要在课堂教学过程中把握好时机促进学生的思维纵深发散。
记数法的故事
记数法就是我们表示记录数目的方法我们用的记数法的一个是要讲“数位”，用一个数字在不同位置上表示不同的数的记数法叫“位值制”记数法，还有一个“进位”，既然位置表数位，就要能够进位，我们用的记数法是十进位的，即“逢十进一”，这两者结合起来，我们用的记数法叫“十进位值制”记数法，有了记数法，人们就有了建构较大的数的可能性，涉及到大数是否有新的更简捷的大数记法呢？古人也作了许多研究，中国汉代人徐岳写了一部数学书，叫《数术记遗》，其中就有我们现在用的万，亿，亿亿，……之法。
古希腊的著名数学家、科学家阿基米德也列出了一种大数记法，是“亿”进位，亿，亿亿等，后来随科学的发展，人们越来越多地遇到很大的数，怎样更好地表示大数就成了一个重要的问题了，与此相关的是在近代时期，科学界的努力使人们解决了“指数”和“方幂”的符号表示的问题，为新的大数记法打下工具基础。在这种情况下，最初是在最先遇到大数的天文学和工程技术中产生了“科学记数法”，后来逐渐完善为现代的形式。
课件25张PPT。10.科学记数法北师大版七年级《数学》上册第二章 有理数及其运算自主收集 课前欣赏宜昌2011年种烟草种植情况
宜昌市现有4个种烟区域，分布在兴山、五峰、长阳和兴山，涉及烤烟、白肋烟和马里兰烟3个烟叶类型，常年种植烟叶11万亩，年产量30万担，其中马里兰烟是中国唯一的种植产区，世界最大产区。
2011年，全市共种植烟叶120 000亩，其中烤烟50 000亩、白肋烟20 000亩、马里兰烟50 000亩。年产量30.8万担，其中烤烟15万担、白肋烟5.8万担、马里兰烟11万担。种烟农户14 103户，涉烟农民人数56 412人。年实现烟农收入2.2亿元，创税50 000 000元。烟农户平收入16000元，人平收入4000元。 三峡电厂对工程枢纽的运行管理包含左、右岸两座电站。水电站厂房位于泄洪坝段左、右两侧，共装机26台，单机容量700 000千瓦，其中左岸电站14台、右岸电站12台，总容量18 200 000千瓦，年均发电量84 700 000 000度。 2003年7月10日和16日,三峡左岸电站首批发电的两台机组2号机和5号机分别正式移交三峡电厂运行管理；2003年共接管6台机组，创造了电厂半年内接机数量和接机总容量最大的世界纪录，当年发电量8 620 000 000度；2005年9月16日，左岸电站9号机组正式投入运行，三峡电厂提前一年接管左岸全部14台机组。目前，我国中小学生在校生约为30000000人，中小学教职工约有10690000人世界人口今天达到7000000000 本世纪末将突破10000000000
10月31日将是一个令人警醒的日子，据联合国人口基金的预测，这一天世界人口即将达到70亿。联合国人口基金决定把于10月31日在加里宁格勒出生的婴儿认定为世界上第70亿个居民。而非政府组织“国际计划”称，第70亿个婴儿将在31日出生于印度人口最多的北方邦。 我国2011年银行贷款情况介绍
据了解，国家发改委向国务院上报的2011年新增贷款规模为7500000000000元。
今年1--11月，全国各银行新增人民币贷款7465486000000元，接近全年的信贷目标7500000000000元。截至日前为止，我国已有深发展、华夏、民生、中行、建行、兴业、农业、浦发8家银行发布了2010年度业绩报告。按照各行公布的贷款增速，由大到小依次是：浦发银行以23.43%的增速领先，该行2010年度贷款总额为1146489000000元；其次是华夏银行，贷款增速22.7%，2010年度贷款总额为527937000000元。兴业银行暂列第三，贷款增速21.77%，贷款总额854339000000元。农行发放贷款和垫款总额4956741000000元，增加818554000000元，增长19.8%。民生银行贷款和垫款总额10575.71亿元，比上年末增长19.77%。建行2010年客户贷款和垫款总额56691.28亿元，比上年底增长17.62%。中行贷款总额56606亿元，增幅15.28%。深发展贷款总额4073.91亿元、较年初增长13.32％。 中国太平洋保险集团公司坚持专注保险主业、追求可持续价值增长的经营策略，保费收入强劲增长，市场份额稳步增加，资产规模不断扩大。2010年，集团保险业务收入139555000000元，同比增长44．9％；整体市场占比9．9％，较上年提高0．8个百分点；总资产规模达到475711000000元，较上年末增加19．8％。
中华全国总工会会员基本情况
2005年底，全国工会会员总数超过了1.5亿人，比上一年增加1333万人，增长9.7％。2010年底，全国工会会员达到239000000人，比上一年新增13613000人，其中新增农民工会员8398000人。工会覆盖率和职工入会率分别达到50.9%和74.7%。目标: 争取到2011年底，企业工会组织净增700000家以上，企业建会率达到65%以上，企业工会会员数净增110000000人以上，企业职工入会率达到80%以上；到2013年底，企业法人建会率、职工入会率均争取达90%以上。
工会会徽 2008年5月12日，在我国四川省汶川县发生里氏8.0级强烈地震，面对地震灾难，各级政府共投入抗震救灾资金22600000000元人民币。 2008年北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91000位观众。 2010年中国西南大旱是2010年发生于中国西南五省市云南、贵州、广西、四川及重庆的百年一遇的特大旱灾。一些地方的干旱天气可追溯至2009年7月。3月旱灾蔓延至广东、湖南等地以及东南亚湄公河流域。截至3月30日，中国耕地受旱面积116000000亩，其中作物受旱90680000亩，重旱28510000亩、干枯15150000亩，待播耕地缺水缺墒25260000亩；有24250000人、15840000头大牲畜因旱饮水困难。云南、贵州、广西、重庆、四川等西南受旱五省（区、市）累计投入抗旱资金4110000000元，投入劳力25260000人，投入抗旱机动设备1140000台套、运水车380000辆次，保障了当前19390000因旱饮水困难群众的基本生活用水。大气中的水蒸气：13000km3=13000000000000m3（吨）极地冰川中的水：29190000km3=2919000000000000m3 （吨）地表水：230000km3=230000000000000m3 （吨）地下水：8595000km3=8595000000000000m3 （吨）海水：1321890000km3=1321890000000000000m3 （吨）注：一立方米的水的
质量为一吨。
1km=1000m
1km2=1000000m2
1km3=1000000000m32.用10n的形式表示：100 000=＿＿；
1 000 000=＿＿；1 000 000 000=＿＿.
102=＿＿；104=＿＿＿＿；107=＿＿＿ ＿ 100 10 000 10 000 00010n=100…010n =＿＿＿？n个105 106 109 n+1位 以10为底的幂，10的指数n与运算结果中的0的个数相同，即：比结果的整数位数少1.合作交流 探索新知合作交流 探索新知试一试：太阳半径约700 000 千米700 000=7× =7× 100 000 1052010年春运期间铁路运送
旅客达210 000 000人次210000000=2.1×
=2.1×100000000108合作交流 探索新知 一般地,一个大于10的数可以表示成a×１０n的形式，其中１≤a＜10, n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.700 000 =7×105210 000 000=2.1×108小组讨论：科学计数法中的a怎样确定, n怎样确定? 2010年中国西南大旱是2010年发生于中国西南五省市云南、贵州、广西、四川及重庆的百年一遇的特大旱灾。一些地方的干旱天气可追溯至2009年7月。3月旱灾蔓延至广东、湖南等地以及东南亚湄公河流域。截至3月30日，中国耕地受旱面积116000000亩，其中作物受旱90680000亩，重旱28510000亩、干枯15150000亩，待播耕地缺水缺墒25260000亩；有24250000人、15840000头大牲畜因旱饮水困难。云南、贵州、广西、重庆、四川等西南受旱五省（区、市）累计投入抗旱资金4110000000元，投入劳力25260000人，投入抗旱机动设备1140000台套、运水车380000辆次，保障了当前19390000因旱饮水困难群众的基本生活用水。 210000000=2.1×108 210000000 210000000=2.1×108小数点原来的位置小数点后来的位置小数点向左移动了8次8+1位科学记数法中 10的指数n值的确定法：
①比原整数位数少1(当原数的绝对值≥10时)；
②由小数点的移动位数来确定。大气中的水蒸气：13000km3=13 000 000 000 000m3（吨）极地冰川中的水：29190000km3=2 919 000 000 000 000m3 （吨）地表水：230000km3=230 000 000 000 000m3 （吨）地下水：8595000km3=8 595 000 000 000 000m3 （吨）海水：1321890000km3=1 321 890 000 000 000 000m3 （吨）注：一立方米的水的
质量为一吨。
1km=1000m
1km2=1000000m2
1km3=1000000000m31.3×1013吨2.919×1015吨2.3×1014吨8.595×1015吨1.32189×1018吨挑战一：用科学记数法表示下列各数
①32 000
②384 000 000
③94100.00
④－810 000
⑤10 000 000
⑥－223 000
⑦二千三百四十六万
⑧一亿五千万
3.2×1043.84×108－8.1×1059.41×10415000万=1.5×1081×107=1072346万=2.346×107－2.23×105应用新知 当堂演练 挑战二：下列科学记数法表示的数的原数是什么？
①1×105
②4×103
③8.5×106
④7.04×102
⑤3.96×108
⑥3.6×103
100000400085000007043960000003600应用新知 当堂演练① 90000=94
②某县境内森林面积达1 000 000亩，
1 000 000亩用科学记数法表示为：1×107亩；
③ “神州七号”的入轨飞行速度为每小时21700千米.
21700千米用科学记数法表示为：
2.17×104米; 挑战三：仔细观察找出下列错误的地方，并纠正: 9×104应用新知 当堂演练④地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米，
149 000 000平方千米用科学记数法表示为:
14.9×10７平方千米;
⑤陆地上最低处是位于亚洲西部的死海，海拔为－392米；
-392米用科学记数法表示为0.392×10３米.挑战三：仔细观察找出下列错误的地方，并纠正: 应用新知 当堂演练延伸拓展 能力提升问题：
（1）天安门广场大约可以容纳多少位受检阅的官兵？（ 每个人大约占0.5平方米 ）
（2）如果１亿名群众排成一个方阵，那么所占用的场地相当于几个天安门广场？计算（结果用科学记数法表示）： ①涉及科学记数法的加、减、乘、除、乘方的简单混合运算，可考虑数据还原计算；也可考虑应用乘法运算律和乘方的意义计算。 ②最后结果要注意a×10n 中1≤a<10. 延伸拓展 能力提升9×103－3.96×104106（１）调查本校图书馆某个书架所存放图书的数量．中国国家图书馆所藏的书需要多少个这的书架？用科学记数法表示结果．
（２）调查本校的人数，如果每人借阅１０本书，那么中国国家图书馆的藏书大约可以供多少所这样学校的学生借阅？用科学记数法表示结果．课后调查课后调查调查古今中外大数表示方法的史料§2.10有理数的乘方（1）
教学目标
1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；
2．培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神；
3．渗透分类讨论思想．
教学重点和难点
重点：有理数乘方的运算．
难点：有理数乘方运算的符号法则．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
在小学我们已经学习过a·a，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；a·a·a记作a3，读作a的立方(或a的三次方)；那么，a·a·a·a
(n是正整数)呢？
在小学对于字母a我们只能取正数．进入中学后，我们学习了有理数，那么a还可以取哪些数呢？请举例说明．
2、设疑
①．求n个相同因数的积的运算叫做乘方．
②．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数．
一般地，在an中，a取任意有理数，n取正整数．
应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．
③．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，an就是表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算．
二．解疑合探
例1? 计算：
教师指出：2就是21，指数1通常不写．让三个学生在黑板上计算．
引导学生观察、比较、分析这三组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？
(1)横向观察：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．
(2)纵向观察：互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等．
(3)任何一个数的偶次幂是什么数？
任何一个数的偶次幂都是非负数．
你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？
当a＞0时，an＞0(n是正整数)；
当a=0时，an=0(n是正整数)．
(以上为有理数乘方运算的符号法则)
a2n=(-a)2n(n是正整数)；
a2n-1=-(-a)2n-1(n是正整数)；
a2n≥0(a是有理数，n是正整数)．
三．质疑再探：
例2? 计算：(1)(-3)2，(-3)3，［-(-3)］5；(2)-32，-33，-(-3)5；
让三个学生在黑板上计算．
教师引导学生纵向观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，(-a)n的底数是-a，表示n个(-a)相乘，-an是an的相反数，这是(-a)n与-an的区别．
教师引导学生横向观察第(3)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了．
四．运用拓展：
课堂练习
计算：(2)(-1)2001，3×22，-42×(-4)2，-23÷(-2)3； (3)(-1)n-1．
小结 让学生回忆，做出小结：1．乘方的有关概念．2．乘方的符号法则．3．括号的作用．
练习设计
3．当a=-3，b=-5，c=4时，求下列各代数式的值：
(1)(a+b)2；? (2)a2-b2+c2； (3)(-a+b-c)2；? (4)a2+2ab+b2．
4．当a是负数时，判断下列各式是否成立．
(1)a2=(-a)2；? (2)a3=(-a)3；
5*．平方得9的数有几个？是什么？有没有平方得-9的有理数？为什么？
6*．若(a+1)2+|b-2|=0，求a2000·b3的值．
板书设计
§2.10有理数的乘方（1）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
七、教学后记
§2.10有理数的乘方（2）
教学目标
使学生了解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比较大的数．
教学重点和难点
重点：正确运用科学记数法表示较大的数．
难点：正确掌握10的幂指数特征．
教学方法：启发式教学
教学过程
一、复习1．什么叫乘方？说出103，-103，(-10)3的底数、指数、幂．
2．计算：(口答)
3．把下列各式写成幂的形式：
4．计算：101，102，103，104，105，106，1010．
二、导入新课
由第4题计算
105=100000，
106=1000000，
1010=10000000000，
左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等．但是像太阳的半径大约是696 000千米，光速大约是300 000 000米／秒，中国人口大约 13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就是本节课我们要学习的内容——科学记数法．
三、新课讲解
1．10n的特征
观察第4题
101=10，
102=100，
103=1000，
104=10000，
1010=10000000000．
提问：10n中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？
2．科学记数法
(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式．如：
100=1×100=1×102，
6000=6×1000=6×103，
7500=7.5×1000=7.5×103．
第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100，1000，变成10的n次幂的形式就行了．
(2)科学记数法定义
根据上面例子，我们把大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是自然数，这种记数法叫做科学记数法．现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法．说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用．
用字母N表示数，则N=a×10n(1≤|a|＜10，n是整数)，这就是科学记数法．
例 ?用科学记数法表示下列各数：
(1)1 000 000；???????????? (2) 57 000 000；???????? (3) 696 000；
(4) 300 000 000；???????? (5)-78 000；?????????????? (6) 12 000 000 000．
解：(1) 1000 000=106；
(2) 57 000 000=5.7×10 000 000=5.7×107；
(3) 696 000=6.96×100 000=6.9×105；
(4) 300 000 000=3×100 000 000=3×108；
(5)-78 000=-7.8×10 000=-7.8×104；
(6)12 000 000 000=1.2×10 000 000 000=1.2×1010．
四、课堂练习
1．用科学记数法记出下列各数；
8000000；5600000；740000000．
2．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数？
1×107；4×103；8.5×106；7.04×105；3.96×104．
五、小结
1．指导学生看书．
2．强调什么是科学记数法，以及为什么学习科学记数法．
3．突出科学记数法中字母a的规定及10的幂指数与原数整数位数的关系．
六、作业：P76 1、2
七、板书设计
§2.10有理数的乘方（2）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例4、例5
（二）观察发现 （四）课堂练习
八、教学后记
第二章 有理数及其运算
11. 有理数的混合运算
一、学生知识状况分析
学生在小学已经学习了非负有理数的四则混合运算法则，运算顺序，掌握了运算律的使用方法，已经具备了计算的技能基础，在本章前十一节的学习过程中，也已具有了进行有理数加、减、乘、除、乘方各种运算的知识与技能基础。在相关知识的学习过程中，学生已经历了实验、猜想、观察、比较、分析、综合、抽象概括等数学活动，积累了较为丰富的活动经验，在解决问题的同时体会到了学习数学的兴趣，在独立思考的基础上，体验到了合作交流的重要性 ，同时在语言表达，发表见解方面都有成功的感受，具备了学习本节课所需要的活动经验基础。
二、教学任务分析
本节课既可以看成是一节新授课，又可以当作是一节复习课，是本章的重点，是全章知识的综合与运用。根据本节课的内容及学生的特点，设置教学目标及重难点如下：
1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律；
2．使学生能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算；
3．注意培养学生的运算能力。
本节课的重点是有理数的混合运算；
本节课难点是准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题。
三、教学过程分析
本节课设计了六个环节：复习回顾 引入新课；自主探索 探索新知 ；例题讲解 巩固新知；尝试训练 巩固提高；归纳小结 布置作业；拓展延伸 能力提升。
具体内容与分析如下：
第一环节 复习回顾 引入新课
内容：
活动1：说一说 有理数的四则运算法则及运算律。
活动2：练一练 计算（1）－5.4+0.2－0.6＋0.8 ； （2） 3× (-4)+(-28)÷7 ；
（3） (-7)(-5)-90÷(-15) ； （4） -(-7)2 ；
活动3：想一想 归纳有理数同级运算法则并试着计算下题
目的：
通过“说一说”、“练一练”复习回顾有理数四则运算的法则和运算律，并通过练习为新课学习铺设台阶；通过“想一想”引出新课学习课题：有理数的混和运算，并为下一环节的进行提出问题。
注意事项与效果：
对活动1中学生的回答中.只要意思正确，就要加以肯定，以保护学生的积极性，并展示规范语言：先算乘法，再算加减；如果有括号，先算括号里的；对于活动2的计算，要让每个学生都参与，并将每一步的算理搞清楚，尤其是第（2）小题的算法，可用运算律简化运算，对于没有使用运算律的同学也应肯定，因为算法多样化的倡导只对全体学生而言的，即允许学生对同一题有不同的算法，而不是要求对同一题有多种解法；对于活动3中问题，可让学生进一步概括有理数的混和运算法则，有困难时，可提示类比活动1的复习。
第二环节 自主探索 探索新知
内容：
计算
问题1:算式里含有哪几种运算?
问题2：哪些运算是同一级运算？分别是几级运算？
问题3：根据以上分析你能解答该题吗？你能归纳出有理数混合运算法则吗？
目的：
培养学生善于归纳、总结的能力，鼓励学生大胆尝试，通过交流探究，提高学生的思维能力；让学生弄清运算顺序，提高解题的准确率。
注意事项与效果：
对于问题1、问题2，要给学生一定的思考、讨论、交流的时间.鼓励学生积极参与和发展见解，对于学生的答案，只要意思正确，就给予正面评价，并将准确的叙述展示即可；对于问题3，要让学生合作完成，并请一个小组派代表上台扮演并讲解，然后师生共同评价，对出现的问题做出适当处理，总之教师要在探索新知的环节中当好引导者、合作者的角色。
第三环节 例题讲解 巩固新知
内容：
例1 计算
目的：
观察、类比、概括有理数混和运算的法则，培养说明意识和表达能力；同时再次巩固有理数混合运算的法则，并让学生尝试运用运算律进行简便运算.
注意事项与效果：
让学生独立完成，要相信学生有能力完成，并请两个学生上台板演，然后由学生自行评价，对出现的问题做出适当批改处理，尤其是对第（2）小题的解题方法的评价要注意肯定两种不同的方法，允许对问题认识的差异存在，不必强求统一；对于此环节教师应关注学生完成的质量程度，对本节课教学目标的达成情况要心中有数。
第四环节 尝试训练 巩固提高
内容：
计算下列各题：
（1）－3－[－5＋(1－0.2×5)÷(－2)] （2）－14－×[ 2－(－3)2 ]
（3）(-2)2-(-52)×(-1)
目的：
此处设置是为了进一步巩固新知，让学生自己去验证自己概括的有理数混和运算的法则的正确性，并体验成功的幸福。
注意事项与效果：
学生在进行训练时，要关注学生是否能很好的把握运算顺序，比如（1）（3）中含有较繁琐的多级运算时，同时要对于（4）中运算律的灵活应用给予肯定和表扬，鼓励学生在做题前，学会观察，确定恰当的解题方法会在很大程度上简化计算，从而感到学数学的幸福和快乐。
第五环节 归纳小结 布置作业
口 诀 歌
同 级 运 算， 从 左 至 右；
异 级 运 算， 由 高 到 低；
若 有 括 号， 先 算 内 部；
简 便 方 法， 优 先 采 用.
布置作业
教科书习题2.16知识技能1
目的：
此环节由学生思考完成课堂小结，培养学生的语言表达能力，活跃课堂气氛，表现学生独立、自主、自信的个性.展示学生的聪明智慧，让学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，享受数学活动的乐趣和成功的快乐.。布置作业是再次复习巩固有理数混和运算的知识，训练运算技能和提高解决问题的能力，让学生养成落笔有据的好习惯。
第六环节 拓展延伸 能力提升
内容：
活动1：让学生阅读“24点游戏规则”（投影片展示规则）
“从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J、Q、K分别代表11、12、13”.
活动2：提出问题，让学生思考、讨论、交流并做出解答.（投影片展示课本中问题）
活动3：让学生当场从教师准备好的扑克牌中任意抽出四张牌，并向同学们展示，请同学们四个人为一组，合作交流写出尽可能多的结果为24的算式，并展示竞赛。
目的：
活动1让学生阅读规则的目的是培养学生的阅读理解能力；活动2是为了培养学生的探究能力，合作能力，交流能力，以及对运算法则、运算律的应用能力，同时也是为了培养学生的逆向思维能力.因为游戏中“已知结果写算式”的过程正好与过去“已知算式求结果”的过程相反；活动3的目的是让学生体验做数学游戏的乐趣，也是活动2的继续，同时展开竞赛可进一步激发学生的活动兴趣，培养集体荣誉感。
注意事项与效果：
活动1规则的阅读一定要学生阅读并理解，教师不能代替.其实数学的各类题目的阅读任务就应该学生自己完成；活动2教师应先对“黑桃7、3梅花7、3”这四个数列算式做示范，以突破难点，对于学生在讨论交流合作过程中探究出的不同算式，教师应及时展示给全体同学； 活动3应注意对竞赛结果做出评价，对表现积极，写的算式又对又多又快的小组要表扬，同时要把握时间，及时点拨，及时纠正，把意犹未尽的游戏活动延伸到课后进行。.
教学反思
1、本节课引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，在教学活动中体现了学生是学习的主人，教师是组织者、引导者的理念。
2、从本节课的效果来看，在突破难点，发挥游戏的功能上还需继续探索和改进.同时发现要想使游戏发挥更大的正面效果，取得理想的效果，需要教师挖掘教材，创设情境。另外学生的活动往往易放难收，时间上的把握需要在今后教学中加以注意。
课件13张PPT。北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算第11节 有理数的混合运算说一说我们学过的有理数的运算律：加法交换律：加法结合律：乘法交换律：乘法结合律：乘法分配律：a+b=b+a；(a+b)+c=a+(b+c)；ab=ba；(ab)c=a(bc)；a(b+c)=ab+ac.（1）－5.4+0.2－0.6＋0.8 ；
（2） 3× (-4)+(-28)÷7 ；
（3） (-7)(-5)-90÷(-15) ；
（4） -(-7)2 ；
计算下列各题：练一练只有一级运算时想一想上面的计算中，你发现了什么规律？我们从左向右运算
有多级运算时呢？你是如何计算以下题目的？商 计算： 加
法 除法 乘
方 乘
法 减
法 运算 结果 和 幂 积 差 第一级运算 第二级运算 第三级运算 先乘方，后乘除，最后加减；
有括号的先进行括号里的运算试一试自主探究左 右 有不同级运算高低知识梳理有括号的先进行括号里的运算只含某一
级运算 例1.计算：例题讲解你能用多种方法解答吗？计算下列各题：
（1）－3－[－5＋(1－0.2×5)÷(－2)]
（2）－14－×[ 2－(－3)2 ]
（3）(-2)2-(-52)×(-1)5
尝试练习口 诀 歌
同 级 运 算， 从 左 至 右；
异 级 运 算， 由 高 到 低；
若 有 括 号， 先 算 内 部；
简 便 方 法， 优 先 采 用.归纳小结拓展延伸 24点游戏规则 “从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取
4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只
能用一次)，使得运算结果为24或－24.其中红色扑
克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J、Q、K
分别代表11、12、13”.黑桃7
黑桃3
梅花7
梅花3黑桃7
黑桃3
梅花7
红桃3黑桃7
黑桃3
红桃7
红桃3拓展延伸布置作业教科书习题2.16
知识技能1 谢谢大家！有理数巧算“十字诀”
1、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.
[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.
解：原式=（28+50）+（-13-47）
2、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.
[例2]（-）+2.3+（-0.1）-2.2++3.5.
解：原式=[(-)+]+[2.3+3.5-0.1-2.2]
=[(2.3-0.1-2.2)+3.5]
=0+3.5
=3.5.
3、”凑”将相加可得整数的数凑整,
[例3]计算
(+)+(-)+1.75+(-)+1.05+2.2.
解：原式=(--)+(1.75+1.05+2.2)+( +)
=-1+5 +
=4
4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合.
[例4]计算1-++--.
解：
原式=（1-）+（-）+（-）
=-－－
=-.
5、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.
[例5]计算×15.
解：原式=（20-）×15
=300-
=.
[例6]计算（-）×0.25×(-96) ×.
解：原式=(×8) ×(0.25×4) ×(3×)
=1×1×1=1.
6、“化”：将小数与分数或乘法与除法相互转化.
[例7]计算-3-[-5+（1-0.2×）÷（-2）].
解：原式=-3-[-5+（1-×）÷（-2）]
=-3-[-5+×(-)]
=-3-[-5-]
=.
7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.
[例8]计算（--）×（-）.
解：原式=×（-）-×（-）-×（- ） =-2+1+
=-.
8、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.
[例9]计算（-0.12）·（+）·（-）·（-1.6）.
解：原式=-×××=-.
9、“逆”：正难则反，逆用运算律以简化运算.
[例10]计算
（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-）.
解：原式=（-125+315+166+1）÷17
=357÷17=21.
10、“观”：根据0和1在运算中的特性，注意观察算式特征，可收到事半功倍的效果.
[例11]计算
-2006÷20.02×(2.15-)+(-1)2006+(-1)2007.
解：原式=0+1-1=0
§2.11、计算器的使用
教学目标：
1.知识目标 ：指导学生学会应用计算器进行实数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算。
2.能力目标 ：用计算器完成较为繁杂的计算，鼓励学生用计算器进行探索规律的活动。
3.情感态度 ：使学生了解计算工具的发展历史，进一步认识到数学来源于生活服务于生活的道理，通过类比认识到现代信息技术是学习数学和解决问题的强有力的工具。
重点与难点：
重点是计算器的使用及技巧，
难点是运用计算器进行较为繁琐的运算和探索规律，关键是熟练准确的运用计算器进行计算。
教具：计算器、（简单计算器、科学技术器、图形计算器）、多媒体展示台、计算机。
教学过程
1、情景引入：
我们日常生活中常常会遇到很多的计算问题，如到市场去买菜，到超市去买生活用品，到银行去存款，到商店去买学习用品等都会遇到计算问题，大家发现人们是怎样计算价格的？
同学们的回答肯定各种各样：口算、用计算器、用算盘、电脑，综合同学们的回答作如下引导，同学们发现了没有，这些计算方法各有什么特点？（心算快捷用于简单的运算，算盘用于较为麻烦的运算，但是用的人越来越少，计算器使用范围广，操作简便，男女老少都能用，电脑在银行、超市中使用准确，快捷）由学生的回答进一步引导，大家知道计算器的发展历史吗？由学生回答后教师作简单的讲解（见准备材料）。
2、自主探究，合作交流
⑴让大家拿出自己的计算器运算：
⑵合作交流：学生把答案交流订正，讨论计算方法及有关键的功能，可分组，也可同桌交流，得出上述题目的计算方法：
见课本P92页
3、理性归纳得出结论：
特殊键的功能，借助多媒体展台向学生展示各功能键的功能及运用：（见课本P92）
4、运用反思，拓展创新。
⑴例1：用计算器计算
学生尝试运算，讨论、交流，最后由学生板书解题过程，教师帮助修改
解：按键顺序为
（
3
。
2
—
4
。
5
）
—
2
ab/c
5
=
计算器的显示结果为所以=
⑵练一练，用计算器求下列各式的值
① ② ③
④ ⑤
⑶比一比：课本P58页 1。
⑷想一想：①用计算器计算：
通过计算你发现了什么规律？你能用这个规律写出的结果吗！呢？
②按下面的步骤做一做：
从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任选一个数字
↓
将这个数字乘以9
↓
将上面的结果乘12345679
5、小结回顾：启发学生说出本节课的感受与体会，教师补充以下两条：
⑴科学计算器有那些主要功能键？
⑵用计算器计算时输入顺序与书写顺序有何关系？
6、 作业：课堂作业：自己列出五个含有加、减、乘、除、乘方运算的并含有负数、括号、绝对值的算式用计算器算出结果。
§2.11有理数的混合运算（1）
教学目标
1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律；
2．使学生能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算；
3．注意培养学生的运算能力．
教学重点和难点
重点：有理数的混合运算．
难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题．
教学方法：启发式教学教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
①．计算(五分钟练习)：
(5)-252；? (6)(-2)3；(7)-7+3-6；? (8)(-3)×(-8)×25；
(13)(-616)÷(-28)；? (14)-100-27；? (15)(-1)101；? (16)021；
(17)(-2)4；? (18)(-4)2；? (19)-32；? (20)-23；
(24)3.4×104÷(-5)．
②．说一说我们学过的有理数的运算律：
加法交换律：a+b=b+a；
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；
乘法交换律：ab=ba；
乘法结合律：(ab)c=a(bc)；
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.
2、设疑
前面我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，含有以上的混合运算，按怎样的顺序进行运算？
1．在只有加减或只有乘除的同一级运算中，按照式子的顺序从左向右依次进行．
审题：(1)运算顺序如何？
(2)符号如何？
说明：含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分成整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号相同．
审题：运算顺序如何确定？
注意结果中的负号不能丢．
计算：(1)-2.5×(-4.8)×(0.09)÷(-0.27)；
2．在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．
二．解疑合探
例3? 计算：(1)(-3)×(-5)2；? (2)［(-3)×(-5)］2；(3)(-3)2-(-6)；? (4)(-4×32)-(-4×3)2．
审题：运算顺序如何？
解：(1)(-3)×(-5)2=(-3)×25=-75．
(2)［(-3)×(-5)］2=(15)2=225．
(3)(-3)2-(-6)=9-(-6)=9+6=15．
(4)(-4×32)-(-4×3)2
=(-4×9)-(-12)2
=-36-144
=-180．
注意：搞清(1)，(2)的运算顺序，(1)中先乘方，再相乘，(2)中先计算括号内的，然后再乘方．(3)中先乘方，再相减，(4)中的运算顺序要分清，第一项(-4×32)里，先乘方再相乘，第二项(-4×3)2中，小括号里先相乘，再乘方，最后相减．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
课堂练习
计算：(1)-72；????? (2)(-7)2；???? (3)-(-7)2； (7)(-8÷23)-(-8÷2)3．
例4? 计算(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．
审题：(1)存在哪几级运算？(2)运算顺序如何确定？
解：? (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4
=4-(-25)×(-1)+87÷(-3)×1(先乘方)
=4-25-29(再乘除)
=-50．(最后相加)
注意：(-2)2=4，-52=-25，(-1)5=-1，(-1)4=1．
课堂练习
计算：(1)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)；(2)2×(-3)3-4×(-3)+15．
3．在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
小结
教师引导学生一起总结有理数混合运算的规律．
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算从左到右按顺序运算；
3．若有括号，先小再中最后大，依次计算．
作业：计算：(1)-8+4÷(-2)；??????????????????????????? (2)6-(-12)÷(-3)；
(3)3·(-4)+(-28)÷7；????????????????? (4)(-7)(-5)-90÷(-15)
(7)1÷(-1)+0÷4-(-4)(-1)；(8)18+32÷(-2)3-(-4)2×5．
板书设计
§2.11有理数的混合运算（1）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
六、教学后记
§2.11有理数的混合运算（2）
教学目标
1．进一步熟练掌握有理数的混合运算，并会用运算律简化运算；
2．培养学生的运算能力及综合运用知识解决问题的能力．
教学重点和难点
重点：有理数的运算顺序和运算律的运用．
难点：灵活运用运算律及符号的确定．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
①．叙述有理数的运算顺序．
②．三分钟小测试，计算下列各题(只要求直接写出答案)：
(1)32-(-2)2；(2)-32-(-2)2；(3) 32-22；(4)32×(-2)2；
(5)32÷(-2)2；(6)-22+(-3)2；(7)-22-(-3)2；(8)-22×(-3)2；
(9)-22÷(-3)2；(10)-(-3)2·(-2)3；(11)(-2)4÷(-1)；
2、自探
例1? 当a=-3，b=-5，c=4时，求下列代数式的值：
(1)(a+b)2；? (2)a2-b2+c2； (3)(-a+b-c)2；? (4) a2+2ab+b2．
解：(1)? (a+b)2
=(-3-5)2? (省略加号，是代数和)
=(-8)2=64；? (注意符号)
(2)? a2-b2+c2
=(-3)2-(-5)2+42? (让学生读一读)
=9-25+16? (注意-(-5)2的符号)
=0；
(3)? (-a+b-c)2
=［-(-3)+(-5)-4］2? (注意符号)
=(3-5-4)2=36；
(4)a2+2ab+b2
=(-3)2+2(-3)(-5)+(-5)2
=9+30+25=64．
分析：此题是有理数的混合运算，有小括号可以先做小括号内的，
=1.02+6.25-12=-4.73．
在有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除．乘除运算在一起时，统一化成乘法往往可以约分而使运算简化；遇到带分数通分时，可以写
二．解疑合探
例2? 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求 x2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995值.
解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或-2．
所以 x2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995
=x2-x-1．
当x=2时，原式=x2-x-1=4-2-1=1；
当x=-2时，原式=x2-x-1=4-(-2)-1=5．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
课堂练习
1．当a=-6，b=-4，c=10时，求下列代数式的值：
2．判断下列各式是否成立(其中a是有理数，a≠0)：
(1)a2+1＞0；? (2)1-a2＜0；
练习设计
1．根据下列条件分别求a3-b3与(a-b)·(a2+ab+b2)的值：
2．当a=-5.4，b=6，c=48，d=-1.2时，求下列代数式的值：
3．计算：
4．按要求列出算式，并求出结果．
(2)-64的绝对值的相反数与-2的平方的差．
5*．如果|ab-2|+(b-1)2=0，试求
板书设计
§2.11有理数的混合运算（2）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例题
（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
七、教学后记
使用计算器的利与弊
在当今这个高度的信息时代，使用计算器好处很多，新课标和新教材提倡使用计算器，如：（1）使用计算器进行计算（初等计算均可完成）；（2）利用计算器进行估算，如：在八年级上册用有理数逼近无理数的思想，就需要借助计算器用有理数近似表示无理数；在九年级下册，研究一元一次方程的近似解都借助计算器更快捷；（3）利用计算器进行探索规律，如在七年级上使用计算器验证、探索“黑洞数”的规律；（4）利用计算器处理较复杂的数据。计算器为数学应用提供了先进的计算工具，更便于处理实际数据，特别是处理随机实验得来的数据，使数学应用在中学有了广阔的空间；如在八年级下册鼓励学生用计算器方便地计算一组数据的标准差与方差，这对分析数据，研究数据的波动大有好处。（5）利用计算器产生随机数进行模拟实验。如在九年级上册“生日相同的概率”一节内容就可以利用计算器产生随机数进行模拟实验,可见计算器可以把静态的变成动态的，把抽象的东西具体化，直观化，使人们的思维得到一定程度的延伸。可见，使用计算器是一种先进的计算工具，即可以节省学生许多时间学习其他更有价值的内容，又可引发学习兴趣。
同时，我们还应当看到使用计算器也带来了一定的负面影响，人们普遍反映新课程下的学生计算能力欠缺，这与过早的使用计算器不无关系，因此，我们建议在初一上学期学习有理数运算时，只教会学生使用计算器进行有理数四则运算，但首先要会手算，七年级教材中的例习题数据绝大多数都比较简单，学生不必使用计算器运算，除非有明确说明的题目才可以使用计算器。使用计算器要有一定的度，教师要帮助学生把好基本的运算关。
魔数153
任写一个数，它是3的倍数。把它的各个数字分别立方，把得到的立方数相加，得到一个新的数，再把新得到的数的每个数字分别立方，把得到的立方数相加，又得到一个新数。一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器进行探索。
答案：结果永远是153，有人称之为魔数。
§2.12有理数复习课
教学目标
1、复习整理有理数有关概念和有理数运算法则，运算律以及近似计算等有关知识；
2、培养学生综合运用知识解决问题的能力；
3、渗透数形结合的思想?
教学重点和难点
重点：有理数概念和有理数运算?
难点：负数和有理数法则的理解?
教学方法：启发教学
教学过程
1、阅读教材中的“全章小结”，给关键性词语打上横线?
2、利用数轴患讲有理数有关概念?
本章从引入负数开始，与小学学习的数一起纳入有理数范畴，我们学习的数地范围在不断扩
大?从数轴上看，小学学习的数都在原点右边(含原点)，引入负数以后，数轴的左边就有了
实际意义，原点所表示的0也不再是最小的数了?数轴上的点所表示的数从左向右越来越大
，A点所表示的数小于B点所表示的数，而D点所表示的数在四个数中最大?
我们用两个大写字母表示这两点间的距离，则AO＞BO＞CO，这个距离就是我们说的绝对值?
由AO＞BO＞CO可知，负数的绝对值越大其数值反而越小?
由上图中还可以知道CO=DO，即C，D两点到原点距离相等，即C，D所表示的数的绝对值相等，又它们在原点两侧，那么这两数互为相反数?从数轴上看，互为相反数就是在原点两侧且到原点等距的两点所表示的数?
利用数轴，我们可以很方便地解决许多题目?
例 (1)求出大于-5而小于5的所有整数；
(2)求出适合3＜＜6的所有整数；
(3)试求方程=5， =5的解；
(4)试求＜3的解?
解：(1)大于-5而小于5的所有整数，在数轴上表示±5之间的整数点，如图，显然有±4，±3，±2，±1，0
(2)3＜＜6在数轴上表示到原点的距离大于3个单位而小于6个单位的整数点?
在原点左侧，到原点距离大于3个单位而小于6个单位的整数点有-5，-4；在原点右侧距离原点大于3个单位而小于6个单位的整数点有4，5?
所以 适合3＜＜6的整数有±4，±5?
(3) =5表示到原点距离有5个单位的数，显然原点左、右侧各有一个，分别是-5和5?
所以=5的解是x=5或x=-5?
同样=5表示2x到原点的距离是5个单位,这样的点有两个,分别是5和-5.
所以2x=5或2x=-5，解这两个简易方程得x=或x=-?
(4) ＜3在数轴上表示到原点距离小于3个单位的所有点的集合.
很显然-3与3之间的任何一点到原点距离都小于3个单位?
所以 -3＜x＜3?
4、课堂练习
(1)填空：
①两个互为相反数的数的和是_____；②两个互为相反数的数的商是_____；(0除外)
③____的绝对值与它本身互为相反数；④____的平方与它的立方互为相反数；⑤____与它绝对值的差为0；⑥____的倒数与它的平方相等；⑦____的倒数等于它本身；⑧____的平方是4，_____的绝对值是4；
⑨如果-a＞a，则a是_____；如果=-a3，则a是______；
如果，那么a是_____；如果=-a，那么a是_____；
板书设计
§2.12有理数复习
（一）知识回顾 （三）例题解析
例题
（二）观察发现 （四）课堂练习
教学后记
第二章 有理数及其运算
12．用计算器进行运算
一、学生知识状况分析
在上节课的基础上，学生能够非常有兴趣来学习计算器的使用方法。关键要照顾好不能准确记忆每个键功能的学生，教师及时帮扶，通过动手能力强的学生带动弱势群体来学习本节课知识?。
二、教学任务分析
计算器和计算机的逐步普及，对数学教育产生了深刻的影响。因此《标
准》强调，“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”。一方面计算器可以使学生从繁琐的纸笔计算中解放出来，也为解决实际问题提供了有力的工具；另一方面，计算器和计算机对学生的数学学习方式也有很大的影响.计算器可以帮助学生探索数学规律，理解数学概念和法则。学生刚学了有理数的运算法则，可以将纸笔计算与计算器计算的结果相对照，因此学好本节内容对于学生的发展起着举足轻重的作用，在探索现实问题和需要进行复杂的运算时，应当鼓励学生使用计算器，慢慢养成像使用纸笔那样使用计算器的习惯。根据本节课的内容及学生的特点，设置教学目标及重难点如下：
1经历探索计算器使用方法的过程，了解计算器按键功能，会使用计算进行
有理数的加、减、乘、除、乘方运算.掌握按键顺序，
2经历运用计算器探索数学规律的活动，培养合情推理能力，能运用计算
器进行实际问题的复杂运算.
3在合作交流的学习过程中，培养合作能力和动手操作的实践能力。
本节课的重点是计算器的使用及技巧。.
本节课难点是难点是运用计算器进行较为繁琐的运算和探索规律，关键是熟练准确的运用计算器进行计算。
三、教学过程分析
本节课设计了五个环节：动手操作 掌握运用；例题讲解 熟能生巧；尝试练习 巩固新知；探索规律 活学巧用；反思小结 布置作业。
具体内容与分析如下：
第一环节 动手操作 掌握运用
内容：
1熟悉常用功能键：
ON AC DEL SHIFT = + （-） x2 xy … .
2用计算器计算下列各题，总结按键顺序规律.
(1)41.9×（-0.6）; (2); (3)1.22; (4)124.
目的：
此处设置是为了培养学生的动手操作能力，体验科学计算器操作简便，快捷高效的优越性；感受科学技术的重要性，激发学生的好奇心，培养创新意识；通过对简单运算的尝试操作，归纳和发现科学计算器的按键顺序与手写算式的顺序保持一致，从而培养学生的发现能力和耐心，细心，一丝不苟的学习习惯的养成。
注意事项与效果：
用计算器在进行计算时，学生在进行分数和乘方的按键操作，要借助与第二功能键，这时对于学生来说较困难，所以教师要在此加强引导，做好示范，鼓励学生通过类似训练，总结出按键顺序的规律，从而为下一个环节中较复杂的计算的操作做一个很好的铺垫作用。
第二环节 例题讲解 熟能生巧
内容：
1用计算器求下列各式的值。
2 测量一种圆柱形饮料罐的底面半径和高，精确到0.1厘米.用计算器计算出这个饮料罐的容积（π取3.14），结果精确到整数，并将你的结果与商标上的数据进行比较。
目的：
此处设置是让学生熟悉计算器上有关按键的功能,掌握按键的操作顺序,体验计算器强大的计算功能,感受数学程序思想,并能运用数学解决实际问题.
注意事项与效果：
用计算器在进行含有多层括号的计算时，特别是在(2)中，底数是负数的乘方运算时，教师可以请学生上台演示按键顺序，适时指导纠正，并通过屏幕幻灯片演示，与学生共同完成较复杂易错的计算，加深学生的印象，避免下次出错。
第三环节 尝试练习 巩固新知
内容：
目的：
此处设置是让学生进一步熟练使用计算器时的按键顺序，能用计算器快速准确地进行计算。
第四环节 活学巧用 探索规律
内容：
目的：
此处设置是让学生进一步熟练计算器的操作,经历用计算器探索规律的过程,提高语言表达和说理能力;特别是把现代化信息技术作为学习数学和解决问题的工具,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去，对发展学生的观察、归纳、猜想、推理、交流等能力大有好处，从而改变学生的学习方式。
第五环节 反思小结 布置作业
内容：
小结：熟记常用的计算器功能键及注意在运算时的按键顺序。
布置作业：教科书第94页知识技能1，问题解决2、3.
目的：
此处设置是培养学生有条理地阐述自己观点的表达能力，提高学生的参与度。
布置作业是复习巩固本节知识，训练计算器操作技能，提高解决问题的能力。
教学反思
在教学实践中发现，学生的动手能力很强，操作熟练快捷，获悉按键功
能比较顺利，所以应该放心的让学生去操作发现按键功能，不必教师讲解，而且教师讲授远比不上学生自己实践的效果好，但应注意的是学生发现按键功能后教师要及时总结，条理地展示给学生，便于学生记忆。
学生体验到计算器处理复杂计算的优越性后，必然会产生对计算器的依
赖心理，实践证明，在今后的学习过程中，学生离不开计算器的现象普遍存在，影响了对估计、笔算、心算的学习，所以在本节课后，应随时控制计算器的使用，教育学生不能随意使用计算器，而应按学习要求，适当选用各种算法。
课件14张PPT。北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算第12节 用计算器进行运算你熟悉计算器吗？常用功能键开机清除全部数据结果和运算符 清除当前数据结果和运算符 运算键与其它键配合执行第二功能…用计算器计算下列各题
试一试例1 用计算器计算：
（1）；
（2）。12例题讲解计算器显示结果为 键切换为小数格式。解：按键顺序为,所以可以按
例题讲解解：按键顺序为。。计算器显示结果为 键，则结果切换为小数格式
19.16666667.这一结果显然不是准确值，而是一个近似数.在用计算器计算时，所得到的结果有时候是近似数.为了得到所需精确度的近似数，常采用四舍五入法.此时，若按例题讲解例2 测量一种圆柱形饮料罐的底面半径和高，精确到0.1厘米.用计算器计算出这个饮料罐的容积（π取3.14），结果精确到整数，并将你的结果与商标上的数据进行比较.例题讲解尝试练习用计算器求下列各式的值：按照下面的步骤做一做: 活学巧用
事实上,因为12345679×9=111111111,
所以输入5,就得到结果555 555 555想一想
你能解释为什么吗?
如果输入的数字是5,则得到结果555 555 555
如果输入的数字是2,则得到结果222 222 222
如果输入的数字是7,则得到结果777 777 777活学巧用 利用计算器进行运算;
利用计算器探索有趣的数字规律.课堂小结教科书习题2.17
知识技能1;
问题解决2、3. 作业!谢谢大家！§2.1数怎么不够用了（1）
教学目标
1．使学生了解正数与负数是从实际需要中产生的；
2．使学生理解正数与负数的概念，并会判断一个数是正数还是负数；
3．初步会用正负数表示具有相反意义的量；
4．在负数概念的形成过程中，培养学生的观察、归纳与概括的能力．
教学重点：负数的意义．
教学过程
一、设疑自探
1、从学生原有的认知结构提出问题
大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？
小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的．
为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，…… 4.87、……
为了表示“没有人”、“没有羊”、……，我们要用到0．
但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示．
什么叫做正数？什么叫做负数？
2、师生共同研究形成正负数概念
某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚．它们是具有相反意义的两个量．
现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多．
例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．
和“运出”，其意义是相反的．
同学们能举例子吗？
学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？
待学生思考后，请学生回答、评议、补充．
只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了．
让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：
高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作-155米；
什么叫做正数？什么叫做负数？强调，数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．并指出，正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．
二．解疑合探
例? 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合．把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合的圈里：
此例由学生口答，教师板书，注意加上省略号，说明这是因为正(负)数集合中包含所有正(负)数，而我们这里只填了其中一部分．然后，指出不仅可以用圈表示集合，也可以用大括号表示集合．
三．质疑再探
说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：
正数集合：｛????????????? …｝， 负数集合：｛????????????? …｝．
练习设计
1．北京一月份的日平均气温大约是零下3℃，用负数表示这个温度．
2．在小学地理图册的世界地形图上，可以看到亚洲西部地中海旁有一个死海湖，图中标着-392，这表明死海的湖面与海平面相比的高度是怎样的？
3．在下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
-3.6，-4，9651，-0.1．
4．如果-50元表示支出50元，那么+200元表示什么？
5．河道中的水位比正常水位低0.2米记作-0.2米，那么比正常水位高0.1米记作什么？
6．如果自行车车条的长度比标准长度长2毫米记作+2毫米，那么比标准长度短3毫米记作什么？
7．一物体可以左右移动，设向右为正，问：(1)向左移动12米应记作什么？(2)“记作8米”表明什么？
小结
由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数．正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．
板书设计
2．1数怎么不够用了（1）
（一）知识回顾 （四）例题解析 （六）课堂小结
（二）观察发现
（三）解方程 （五）课堂练习 练习设计
教学后记
§2.1数怎么不够用了（2）
教学目标
1．使学生理解有理数的意义，并能将给出的有理数进行分类；
2．培养学生树立分类讨论的思想．
教学重点：有理数包括哪些数．
教学难点：有理数的分类及其分类的标准．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
2．学生设疑
①．什么是正、负数？
②．如何用正、负数表示具有相反意义的量？数0表示量的意义是什么？举例说明．
③．任何一个正数都比0大吗？任何一个负数都比0小吗？
4．什么是整数？什么是分数？
根据学生的回答引出新课．
二．解疑合探
1．给出新的整数、分数概念
引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括自然数和零，引进负数后，我们把自然数叫做正整数，自然数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数(自然数)、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数，即
2．给出有理数概念
整数和分数统称为有理数，即
有理数是英语“Rational number”的译名，更确切的译名应译作“比
3．有理数的分类
为了便于研究某些问题，常常需要将有理数进行分类，需要不同，分类的方法也常常不同根据有理数的定义可将有理数分成两类：整数和分数．有理数还有没有其他的分类方法？
待学生思考后，请学生回答、评议、补充．
教师小结：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零，
并指出，在有理数范围内，正数和零统称为非负数．并向学生强调：分类可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．
三、运用举例? 变式练习
例1? 将下列数按上述两种标准分类：
例2? 下列各数是正数还是负数，是整数还是分数：
三、质疑再探
说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展
1、25，-100按两种标准分类．
2．下列各数是正数还是负数，是整数还是分数？
3．练习设计
把下列各数填在相应的括号里(将各数用逗号分开)：
正整数集合：｛???????????????? …｝；负整数集合：｛???????????????? …｝；
正分数集合：｛???????????????? …｝；负分数集合：｛???????????????? …｝．
2．填空题：
(1)整数和分数合起来叫做______，正分数和负分数合起来叫做______．
3．选择题
(1)-100不是??????[??? ]A．有理数? B．自然数? C．整数? D．负有理数
(2)在以下说法中，正确的是???????[??? ]
A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，不是有理数
C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数
4、小结
教师引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？
板书设计
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.1有理数》 第1课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1、整理前两个学段学过的整数、分数（小数）知识，掌握正数和负数概念.
2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数.
3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣.
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
问题导学：
太原地区11月份某天的天气预报：白天最高气温零上10℃，夜间最低温度零下5℃，根据你的生活经验，用数表示零上10℃ 。零下5℃ ；其中有我们小学学习中没有见过的数吗？它是什么数？
一、自主预习
阅读课本P23页，完成表格并思考问题：
答对题的得分
答错题的得分
未回答题的得分
第一队
+6
第二队
-2
（1）每个代表队的最后得分是多少？
（2）用你所学的数都能表示吗？
二、探究新知
“加分与扣分”“上涨量与下降量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们可把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示。正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如成绩提高6分表示为 ；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如成绩下降3分表示为 。
活动 两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示.
例：（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈表示为 。
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么-0.03克表示 。
（3）某大米包装袋上标注着“净含量：10㎏±150g”，这里的“10㎏±150g”表示 。
三、归纳总结：
通过以上学习你能对所学的数进行分类吗？请填空：
1、按正、负性质分类：
2、按整数、分数分类：
与 统称为有理数。
练习：
1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？
7， -9.24， ， -301， ， 31.25， 0， 5.66…
2、下列说法中正确的是：（ ）
A：整数包含正整数和负整数 B：分数包含正分数和负分数以及0
C：在有理数中不是正数就是负数 D：0是整数单不是正数也不是负数
回顾小学所学过的数并进行归类。
看清楚三种表情各自表示的含义。
认真理解相反意义的量。
具有相反意义的量必须是同类量，如：上升与下降，支出与收入，等。
要弄清楚各问题中的“基准”，
提示：
用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。
运用归类法时要注意：（1）不重复。
（2）不遗漏。
特别注意0不要漏掉。
参看课本24页
通常我们可以将正数的“+”号省略，但是负数的“—”号是不可以省略的。
当堂检测
A组
1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．
2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．
3．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是………………………（ ）
A．向东行进50m C．向北行进50m
B．向南行进50m D．向西行进50m
4．下列结论中错误的是 …………………………………………（ ）
A．有理数包括正数与负数 B．整数都是有理数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．0既不是正数，也不是负数
5．给出下列各数：-3，0，+5，，+3.1，，2004，+2008．
其中是负数的有 ……………………………………………………（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B组
1．零下15℃，表示为_________，比O℃低4℃的温度是_________．
2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______地，最低处为_______地．
3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________．
4．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．
5．根据规律填空:
（１）2，－1，３，－１，４，－１， ， ， ，第１９个数是 。
（２）2，－４，６，－８，１０， ， ，第１２个数是 。
作业布置
１、完成课本习题2.1
2、完成《学用通》
任意两个有理数之间有多少个有理数
凭直觉，应该有无数个吧。你的直觉很正确，确实任意两个有理数之间有无数个有理数。
对此，我们可以借助数轴来分析。
先来看表示0和1的两点间有多少个有理数点？
先从特殊点开始吧。
0和1之间的中点显然是一个有理点，有没有其他点了呢？
既然0和1之间有中点，同样0、之间有中点以及、1之间有中点，它们也是有理点，
同样点0、之间的中点、与之间的中点，与之间的中点，与1之间的中点，……也都是有理点。
因此，0与1之间有无限多个有理数。
任意两个有理数之间存在无数个有理数，同样方法你能说明了吧。
由此可见，有理数是密密麻麻地分布在整个数轴上（但要注意，并不是数轴上的点都是有理点）。有理数的这种性质，我们称它是稠密的。
想一想，整数集稠密吗？
思维训练题
1. 将下列数据在数轴上表示出来:
-1.3, 4， 0.3， -3， -, -5.
2. （1）指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数；
（2）按从小到大顺序排列，将它们用“＜”号连接起来；
（3）写出离C点3个单位的点表示的数；
（4）写出离C点m个单位的点表示的数（m＞0）；
3.下面说法中错误的是（ ）
A.数轴上原点的位置是任意取的，不一定要居中
B.数轴上单位长度的大小要根据实际需要选取.1厘米长的线段可以代表1个单位长度
也可以代表2个、5个、10个、100个…单位长度，但一经取定，就不可改动
C.如果m＞n，那么在数轴上表示m的点比表示n的点距离原点更近
D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数
4. 请你写出所有适合下列条件的数，并在数轴上表示出来.
小于4的正整数
大于－3的负整数
大于－3且不大于4的整数
5.大小比较,用＜把它们都连起来.
⑴ 3.6与 -2.5； ⑵ -3,14 与-π；
⑶ -6与 -1.6； ⑷-3, -2.3, -3.2；
⑸ , .
第二章 有理数及其运算
2. 数 轴
一、学生起点分析
一方面，小学里已经接触到在“射线”上用点来表示数和读出或写出“射线”上的点所表示的数，对数与点的这种对应关系有了初步的了解，上一节课又学习了有理数的概念，为数轴概念的建立和进一步学习数轴上的点与有理数的对应关系积累的必要的学习经验，具备了“表示”的基本技能和基本方法,这是学生的知识技能基础.
从另一方面看,日常生活中常见的用温度计度量温度，用弹簧称（刻度在直线上）称重量等，都已为学生学习数轴概念打下了生活经验基础,是学生便于理解数轴概念.
二、学习任务分析
本节课要求学生掌握数轴三要素,会画数轴，准确说出数轴上的点表示的有理数、并把每一个有理数用数轴上的点表示出来；并会借助数轴功能来比较有理数的大小。数轴概念是中学数学中数形结合的起点，数形结合是帮助学生理解数学、学好数学的重要思想方法.从现在开始，在教学与学习中更应该提醒学生注重数形结合是数学教学与学习的重要指导思想，本章后面的有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的，由此可见这一课时学生学好数轴概念的重要性.
数轴是用“长度”度量各类量的抽象，日常生活中常见的用温度计度量温度，用弹簧称（刻度在直线上）称重量等，都已为学生学习数轴概念打下了基础.本节是初步理解数形结合的思想方法，通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础．为此，本节课的教学目标是：
1、知识与技能:①掌握数轴的三要素，会画数轴； ②会指出数轴上的点表示的有理数；并能把有理数在数轴上用点准确的表示出来； ③数轴上点的大小关系，能利用数轴比较有理数的大小.
2、过程与方法：培养学生的观察、比较、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和动手能力，初步培养学生数形结合的数学思想方法和意识.
3、情感与态度：通过数轴与生活实物对应对比，激发学生兴趣，通过规范画图，培养学生细致准确习惯，扶植勇于探究的精神.
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：①情境导入、适时点题 ； ②问题探究、
形成策略 ； ③动手操作、探索新知； ④小试牛刀、 自我检测 ； ⑤快乐课堂 、
思维晋级；⑥师生归纳，布置作业。
第一环节 情景导入，适时点题
活动内容：
1．你能说说什么叫正数，什么叫负数吗？
2．问题1:
（1）温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？
（教师通过课件演示温度计读数,并且让学生回答以下问题：）
（2）温度计上的刻度数有什么特点？你为什么能准确的说出每一个度数？
（3）你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示有理数吗?
（学生自由发言）
活动目的：
创设问题情境,激发学生学习热情,发现生活中的数学.通过问题情景设置, 学生感受到生活中蕴含的数学知识---点与数之间的关系,从而由点题，今天学习的课题《数轴》.
活动的实际效果：
激发了学生学习兴趣,学生对此内容很感兴趣
第二环节 问题探究,形成策略
活动内容一：
1.师生动手画数轴.(边画边强调数轴画法和要点)
数轴三要素: 原点 正方向 单位长度
师: 好像一个平放着的温度计
活动目的：
让学生在操作的基础上归要点,从而得出一条规范的数轴要具有三要素：原点、正方向、单位长度.
活动的实际效果：
学生自由发言,情调要点,规范画法,加深理解.
第三环节 动手操作，探索新知
活动内容：
1.问题1：请你思考： +3，-4，0分别在数轴的什么位置? ，-1.5呢？
2.问题2：指出数轴上 A, B, C, D各点分别表示什么数?
3.问题3：画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
， -3.5， 0， 5， -4，
思考:怎样在数轴上表示一个有理数-4 ? 数轴的作用有哪些？
活动目的：
通过问题驱动探究,寻求策略及解决，得出结论,观察归纳得到正有理数是用原点右边的点表示，负有理数是用原点左边的点表示，0用原点表示.所以任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
问题2是数轴上已知点所表示的有理数，是由“形”到“数”;
问题3是给定的数用数轴上的点来表示，是由“数”到“形”;它们从两个侧面体现出数形结合思想.
思考让学生从理性的角度归纳在数轴上表示有理数大方法，和数轴的作用.
第四环节 小试牛刀，自我检测
活动内容：一组检测题
1.下列各图表示数轴是否正确?为什么?
⑴
⑵
⑶
⑷
2.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数,并说出他们的相反数.
3. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
-4，3.5， -1.5， ，0 ,2.5.
再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行.
活动方式:
学生练习,学生互评,订正强调要点;
归纳出:数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大;
正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
活动目的：
检测学生知识的运用与掌握情况
活动的实际效果：
刚学数轴,强调运用中的规范性准确性；强调错误的认识与体验。
第五环节 快乐课堂,思维晋级
活动内容：
1.问题1： 比较下列每组数的大小，并说明理由.
⑴-2 和 +6；⑵0和 -1.8；⑶和 -4；（4）3.8，-4.1，-3.
2.问题2:写出5个有理数，在数轴上将它们表示出来，并比较它们的大小.
3.问题三: 在数轴上距原点3个单位长度的点表示什么数?与表示数2的点距离3个单位的数是多少?
活动方式:
独立完成,小组合作,交流分享
活动目的：
利用数轴上点的位置来比较两个数的大小是“数形结合”的典型应用，同时也可以借助正负数的大小规律来比较.有意识的渗透数形结合的数学思想。同时注重知识的延伸与拓广,分类思想的渗透.
活动实际效果：
学生通过练习掌握了利用数轴比较数的大小，基本能掌握本节知识。
第六环节 师生归纳,布置作业
活动内容：
问题:本节课你学到的数学知识和数学思想方法有哪些?让学生畅所欲言谈这节课收获.
活动目的：
把所学知识条理化，学生把自己在本节课的收获说出来和大家共享，在知识、能力和情感上都有所发展.
活动实际效果：
通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也有利于培养学生归纳、概括的能力.学生不仅有知识上的收获，而且体会到数学源于生活.
作业: 习题2.2
四、教学反思
本节课采用从生活中的经验引入数学问题,极大地调动了学生探究兴趣,采用学生主动探究数轴的设计画法从而规范数轴三要素,学生的知识发生发展自然合理,易于理解.在例题的解决上注重给与时间和空间,反复训练,注重掌握.注重学生的注重探究欲自主发展,主动的获取知识和技能,观察归纳规律,这样对学生能力的提高非常有帮助.
由于学生刚入初中,对有理数的学习上有一个过程,所以题例设计大致是按从易到难的顺序排列的，面向全体学生，从多个角度.采用多种形式，使不同层次的学生都有所得，并且采用循序渐进的方法，使学生对数轴任意两点之间的大小关系理解进一步的加强以及对相反数概念的理解.在老师的引导下,学生自主提问，互相点评练习解决,以促使更多的学生积极踊跃的参与到教学活动中来，创造一种轻松的学习氛围.这样会促使学生的对数学知识和数学思想方法得到一个较好掌握.
课件11张PPT。第二章 有理数及其运算
2. 数 轴1.回顾:你能说说什么叫正数，什么叫负数吗？ 一、情境导入 适时点题 2. 问题: （1）温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？（2）温度计上的刻度数有什么特点？你为
什么能准确的说出每一个度数？
（3）你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示
有理数吗? 问题1: 你能画一条数轴吗? (师生动手完成) 三要素: 原点, 正方向, 单位长度二、问题探究,形成策略2. 问题2： 请你思考： +3，-4，0分别在数轴的什么位置? ，-1.5呢？例1. 指出数轴上 A, B, C, D各点分别表示什么数?三、动手操作,探索新知2.例2. 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 3/2 ， -5， 0， 5， -4，- 3/2 .问题：请你观察,5与-5有什么相同点与不相
同点？它们在数轴上的位置有什么关系？与1.相反数： 只有 符号 不同的两个数.2.从数轴上看:
相反数位于数轴的 两侧 ,且到原点的距离 相等 .结论:1.下列各图表示数轴是否正确?为什么?四、小试牛刀,自我检测2.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数,并说出他们的相反数. 3. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： -4，3.5， 5/3 -1.5， 0 , 2.5.再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新
排列起来.结论:数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大;
正数大于0,负数小于0,正数大于负数.1.问题1： 比较下列每组数的大小，并说明理由. ⑴-2 和 +6； ⑵0和 -1.8； ⑶-1.5和 -4；（4）3.8，-4.1，-3.五、快乐课堂,思维晋级2.问题2:写出三对非零的相反数，在数轴上将
它们表示出来，并比较其中三个负数的大小.3.问题三: 在数轴上距原点3个单位长度的点
表示什么数?与表示数2的点距离3个单位的
数是多少?六、师生归纳 小结作业1.本节课我学习到了那些数学知识？
2.本节课我学习到了那些数学方法？作业：习题2.2节 谢谢！！！学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.2数轴》 第1课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1：通过温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数；
2：知道数轴上的点和有理数之间的关系，能利用数轴比较有理数的大小。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一、知识导引：
1、观察下面的温度计,读出温度.分别是 °C、 °C、 °C；
2、温度计上的刻度有什么特点？
二、自主学习 ：阅读课本27页，填空：
数轴
1、在直线上取一个点表示0，这个点叫做
2、选取某一长度作为 ，
3、规定直线上向右的方向为 。
例：下列给出的四条数轴，正确的是（ ）
数轴上的点和有理数的关系：
任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
在这条数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，—4可以用位于原点左边4个单位长度的点表示。
你能在上面的数轴上找出，-1.5吗？
例1、如图所示，A、B、C、D、E这5点所表示的数分别是什么？
例2、先画数轴，在数轴上画出表示下列各数的点。
－２，２．５，０，－３，４．
思考：观察以上数轴，数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？
数轴上的点越向右越
即：数轴上两个点表示的数， 边的总比 边的大。
正数大于０，负数小于０，正数大于负数。
完成课本29页随堂练习
完成课本习题2.2第1、2题。
1题：
2题：
看清楚
数轴三要素：
要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素。三者缺一不可。
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数，如π
数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应的点的上面，原点用O标出，它表示数0.数轴上原点的位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上单位长度要一致。
当堂检测
A组：
1、下列说法错误的是：（ ）
A、规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴； B、所有有理数都可以用数轴上的点表示；
C、数轴上的原点表示数0； D、数轴上表示—3.33的点在表示—3的点的左边。
2．下列所画的数轴中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在数轴上表示数－3，0，5，2，的点中，在原点右边的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）
A．b>a>0>c B．a
B组:如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C。
（1）写出A，B，C三点表示的数；
（2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？
作业布置
１、完成课本习题2.2
2、完成《学用通》
§2.2数轴（1）
教学目标
1．使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；
2．使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来；
3．使学生初步理解数形结合的思想方法．
教学重点：初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．
教学难点：正确理解有理数与数轴上点的对应关系．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？
2．用“射线”能不能表示有理数？为什么？
3．你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？
待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴．
二．解疑合探
让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．
与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下(边说边画)：
1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；
2．规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；
3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，…
提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)
在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？
通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展：X|k |b| 1 . c|o |m
例1? 画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
例2? 指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．
课堂练习
说出下面数轴上A，B，C，D，O，M各点表示什么数？
练习设计
1．在下面数轴上：
(1)分别指出表示-2，3，-4，0，1各数的点．
(2)A，H，D，E，O各点分别表示什么数？
2．在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？
3．下列各小题先分别画出数轴，然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点：
(1)｛-5，2，-1，-3，0｝； (2)｛-4，2.5，-1.5，3.5｝；
最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，零用原点表示．
小结
指导学生阅读教材后指出：数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．
本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究．
作业：P39 1、2
板书设计
2．2数轴（1）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
§2.2数轴（2）
教学目标
1．使学生进一步掌握数轴概念；
2．使学生会利用数轴比较有理数的大小；
3．使学生进一步理解数形结合的思想方法．
教学重点：会比较有理数的大小． 教学难点：如何比较两个负数(尤其是两个负分数)的大小．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1．数轴怎么画？它包括哪几个要素？
2．大于0的数在数轴上位于原点的哪一侧？小于0的数呢？
3、利用数轴比较有理数大小？
在温度计上显示的两个温度，上边的温度总比下边的温度高，例如，5℃在-2℃上边， 5℃高于-2℃；-1℃在-4℃上边，-1℃高于-4℃．
下面的结论引导学生把温度计与数轴类比，自己归纳出来：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
二．解疑合探X k b 1 . c o m
通过此例引导学生总结出“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”的规律．要提醒学生，用“＜”连接两个以上数时，小数在前，大数在后，不能出现5＞0＜4这样的式子．
例2? 观察数轴，找出符合下列要求的数：
(1)最大的正整数和最小的正整数；
(2)最大的负整数和最小的负整数；
(3)最大的整数和最小的整数；
(4)最小的正分数和最大的负分数．
在解本题时应适时提醒学生，直线是向两边无限延伸的．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把它们连接起来：
四．运用拓展
1．把下列各组数从小到大用“＜”号连接起来：(1)3，-5，-4；?????? (2)-9，16，-11；
2．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列．
小结
教师指出这节课主要内容是利用数轴比较两个有理数的大小，进而要求学生叙述比较的法则．
作业：
板书设计
2．2数轴（2）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例3、例4
（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
教学后记
利用绝对值的意义解题
绝对值的概念：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|. ??? 如：|-2|表示-2的点到原点的距离.
那么|x|则是在数轴上表示x的点到原点的距离，那么|x-1|呢？在数轴上表示(x-1)的点到原点的距离，但x-1这个数相当于把x这个数减少了一个，在数轴上相当于左移了一个单位，若把点x不动，相当于把原点右移了一个单位，即|x-1|相当于在数轴上表示x的点到表示1的点的两点间的距离.如图所示：
有了这个知识就可解决像|x-1|=2此类问题.
例1 如果|x-1|=2，求x的值.
解：到表示数1的点的距离为2的点.
???
图上的A、B两点都满足等于
∴ x1=3，x2=-1 ?3、例2 如果|x+3|=1，求x的值.
??∵ |x+3|的意义相当于数轴表示x的点到-3的距离（因为|x+3|相当于将x右移3个单位到原点距离或是把原点左移3个单位到x的距离） ??? ∴ 观察数轴即可得到解答：
??? 可见x1=-4，x2=-2
?4、根据“绝对值是非负数，以及几个非负数之和等于零，则第一个数都是零”来解题：
若︱x-2︱+︱ y +3︱=0，求x，y的值．
5、利用绝对值的意义解决生活中的实际问题：
（1）某车间生产一批圆形零件，从中抽取了6个进行检验，比标准直径长的记为正数，比标准直径短的记为负数，检查记录如下：
序号
1
2
3
4
5
6
尺寸
+0.2
+0.3
-0.2
-0.3
+0.4
-0.1
你可以指出哪一个零件好一些吗？
（2）某日上午，出租车司机小李在南北走向的商业大道上运营，如果规定向北为正，向南为负，出租车的行车里程如下(单位：km)：
-17，-4，+13，-10，-12，+3，-13，+15，+20.
若每千米耗油0.2升，则这天上午该出租车共耗油多少升？
含字母的绝对值的讨论
绝对值可以从几何意义和代数意义两个方面去理解.几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离；代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.用式子可以表示为：
无论是绝对值的几何意义还是代数意义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任何有理数，都有，不可能是负数.
因此我们遇到带字母的绝对值问题时，要先判断符号，确定绝对值内的字母是正数、0还是负数.当这个字母的正、负不能确定时，要分类讨论。例如要比较a和2a的大小，由于a的正、负不能确定，故应该分a>0、a=0、a<0这三种情况加以讨论：
当a>0时，2a>a;
当a=0时，2a=a;
当a<0时，2a试着解答下列问题：
1．去掉下列各数的绝对值符号：
(1)若x<0,则|x|=________________；
(2)若a<1,则|a-1|=_______________;
(3)已知x>y>0,则|x+y|=_____________;
(4)若a>b>0,则|-a-b|=_________________.
2．已知|x|=3，|y|=4，求x+y的值．
3．你能说出符合下列条件的字母表示什么数吗?
(1)|a|=a； (2)|a|=-a； (3)=-1； (4)|a|≥a；
4．化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中a<-2.
学法指导
相反数和绝对值是数学的重要基础概念之一,有着广泛的应用．不少学生在学习时觉得不好理解，应用时经常出问题，怎样学习相反数和绝对值呢？
? 一、相反数和绝对值知识点归纳总结
1、相反数的概念：在数轴上，如果两个数所对应的点位于原点的两侧，且与原点的距离相同，我们称其中一个数为另一个数的相反数（opposite number），也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。从形式上来看“两个互为相反数只有符号不同”；
2、?互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数；
3、什么是一个数的绝对值呢？从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。
4、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
? 5、两个负数，绝对值大的反而小。
二、用相反数和绝对值解题
? 1、用相反数和绝对值的概念
? 例1.(重庆市年中考题)? 5的相反数是(??? )
A. -5????????????? B. 5?????? C.??? ????????? D.
? 解析:根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数,易知本题选A
例2.(绵阳市中考题)绝对值为4的实数是
? A.±4??????????????? B. 4??????????????? C. －4??????????????? D. 2
? 解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观，绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数,故本题选A
? 2、用相反数和绝对值的性质特征
? 例3.(佛山市中考题) －2的绝对值是（??? ）。
A．2???????????????? B．－2???????????????? C．±2??????????????? D．
? 解析:由绝对值的特征：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 所以-2的绝对值是2
例4.(济南市中考题)若a与2 互为相反数, 则|a+2|等于(???? )
A. 0??????????????? B. -2??????????????? C.2??????????????? D. 4
? 解析:由相反数的特征若a、b两数互为相反数，则a＋b＝0，反之也成立.可知a+2=0, 再由绝对值的特征可得本题选A
? 3．用相反数和绝对值解决实际问题
? 例5. 质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为－0.2毫米，第三个为－0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？哪一个零件与规定长度的误差最小？
? 解析:? ∵ |－0.2|＞|0.15|＞|0.13|＞|－0.1|
? ∴ 与规定长度的误差最小的是第三个.
? 4．用相反数和绝对值中的数学思想
? 相反数和绝对值的应用十分广泛．因此我们在学习时，不仅应该深入理解概念，掌握特征，灵活运用，还应注意在应用过程中学会思想方法．
（1）整体代换
例6. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围．
? 解析:根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2．
（2）数形结合
例7.(全国初中数学竞赛试题)设x是实数，y＝|x-1|+|x+1|．下列四个结论：
? Ⅰ．y没有最小值； Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；
Ⅲ．有有限多个x(不只一个)使y取到最小值； Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．
其中正确的是 [ ??]．
? A．Ⅰ??????????????? B．Ⅱ??????????????? C．Ⅲ??????????????? D．Ⅳ
? 解析:我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离．类似地可知，|x-a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离．一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解. 原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x到点1与点-1的距离之和为最小．
? 从数轴上可知，区间[-1，1]上的任一点x到点1与点-1的距离之和均为2；区间[-1，1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2．所以函数y＝|x-1|+|x+1|当-1≤x≤1时，取得最小值2． 故选(D)．
? 3．分类讨论
? 例8.（2003年哈尔滨市中考题）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（ ）
? A．5或－5????? B．1或－1 ???????C．5或1 ????????D．－5或－1
? 解析:|x|＝3，|y|＝2，所以x＝±3，y＝±2，又因为xy＜0，x、y异号.
所以有两种情况：（1）当x＝3，y＝－2时，x＋y＝1.
（2）当x＝－3，y＝2时x＋y＝－1.
? 故选B.
? 练习：
1．（玉林市中考题）若-m=4，则m=__________．
? 2. 正式排球比赛，对所使用的排球的重量是有严格规定的。检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表：
?
+15
-10
+30
-20
-40
? 指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题？
? 3. 如图是一个正方体纸盒的侧面展开图，请在其余三个正方形内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数.则①②③表示的数分别为（ ）
?A．－1，－0.5，3 B．－0.5，－1，3 C．－0.5，3，－1 D．3，－0.5，－1
?
? 4．(重庆市初中数学竞赛)已知：a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则(m+n) 2004＝_________.
? 5. (第二届“创新杯”数学邀请赛)若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示, 则|c|-|b-a|+|b+c|等于(? ?????).
?
??? (A)-a????? (B)-a+2b????? (C)-a-2c????? (D)a-2b
? 6．(江苏省初中数学竞赛题)下列说法中，正确的是（??? ）．
? （A）|-a|是正数? （B）|-a|不是负数? （C）-|a|是负数? （D）不是正数
? 7．（全国初中数学联赛试题)已知、都是有理数，且，则是（? ）
A．负数；?????? B.正数；?????????? C.负数或零；??????????? D.非负数.
第3节《绝对值》思维训练
1．︱-︱倒数是______，︱-2︱相反数是______．
2．若a与2互为相反数，则︱a+3︱=_______．
3．实数a在数轴上位置如图所示，则︱a+1︱的结果是_________．
a -1 0 1
4．绝对值等于5的有理数是__________．
5．绝对值最小的数是_____．
6．绝对值大于2小于5的所有整数和为_______．
7．有理数a、b在数轴上位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
b a 0
A.a>b B.b>a C.a>0 D. ︱a︱>︱b︱
8．若a与b 的绝对值分别为2和5，且数轴上a在b 左侧，则a+b的值为________．
9．某车间生产一批圆形零件，从中抽取了6个进行检验，比标准直径长的记为正数，比标准直径短的记为负数，检查记录如下：
序号
1
2
3
4
5
6
尺寸
+0.2
+0.3
-0.2
-0.3
+0.4
-0.1
你可以指出哪一个零件好一些吗？
10．若x>3，则︱x-3︱=_______；若x<3, 则︱x-3︱=_______．
11．若︱x-2︱+︱ y +3︱=0，求x，y的值．
12．计算︱-1︱+︱-︱+︱-︱+…+︱-︱
13．某日上午，出租车司机小李在南北走向的商业大道上运营，如果规定向北为正，向南为负，出租车的行车里程如下(单位：km)：
-17，-4，+13，-10，-12，+3，-13，+15，+20.
若每千米耗油0.2升，则这天上午该出租车共耗油多少升？
第二章 有理数及其运算
3．绝对值
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了有理数，认识了数轴，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。并初步体会到了数形结合的思想方法 。
学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、学习任务分析
1．地位和内容
相反数的概念是学习绝对值知识的基础，绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。
本节课借助数轴引出相反数、绝对值的概念，并通过计算、观察、交流，发现绝对值的性质特征，利用绝对值来比较两个负数的大小。应让学生直观理解绝对值的含义，不要在绝对值符号内部出现多重符号和字母，多鼓励学生通过观察、归纳、验证，加深对绝对值的理解。
2．教学重点和难点
教学重点：理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。
教学难点：利用绝对值比较两个负数的大小。
3. 教学目标
(1)借助数轴，理解绝对值和相反数的概念
(2)知道｜a｜的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。
(3)能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小。
(4)通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：合作交流，探索新知；第三环节：应用迁移，巩固提高；第四环节：总结反思，知识内化；第五环节：当堂检测，及时反馈；第六环节：拓展延伸，能力提升。
第一环节 创设情境，导入新课
活动内容1： 3和-3有什么相同点与不同点？3/2与-3/2，5和-5呢？
活动目的：提供几组数让学生进行比较，从而得出相反数的概念。并让学生理解消化相反数的概念。
活动内容2：点将游戏一。A同学任意说出一个有理数，再随意地点另一个同学B回答它的相反数。B同学回答后，也任意说出一个有理数，再点另一个同学C回答它的相反数……以此类推，约有一半的学生参与后，游戏结束。
活动目的：利用游戏的形式巩固相反数的概念。
活动内容3：将上面三组数用数轴上的点表示出来，每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系？
活动目的：从形的角度进一步理解相反数。
实际效果：通过数、游戏、形多个方面让学生认识相反数，学生很快理解相反数，全体学生都能顺利的说出一个数的相反数。
第二环节 合作交流，探索新知
活动内容：让学生观察图画，并回答问题，“两只狗分别距原点多远?”
引入绝对值概念
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数a的绝对值记作│a│．如│+3│=3，│-3│=3，│0│=0．
2．例1 求下列各数的绝对值：
- 7.8， 7.8， - 21， 21，-，， 0
(学生充分思考后，让学生回答，老师板书)
3．议一议：（1）互为相反数的两个数的绝对值有什么关系?
（2）一个数的绝对值与这个数有什么关系?
(给学生充分的时间思考、探究，老师个别指导；然后小组交流) 4．通过上面例子，引导学生归纳总结出： 互为相反数的两个数的绝对值相等．正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.) 5．点将游戏二．A同学任意说出一个有理数，再随意地点另一个同学B回答它的绝对值。B同学回答后，也任意说出一个有理数，再点另一个同学C回答它的绝对值……以此类推，约有一半的学生参与后，游戏结束。
6．“做一做”： (1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小： -1.5，-3，-1，-5； (2)求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小； (3)你发现了什么? (老师可引导学生多举一些例子，让学生合作讨论后得出：两个负数比较大小，绝对值大的反而小)
活动目的：让学生在有趣的问题情境中获取对绝对值概念的感性认识，并激发学生学习的积极性与主动性。应用绝对值的概念来求一个数的绝对值，并通过对计算结果的观察与思考，学生从“特殊到一般” 归纳出互为相反数的两个数的绝对值相等，分类归纳出绝对值的代数意义，总结出绝对值的内在涵义，体现学生的主体性。探索用绝对值比较两负数的方法，体验概念的形成过程。用点将游戏的形式巩固绝对值概念，寓教于乐。
实际效果：用点将游戏的形式巩固绝对值概念，效果良好，体现了“自主——协作”学习。积极调动学生的思维，使学生在协商、讨论中将问题逐渐明朗化、具体化，在共享集体思维成果的基础上达到对当前所学内容比较全面、正确的理解。
第三环节：应用迁移，巩固提高
活动内容：
例2 比较下列每组数的大小： (1)-1和-5；(2) 和-2.7。
(给学生充分的时间思考、探究不同解法，并评价不同方法之间的差异。)
随堂练习：
1.在数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是 ，也就是说绝对值等于2的数是 .
2. 在数轴上表示下列各数，并求它们的绝对值：
，6 ，-3 ， ；
3.比较下列各组数的大小： (1) (2)
(3) (4) 4.下面的说法是否正确？请将错误的改正过来.
（1）有理数的绝对值一定比0大；
（2）有理数的相反数一定比0小；
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等.
活动目的：对本节知识进行巩固训练，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。通
过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝试评价两种不同方法之间的差异。
实际效果：通过以上题组训练，学生对本节知识有了更深一步的理解，并进一步明确了绝对值的内涵与意义，解决问题的能力得到了大大提高。
第四环节：总结反思，知识内化
活动内容：总结：1.本节学习的数学知识；2.本节学习的数学方法。
(老师可先鼓励学生描述出自己的认识与收获，然后再作进一步归纳总结。)
反思：两个负数比较大小，方法有几种？请举例说明。
活动目的：通过对绝对值定义，代数意义及数学思想方法的归纳总结，充分发挥学生的自主归纳能力，使学生能够系统的、完全的理解知识点。并明确在数学思想和方法的指导下，运用数学方法解决数学问题的重要性。在反思与拓展中使学生的认识得到经一步升华。?
实际效果：学生能够互相点评，共同归纳，并做进一步反思，这样既发展了学生自主学习能力，又强化了协作精神，同时使知识得到了进一步完善与升华。
第五环节：当堂检测，及时反馈
1. │-5│= , │+3│= ，│0│= .
2.一个数的绝对值是它本身,那么这个数一定是 .
3.用“>、<、=”填空：│+8│ │-8│ , -5 -8.
4.如果一个数的绝对值等于 4，那么这个数等于 .
5.绝对值小于3的整数有 个,分别是 .
活动目的：体现“三回应”的原则，回应目标，回应过程，回应重点。旨在落实基础，巩固学习效果，同时通过反馈情况改进今后的教学。
第六环节：拓展延伸，能力提升
1、 某日上午，出租车司机小李在南北走向的商业大道上运营，如果规定向北为正，向南为负，出租车的行车里程如下(单位：km)：
-17，-4，+13，-10，-12，+3，-13，+15，+20.
若每千米耗油0.2升，则这天上午该出租车共耗油多少升？
2、已知：│x-2│+│y-3│=0，求3x+4y的值。
活动目的：教学有弹性、有梯度,体现“不同的人学习不同的数学”的理念
3、布置作业
必做题：
习题2.3，知识技能第２，３，４，5题．
选做题：
若 则a 0;
若 则a 0.
四、教学反思
本节课设计了一个两只动物离原点距离的问题情境，使本节课一开始就充满趣味，让学生产生强烈的好奇心，进而积极主动地投入到学习之中，然后安排同学做互动游戏，给同学们创造了很好的学习氛围，激发了同学们参与学习的积极性，使原本难以理解的绝对值概念变得简单；另外，在整节课中我还给学生提供了很多探索问题的时间和空间、合作交流的时间和空间，并让学生自己归纳和总结获得新知识，锻炼了学生有条理地表达自己的思想以及在与他人交流中学会表达自己思想的能力。 一个数的绝对值实质上是数轴上该数所对应的点到原点的距离的数值，而这种几何解释反映了概念的本质，学生在对概念理解的基础上，最后再概括上升到形式定义上来，这样比较符合从感性认识上升到理性认识的规律，同时使得绝对值概念的非负性具有较扎实的基础。在传授知识的同时，一定要重视学科基本思想方法的教学，如果把数学思想和方法学好了，在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能逐步形成和发展学生的数学能力。?
在小组讨论之前，教师应该留给学生充分的独立思考的时间，并对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
课件16张PPT。第三节 绝对值北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算观察下图,回答问题:两只狗在数轴上的位置有什么关系？ 在数轴上，如果两个数所对应的点位于原点的两侧， 且与原点的距离相同，我们称其中一个数为另一个数的相反数（opposite number），也称这两个数互为相反数.特别地，0的相反数是0.点将游戏1A同学任意说出一个有理数，再随意地点另一个同学B回答它的相反数。B同学回答后，也任意说出一个有理数，再点另一个同学C回答它的相反数……观察下图,回答问题:两只狗分别
距原点多远?-3所对应的点与原点的距离是33所对应的点与原点的距离是3绝对值： 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数 的绝对值记作：│ │
│+3│=3│-3│=3│0│=0-3的绝对值呢？0的绝对值呢？“+3的绝对值等于3”用数学符号表示为：例1、求 下 列 各 数 的 绝 对 值 ：
- 7.8， 7.8， - 21， 21，- ， ， 0解： | -7.8 | = 7.8；议一议：互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？
一个数的绝对值与这个数有什么关系?
| 7.8 | = 7.8；| - 21| = 21 ；| 21 | = 21 ；| - | = ；| | = ；| 0 | = 0．我发现：互为相反数的两个数的绝对值相等.
正数的绝对值是它本身; 负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.点将游戏2A同学任意说出一个有理数，再随意地点另一个同学B回答它的绝对值。B同学回答后，也任意说出一个有理数，再点另一个同学C回答它的绝对值……( 1 )在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小；
- 1.5 ， - 3 ， - 1 ， - 5 ;
( 2 ) 求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大
小；
（ 3 ）你发现了什么？做一做:解法一（利用绝对值比较两个负数的大小）解:(1) ∵ | -1| = 1， | -5 | = 5 ，
1﹤5，
∴ - 1＞ - 5 .（2）∵ | - | = ， |- 2.7| =2.7，
﹤2.7，
∴ - ﹥-2.7例2 比较下列每组数的大小:
（1） -1和 –5； （2）- 和- 2.7 .相信自己一定能行！试一试解法二 （利用数轴比较两个负数的大小）如图
因为- 5在–1左边,所以 - 5﹤ - 1 ；因为- 2.7在 - 的左边，所以- 2.7﹤ -2.在数轴上表示下列各数，并求它们的绝对值：, 6 , -3 ,3.比较下列各组数的大小:（1） （2）
（3） （4）1.在数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是___，
也就是说绝对值等于2的数是___ .随堂练习：４.下面的说法是否正确？请将错误的改正过来.
（1）有理数的绝对值一定比0大；
（2）有理数的相反数一定比0小；
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等.随堂练习：小 结：绝对值 ：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值. 正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的相反数;
0 的绝对值是 0.
互为相反数的两个数的绝对值相等.会用绝对值比较两个负数的大小：
两个负数，绝对值大的反而小.这节课你学到了什么？2.一个数的绝对值是它本身,那么这个数一定是
__________________。 5.绝对值小于3的整数有___个,分别是 ______________.
4.如果一个数的绝对值等于 4，那么这个数等于__________. 3.用“>、<、=”号填空
│+8│ │-8│ , -5 -8.当堂检测：1. │-5│= , │+3│= ，│0│= .拓展延伸： 1、 某日上午，出租车司机小李在南北走向的商业大道上运营，如果规定向北为正，向南为负，出租车的行车里程如下(单位：km)：
-17，-4，+13，-10，-12，+3，-13，+15，+20.
若每千米耗油0.2升，则这天上午该出租车共耗油
多少升？2、已知：│x-2│+│y-3│=0，求3x+4y的值。作 业：必做题：
习题2.3，知识技能第２，３，４，5题．
选做题：
若 则a 0;
若 则a 0.学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.3绝对值》 第1课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1：知道相反数的概念，知道两个互为相反数的数在数轴上的位置关系，给出一个数能求出它的相反数。
2：知道绝对值的意义，会求一个数的绝对值
3：会利用绝对值比较两个数的大小。
4：学习数形结合、分类讨论的数学思想方法
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
1．创设情景，导入新课
1、下列各数中：
+7，-2，，-8?3，0，+0?01，-，1，哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?
正数_____________________________
负数_____________________________
非负数_____________________________
2.合作探究
1、相反数概念及求相反数
规定向东走为正，那么小明向东走了3米，记为： 小华向西走了3米，记为： 。运用“数形结合”思想，请把这两个数在数轴上表示出来。
我们发现：3与－3只有符号不同，从数轴上看，它们位于原点的两侧，且到原点的距离 。（填“相等”或“不相等” ）那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是 。
练习：
1、2的相反数是： ， －3相反数是： ，0的相反数是 ， 的相反数是4， 的相反数是－5
2、－（－4）= ，+（－2）=
－（+2．8）= ，+（+3）=
根据相反数的定义：只有 不同的两个数，叫做互为相反数，
2、绝对值概念及绝对值
两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米?这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了
我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向?当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)?这里的5叫做+5的绝对值，记作|+5|=5，
4叫做-4的绝对值，记作|-4|=4，
在数轴上，一个数所对应的点与__________________叫做这个数的绝对值。
求下列各数的绝对值
-21 ， ， 0 ， -7.8 ， 21?
由学生自己归纳出：
一个正数的绝对值是_____________
一个负数的绝对值是____________；
0的绝对值是__________
在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：
⑴ -1.5， -3， -1， -5
⑵求出⑴中各数的绝对值，并比较它们的大小：
⑶你发现了什么？
两个负数比较大小，________________________
例2 比较下列每组数的大小
⑴ -1和-5 ⑵和-2.7 ⑶ 和
不要忘了数轴的三要素哦。
求一个数的相反数时，就是要在它的
前面加“—”但遇到多重符号时要化简，化简时只需要考虑负号的个数。
参看课本30页
这是绝对值的代数定义
比较两个分数的大小，先通分再比较。
当堂检测
1、下列哪些数是正数? -2，，，，-，-（-2），-
2、在括号里填写适当的数：
=( )； =( )； -=( )； -=( )； =0； -=-2?
3、填空：
(1)+3的符号是_____，绝对值是______；(2)-3的符号是_____，绝对值是______；
(3)-的符号是____，绝对值是______；(4)10-5的符号是_____，绝对值是______?
2、填空：
(1)符号是+号，绝对值是7的数是________；(2)符号是-号，绝对值是7的数是________；
(3)符号是-号，绝对值是0.35的数是_____；(4)符号是+号，绝对值是1的数是________；
3、(1)绝对值是的数有几个?各是什么?
(2)绝对值是0的数有几个?各是什么?
(3)有没有绝对值是-2的数?
4、6.比较下列各组数的大小： (1) (2)
(3) (4)
作业布置
１、完成课本习题2.3
2、完成《学用通》
§2.3绝对值（1）
教学目标
1、使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法；
2、使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关的简单计算；
3、在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力?
教学重点和难点 正确理解绝对值的概念? 教学方法三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1．创设情景，导入新课
1、复习引入
1、下列各数中：
+7，-2，，-8?3，0，+0?01，-，1，哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?
2、什么叫做数轴?画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：
-3，4，0，3，-1?5，-4，，2?
2．学生设疑
例、两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米?这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了
我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向?当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)?这里的5叫做+5的绝对值，4叫做-4的绝对值?
现在我们撇开例题的实际意义来研究有理数的绝对值，那么，
+5的绝对值是5，在数轴上表示+5的点到原点的距离是5；
-4的绝对值是4，在数轴上表示-4的点到原点的距离是4；
0的绝对值是0，表明它到原点的距离是0?
一般地，一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离?
为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值?约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值?如|+5|、|-5|
二．解疑合探
利用数轴求5，3?2，7，-2，-7?1，-0?5的绝对值?
由学生自己归纳出：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0?
这也是绝对值的代数定义?把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达?
把文字叙述语言变换成数学符号语言，这是一个比较困难的问题，教师应帮助学生完成这一步?
1、用a表示一个数，如何表示a是正数，a是负数，a是0?
由有理数大小比较可以知道：
a是正数：a＞0;a是负数:a＜0;a是0:a=0
2、怎样表示a的本身,a的相反数?
a的本身是自然数还是a.a的相反数为-a.
现在可以把绝对值的代数定义表示成
如果a＞0，那么=a；如果a＜0，那么=-a；如果a=0，那么=0?
由绝对值的代数定义，我们可以很方便地求已知数的绝对值了?
例4 求8，-8，，-，0，6，-π，π-5的绝对值?w w w .x k b 1.c o
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展：
课堂练习
1、下列哪些数是正数? -2，，，，-，-（-2），-
2、在括号里填写适当的数：
=( )； =( )； -=( )； -=( )； =1， =0； -=-2?3、填空：
(1)+3的符号是_____，绝对值是______；(2)-3的符号是_____，绝对值是______；
(3)-的符号是____，绝对值是______；(4)10-5的符号是_____，绝对值是______?
2、填空：
(1)符号是+号，绝对值是7的数是________；(2)符号是-号，绝对值是7的数是________；
(3)符号是-号，绝对值是0?35的数是________；(4)符号是+号，绝对值是1的数是________；
3、(1)绝对值是的数有几个?各是什么?
(2)绝对值是0的数有几个?各是什么?
(3)有没有绝对值是-2的数?
小结
指导学生阅读教材，进一步理解绝对值的代数和几何意义?
作业
板书设计
2．3绝对值（1）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
教学后记
§2.3绝对值（2）
教学目标
1、使学生进一步掌握绝对值概念；
2、使学生掌握利用绝对值比较两个负数的大小；
3、注意培养学生的推时论证能力?
教学重点和难点 负数大小比较??
教学方法 三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
①、计算：|+1?5|；|-|；|0|? ②、计算：|-|;|--|.
2．学生设疑
①、比较-(-5)和-|-5|，+(-5)和+|-5|的大小?
②、哪个数的绝对值等于0?等于?等于-1?
③、绝对值小于3的数有哪些?绝对值小于3的整数有哪几个?
④、a，b所表示的数如图所示，求|a|，|b|，|a+b|，|b-a|?
⑤、若|a|+|b-1|=0，求a，b?
3、归纳总结
利用数轴我们已经会比较有理数的大小?
由上面数轴，我们可以知道c＜b＜a，其中b，c都是负数，它们的绝对值哪个大?显然＞引导学生得出结论：
两个负数，绝对值大的反而小?
(这样以后在比较负数大小时就不必每次再画数轴了)?
二．解疑合探
例1 比较-4与-|—3|的大小?
例2 已知a＞b＞0，比较a，-a，b，-b的大小?
例3 比较-与-的大小?
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展：
课堂练习
1、?比较下列每对数的大小：
与；|2|与；-与；与?
-与-；-与-；-与-；-与-?
2、?判断下列各式是否正确：
(1)|-0?1|＜|-0?01|； (2)|- |＜； (3) ＜； (4)＞-?
3、?比较下列每对数的大小：
(1)-与-；(2)-与-0?273；(3)-与-；
(4)- 与-；(5)- 与-；(6)- 与- w w w .x k b 1.c o
4、?写出绝对值大于3而小于8的所有整数?
5、?你能说出符合下列条件的字母表示什么数吗?
(1)|a|=a； (2)|a|=-a； (3)=-1； (4)a＞-a；
(5)|a|≥a； (6)-y＞0； (7)-a＜0； (8)a+b=0?
6?若|a+1|+|b-a|=0，求a，b?
小结
先由学生叙述比较有理数大小的两种方法——利用数轴比较大小；利用绝对值比较大小，然后教师引导学生得出：比较两个有理数的大小，实际上是由符号与绝对值两方面来确定?学习了绝对值以后，就可以不必利用数轴来比较两个有理数的大小了?
作业
板书设计
2．3绝对值（2）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
教学后记
能力提高
1．用“＞”或“＜”号填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b ______0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b ______0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b ______0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b ______0．
2．分别根据下列条件，利用|a|与|b|表示a与b的和：
(1)a＞0，b＞0；????????????????????????????? (2) a＜0，b＜0；
(3)a＞0，b＜0，|a|＞|b|；???????????????? (4)a＞0，b＜0，|a|＜|b|．
3. 有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值为（ ）
A 正数 B 负数 C 零 D 无法确定
4. 两个有理数相加，如果和小于每一个加数，那么这两个数 （ ）
A 同为正数 B 同为负数 C 一个为0，一个为负数 D 一正一负
5. 两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（ ）
A 同为正数 B 同为负数 C 一正一负 D 至少有一个数为0
6. 、b是符号相异的有理数，计算。
7. 下表是国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）
城市
时差
东京
+1
纽约
-13
巴黎
-7
（1）若现在是北京时间9：30，那么纽约的时间是 ；
（2）若小天在北京给远在东京的叔叔打电话，他打电话的时间是北京时间13：00，则叔叔接电话的时间是东京时间 。
数学符号的创用
在古代，无论是埃及、希腊，还是我国都没有系统地运用数学符号．数学命题和各种定义、定理、法则靠语言和文字来表述，而不是用数学符号．所以古代数学和现代数学相比，这种叙述显然十分冗长和烦琐．
文艺复兴时期前后，由于东、西方数学的汇合，以及人们对数学的认识加深，逐渐产生了数学符号．现代人们通用的一些数学符号，大多数是在14～17世纪间逐渐被人们所选定运用．符号的创用是数学史上的一件大事，符号不仅能帮助人快速思维，而且还能以极其精炼的形式克服一般语言中容易出现岐义的现象．
“十”号的创造者是15世纪德国数学家魏得美，他在一条横线上加一竖，表示增加．“一”号的创造者也是这位数学家，他从加号中减去竖，表示减少．“X”号创造者是17世纪数学家奥特雷德．“X”号的意思是表示增加的另一种方法，即把加号斜过写．“÷”号的创造者是18世纪的瑞士人哈纳．它的含义是分解的意思，即用一条横线把两个圆分开．“＝”号的创造者是16世纪英国数学家莱克得．他认为世界上再也没有比两条平行而又相等的直线相同的了，所以用它来表示相等．除此以外，乘号“．”、除号“：”是由德国数学家莱布尼兹在17世纪末期创用，幂是由法国数学家笛卡尔在1637年创造．平方根是由德国数学家鲁道夫1525年创造并使用．各种类型的括号大约都是在16～17世纪初起用的．上述数学符号大都在19世纪60年代才传人我国．
第二章 有理数及其运算
4．有理数的加法（一）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过算术四则运算，而初中的有理数运算是以小学算术四则运算为基础的，不同的是有理数运算多了一个符号问题。符号法则是有理数运算法则的重要组成部分，也是学生学习本章知识和今后学习其他与计算有关的内容时容易出错的知识点之一。
学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些数学活动，感受到了数的范围的扩大，能借助生活经验对一些简单的实际问题进行有理数的运算，如计算比赛的得分，计算温差等等。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定数学交流的能力。
学生学习中的困难预设：学生学习数学是一种认识过程，要遵循一般的认识规律，而七年级的学生，对异号两数相加从未接触过，与小学加法比较，思维强度增大，需要通过绝对值大小的比较来确定和的符号和加法转化为减法两个过程，要求学生在课堂上短时间内完成这个认识过程确有一定的难度，在教学时应从实例出发，充分利用教材中的正负抵消的思想，用数形结合的观点加以解释，让学生感知法则的由来，以突破这一难点。
二、教学任务分析
对于有理数的运算，首先在于运算的意义的理解，即首先要回答为什么要进行运算。为此，必须让学生通过具体的问题情境，认识到运算的作用，加深学生对运算本身意义的理解，同时也让学生体会到运算的应用，从而培养学生一定的应用意识和能力。教科书基于学生学习了相反数和绝对值基础之上，提出了本课时的具体学习任务：探索有理数的加法运算法则，进行有理数的加法运算。本课时的教学重点是有理数加法法则的探索过程，利用有理数的加法法则进行计算，教学难点是异号两数相加的法则。教学方法是“引导——分类——归纳”。本课时的教学目标如下：
1.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则；
2.能熟练进行整数加法运算；
3.培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；
4.渗透分类、探索、归纳等思想方法，使学生了解研究数学的一些基本方法。
三、教学过程设计
本课时设计了六个教学环节：第一环节：复习引入，提出问题；第二环节：活动探究，猜想结论；第三环节：验证明确结论；第四环节：运用巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
（一）复习引入，提出问题
活动内容:
1.复习提问：
（1）下列各组数中，哪一个较大？
（2）一位同学在一条东西方向的跑道上，先向东走了20米，又向西走了30米，能否确定他现在的位置位于出发点的哪个方向，与原来出发的位置相距多少米？若向东记为正，向西记为负，该问题用算式表示为 。
活动目的：我们已经熟悉正数的运算，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。这里先让学生回顾在具体问题中感受正数和负数的加法运算。
2.提出问题：
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分.
如果我们用1个表示+1，用1个，那么就表示0，同样也表示0.
(1)计算（-2）+（-3）.
在方框中放进2个和3个：
因此，（-2）+（-3）= -5.
用类似的方法计算（2）（-3）+ 2
（3） 3 +（-2）
（4） 4+（-4）
思考： 两个有理数相加，还有哪些不同的情形？举例说明。
引导学生列举两个正数相加，如3 + 2，一个数和零相加，如0+（-4），4 + 0。
活动目的：通过实际问题情境类比列出两个有理数相加的7种不同情形，两个正数相加、两个负数相加，异号两数相加（根据绝对值又可分为三类）、一个加数为0。进而讨论如何进行一般的有理数加法的运算。
活动的实际效果: 实际问题情境为学生营造了良好的学习氛围，利于他们积极探究.
（二）活动探究，猜想结论：
上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？
学生分组进行活动，教师关注学生在活动中的表现，可以根据学生的实际情况给予适当点拨和引导，鼓励学生大胆发表自己的意见，最后形成统一的认识。
对“一起探究”，教师可引导学生按以下步骤思考：
1、观察列出的具体算式，根据两个加数的符号分类：两个正数相加、两个负数相加，异号两数相加（根据绝对值又可分为三类）、一个加数为0。
2、同号两数相加时，和的符号与两个加数的符号有怎样的关系？和的绝对值和加数的绝对值有怎样的关系？异号两数相加时和的符号与两个加数的符号有怎样的关系？和的绝对值和加数的绝对值有怎么样的关系？有一个加数为0时，和是什么？
3、从中归纳概括出规律
在学生探究的基础上，教师引出规定的加法法则。
在活动中，尽可能让学生独立完成，必要时可以交流，教师只在适当的时候给予帮助。
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
活动目的：利用分组讨论、分类归纳帮助学生理解加法运算过程，同时有利于加法运算法则的归纳。
活动的实际效果:由于采用了图示的教学手段，在教师的引导下让学生分类观察，发现规律，用自己的语言表达规律，最后由学生对规律进行归纳总结补充，从而得出有理数的加法法则.通过实际问题情境，让学生亲身参加了探索发现，获取知识和技能的全过程。理解有理数加法法则规定的合理性，培养了学生的分类和归纳概括的能力。
（三）验证明确结论：
例1 计算下列算式的结果，并说明理由：
(1) 180 +(-10)；????? (2) (-10)+(-1)；???
（3）5+（-5）； （4） 0+（-2）
活动目的：给学生提供示范，进行有理数加法，可以按照“一观察，二确定，三求和”的步骤进行，一观察是指观察两个加数是同号还是异号，二确定是指确定“和”的符号，三求和是指计算“和”的绝对值．
活动的实际效果:通过习题，加深了学生对有理数加法法则的理解。
（四）运用巩固：
活动内容:
1． 口答下列算式的结果
(1) (+4)+(+3)；?? (2) (-4)+(-3)；???? (3) (+4)+(-3)；??? (4) (+3)+(-4)；
(5) (+4)+(-4)；?? (6) (-3)+0；??????? (7) 0+(+2)；?????? (8) 0+0．
活动目的：通过这组练习，让学生进一步巩固有理数加法的法则，达到熟练程度。
2．请同学们完成书上的随堂练习：
(1)(-25)+(-7)；??? (2)(-13)+5；? ? (3)(-23)+0； （4）45+（-45）
全班学生书面练习，四位学生板演，教师对学生板演进行讲评．
活动目的：习题的配备上，注意到学生的思维是一个循序渐进的过程，所以由易到难，使学生在练习的过程中能够逐步地提高能力，得到发展。
活动的实际效果: 通过练习进一步熟悉有理数的加法法则。通过口答、演排纠错，活跃课堂气氛，充分调动学生的积极性，学生在一种比较活跃的氛围中，解决各种问题。
（五）课堂小结：
活动内容:师生共同总结。
1. 两个有理数相加，“一观察，二确定，三求和”，即首先判断加法类型，再确定和的符号，最后确定和的绝对值
2. 有理数加法法则及其应用。
3. 注意异号的情况。
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的。
活动的实际效果: 学生对“一观察，二确定，三求和”的步骤印象较深，达到了本节课的教学目标。
（六）布置作业：
1.课本习题 2.4 1、2、3、4、5、 6
2.拓展练习：
(1)(-0.9)+(-2.7)；??????? (2)3.8+(-8.4)；???????? (3)(-0.5)+3；
(4)3.29+1.78；??????????? (5)7+(-3.04)；????????? (6)(-2.9)+(-0.31)；
(7)(-9.18)+6.18；???????? (8)4.23+(-6.77)；?????? (9)(-0.78)+0．
四、教学设计反思
本节课是在前面学习了有理数的意义的基础上进行的,运用数形结合的思想，探索出有理数加法法则。在法则的应用这一环节我又选配了一些变式练习,通过书上的基本练习达到训练双基的目的,通过变式练习达到发展智力、提高能力的目的。
“有理数加法法则”的教学，可以有多种不同的设计方案．大体上可以分为两类：一类是较快地由教师给出法则，用较多的时间(30分钟以上)组织学生练习，以求熟练地掌握法则；另一类是适当加强法则的形成过程，从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力，相应地适当压缩应用法则的练习，如本教学设计．
现在，试比较这两类教学设计的得失利弊．
第一种方案，教学的重点偏重于让学生通过练习，熟悉法则的应用，这种教法近期效果较好．
第二种方案，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程，主动获取知识．这样，学生在这节课上不仅学懂了法则，而且能感知到研究数学问题的一些基本方法．这种方案减少了应用法则进行计算的练习，所以学生掌握法则的熟练程度可能稍差，这是教学中应当注意的问题．但是，在后续的教学中学生将千万次应用“有理数加法法则”进行计算，加法的训练则贯穿在今后的教学活动中进行。故这种缺陷是可以得到弥补的．第一种方案削弱了得出结论的“过程”，失去了培养学生观察、比较、归纳能力的一次机会．权衡利弊，我们主张采用第二种教学方法。
课件14张PPT。第四节 有理数的加法（一）第二章 有理数及其运算（1）下列各组数中，哪一个较大？
一、情境引入，提出问题：（2）一位同学在一条东西方向的跑道上，先向东走了20米，又向西走了30米，能否确定他现在的位置位于出发点的哪个方向，与原来出发的位置相距多少米？若向东记为正，向西记为负，该问题用算式表示为 。
1.复习提问2.提出问题计算 (1) （-2）+（-3）用类似的方法计算（2） （-3）+ 2 用类似的方法计算（3） 3 +（-2） 用类似的方法计算（4） 4+（- 4） 思考：
两个有理数相加，还有哪些不同的情形？
同号两数相加（1）（-2）+（-3）= -5 ；
（2） 3 + 2 = 5 异号两数相加（3）（-3）+ 2 = - 1；
（4） 3 +（-2）= 1 ；
（5） 4+（- 4）= 0 请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗？结果的符号怎么定？绝对值怎么算？一数和零相加： （6） 0 +（- 4）= - 4
（7） 4 + 0 = 4
思考：
两个有理数相加，有哪些不同的情形？
1.同号两数相加，取相同的符号，并把
绝对值相加。
2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；
绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，
并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.一个数同零相加，仍得这个数。有理数加法法则例1.计算下列各题：
（1）180+（-10） （2）（-10）+（-1）
（3）5+（-5） （4）0+（-2）
解：（1）180+（-10）=+（180-10） =170 （2）（-10）+（-1）= -（10+1）= -11（异号两数相加）（取绝对值较大的加数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值） 例题讲解（同号两数相加）（取相同的符号，并把绝对值相加） （3）5+（-5）=0（互为相反数的两数相加）（4）0+（-2）=-2（一个数和0相加）1． 口答下列算式的结果.
(1) (+4)+(+3)；?? (2) (-4)+(-3)；????
(3) (+4)+(-3)；??? (4) (+3)+(-4)；
(5) (+4)+(-4)；?? (6) (-3)+0；?????
(7) 0+(+2)；?????? (8) 0+0．我会算2．请同学们完成书上的随堂练习.
( 1 ) (-25)+(-7)；??? ( 2 ) (-13)+5；? ?
( 3 ) (-23)+0； （4 ） 45+（-45）1.两个有理数相加，”一观察，二确定，三求和”首先观察判断加法类型，再确定和的符号，最后求和的绝对值
2. 有理数加法法则及其应用。
3. 注意异号的情况。归纳小结 布置作业习题2.4 第 1、2、3、4、5、6题.
拓展练习：
(1)(-0.9)+(-2.7)；??????? (2)3.8+(-8.4)；???????? (3)(-0.5)+3；
(4)3.29+1.78；???????????(5)7+(-3.04)；????????? (6)(-2.9)+(-0.31)；
(7)(-9.18)+6.18；??????? (8)4.23+(-6.77)；??? (9)(-0.78)+0．谢 谢！拓展资源
计算：（-1）+2+（-3）+4+（-5）+6+…+2010+（-2011）
趣味填数
将1-9这9个数字填入9个圆圈中，使每个三角形和直线上的3个数字之和相等。
提示：大胆尝试：冷静思考是解题的法宝。想一想9个数的和是多少，那么三角形的三个顶点上数之和是多少？一条直线上三数之和是多少？不妨将1放到最上面的圆圈内。这条直线可能怎样填……
答案： 1 1
5 6
9 8
4 3 4
3 7 2
6 8 5 9
2. （2007湖南邵阳）观察下列等式
，，，
将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出： ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ．
（3）探究并计算：
．
解：（1）－
（2）
（3）原式＝（－＋－＋－＋┉＋－）＝×（－）
＝
第二章 有理数及其运算
4．有理数的加法（二）
一、学生起点分析
学生在小学学过加法运算，知道加法的交换律和结合律，学生在上一课时已经探索总结出了有理数的加法法则，并进行了一定量的练习，但熟练程度还不够，并且对过去的加法交换律和结合律是否对有理数适用未进行探讨。
二、教学任务分析
和有理数的加法法则一样，有理数加法运算律的得出也是要学生自主探索，同时通过具体运算体会运算律对计算的简便之处。本课时教学重点是有理数加法运算律，并能运用加法运算律简化运算；教学难点是灵活运用运算律简化运算。具体教学目标如下：
知识与技能：
进一步熟练掌握有理数加法的法则；
掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算。
过程与方法：
启发引导式教学，能够由特殊到一般、由一般到特殊，体会研究数学的一些基本方法。
情感、态度与价值观：
1．培养学生的分类与归纳能力。
2．强化学生的数形结合思想。
3．提高学生的自学以及理解能力，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入，提出问题；第二环节：活动探究，猜想结论；第三环节：验证明确结论；第四环节：运用巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
（一）情境引入，提出问题
活动内容:
1．叙述有理数的加法法则．
2．计算并比较每组的两个算式的结果：
（1）（-8）+（-9），（-9）+（-8）；
（2） 4 +（-7）,(-7) + 4；
（3）[2+(-3)]+(-8), 2+[(-3)+(-8)]；
(4) [10+(-10)]+(-5),10+[(-10)+(-5)]。
活动目的：复习旧知识，为新的知识内容做准备。
活动的实际效果: 学生知道了小学的加法运算和有理数加法运算的联系与区别：进行有理数加法运算，先要根据具体情况正确地选用法则，确定“和”的符号，这与小学里学过的数的加法是不同的，而计算“和”的绝对值，用的是小学里学过的加法或减法运算；同时巩固了有理数的加法运算。
（二）活动探究，猜想结论
活动内容:通过上面练习，引导学生得出：
交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．
用代数式表示：a + b = b + a．
运算律式子中的字母a、b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．
结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用代数式表示：(a + b) + c = a +(b + c)．
这里a、b、c表示任意三个有理数．
活动目的：通过特例归纳有理数的加法交换律、结合律。
活动的实际效果: 让学生自己总结，参与教学活动，从而使学生积极主动地学习，并且营造了良好的学习氛围.
（三）验证明确结论
活动内容:
例1 计算：（1）16+(-25)+24+(-32)． （2）31 +（-28）+ 28 + 69
解：（1） 16+(-25)+24+(-32)
=16+24+(-25)+(-32)??????????????? (加法交换律)
=（16+24）+[(-25)+(-32)]???????? (加法结合律)
=40+(-57)???????????????????????? (同号相加法则)
=-17??????????????????????????????(异号相加法则)
（2）31 +（-28）+ 28 + 69
=31 + 69 + [（-28）+ 28 ] （加法交换律和结合律）
=100+0
=100
提出问题引起学生反思：此题你是抓住数的什么特点使计算简化的？依据是什么？
引导学生发现，在本例（1）中，把正数与负数分别结合在一起再相加，计算比较简便．
在本例（2）中，把互为相反数的两个数结合在一起，计算比较简便．
总结常用的三个规律：
1、 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。
2、有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。
3、有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。
活动目的：体会加法运算律对运算的简化作用，并且根据加法交换律和结合律可以推出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加．
活动的实际效果: 本例先由学生在笔记本上解答，然后教师根据学生解答情况指定几名学生板演，并引导学生发现，简化加法运算一般是三种方法：消去互为相反数的两数(其和为0)、同号结合或凑整数．
例2.有一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10听样品进行检测，结果如下表（单位：克）
听号
1
2
3
4
5
质量
444
459
454
459
454
听号
6
7
8
9
10
质量
454
449
454
459
464
这10听罐头的总质量是多少？
解法一：这10听罐头的总质量为
444+459+454+459+454+454+449+454+459+464
=4550(克)
解法二：把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示，列出10听罐头与标准质量的差值表（单位：克）：
听号
1
2
3
4
5
与标准质量的差值
-10
-5
0
+5
0
听号
6
7
8
9
10
与标准质量的差值
0
-5
0
+5
+10
这10听罐头与标准质量差值的和为
（-10）+ 5 + 0 + 5 + 0 + 0 +（-5）+ 0 + 5 + 10
=[(-10)+10]+[(-5)+5]+5+5=10(克)
因此，这10听罐头的总质量为
454×10 + 10 = 4540 + 10 = 4550（克）
活动目的：通过这个应用题，让学生初步体会有理数加法运算律对加法运算的简便作用，同时让学生感受解决问题的方法的多样性。
活动的实际效果:加法运算怎么由繁到简？“解法二”让学生感到很新奇，同时为今后平均数、数据的处理的学习奠定了基础。
（四）运用巩固
活动内容:
1.完成书上随堂练习：(要求注理由)
(1)（-3）+ 40+（-32）+(-8)；?
(2) 13 +(-56)+47+(-34)；
(3) 43+(-77)+27+(-43)．
2.某潜水员先潜入水下61米，然后又上升32米，这时潜水员处在什么位置？
3.有5筐蔬菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：+3，-6，-4，+2,-1,总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？
活动目的：通过习题，加深学生对有理数加法运算律的理解。
活动的实际效果: 教师指定4名学生板演练习1，第2、3两题分别指定两名学生板演，并引导学生发现解题过程中出现的问题，及时解决。
（五）课堂小结
活动内容:请同学们谈一谈这节课的体会和收获。
1、通过具体有理数的计算，把加法运算律从非负数范围扩大到有理数的范围。
2、掌握加法运算律的法则及公式，并适当的运用运算律进行简化计算。
3、有理数加法解决实际问题，体会求简意识。
（六）布置作业
课本习题2.5： 1、2、3、4、5、6、7.
四、教学设计反思
1. 课堂上应当把更多的时间留给学生
在课堂教学中应当把更多时间交给学生。本节课中有理数运算律的探究，例题的讲解，习题的完成，知识的总结尽可能的全部由学生完成，教师所起的作用是点拨，评价和指导。这样做，可以更好的体现以学生为中心的教学思想，能更好的提高学生的综合能力。
2．不要忽视代数推理对学生的思维训练作用
我们一向会错误地认为，推理训练是几何教学的目的，代数可以不讲推理．其实，计算本身就是推理，计算法则、运算性质都是进行计算的根据．学生要知道每进行一步运算都要有根有据．这样通过运算就能逐步培养学生的逻辑思维能力．
课件12张PPT。有理数的加法(二)第二章 有理数及其运算1. 叙述有理数的加法法则． 2 ．计算并比较每组的两个算式的结果：
（1）（-8）+（-9），（-9）+（-8）；
（2） 4 +（-7）, (-7) + 4；
（3）[2+(-3)]+(-8), 2+[(-3)+(-8)]；
(4) [10+(-10)]+(-5),10+[(-10)+(-5)]。
复习引入小学学过的加法的运算律是不是也可以扩充到有
理数范围？有理数的加法中，两个数相加，交换加数的
位置和不变。加法交换律：a+b=b+a有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，
或者先把后两个数相加，和不变。加法的结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
解（1） 16+(-25)+24+(-32)
=16+24+(-25)+(-32)??????? (加法交换律)
=（16+24）+[(-25)+(-32)]?(加法结合律)
=40+(-57)???????????????????????? (同号相加法则)
=-17??????????????????????????????(异号相加法则)例1 计算
（1）16+(-25)+24+(-32)．
（2）31 +（-28）+ 28 + 69（2）31 +（-28）+ 28 + 69=31 + 69 + [（-28）+ 28 ] （加法交换律和结合律 ）=100+0=100常用的三个规律：1、 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。
2、有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。
3、有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。
此题你是抓住数的什么特点使计算简化的？
依据是什么？例2.有一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10听样品进行检测，结果如下表（单位：克）这10听罐头的总质量是多少？解法一：这10听罐头的总质量为
444+459+454+459+454++454+449+454++459+464
=4550(克)解法二：把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示，列出10听罐头与标准质量的差值表（单位：克）：这10听罐头与标准质量差值的和为
（-10）+ 5 + 0 + 5 + 0 + 0 +（-5）+ 0 + 5 + 10
=[(-10)+10]+[(-5)+5]+5+5=10(克)
因此，这10听罐头的总质量为
454×10 + 10 = 4540 + 10 = 4550（克）1. 计算：(要求注理由)
(1)（-3）+ 40+（-32）+(-8)；?
(2) 13 +(-56)+47+(-34)；
(3) 43+(-77)+27+(-43)． ．2.某潜水员先潜入水下61米，然后又上升32米，这时潜水员处在什么位置？ 3.有5筐蔬菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：+3， -6，-4，+2, -1, 总计超过或不足多少千克？
5筐蔬菜的总重量是多少千克？本节小结：
1、通过具体有理数的计算，把加法运算律从非负数
范围扩大到有理数的范围。
2、掌握加法运算律的法则及公式，并适当的运用运
算律进行简化计算。
3、有理数加法解决实际问题，体会求简意识。本节课你学到了什么? 布置作业
习题2.5： 1、2、3、4、5、6、7.
谢 谢！学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2..4.1有理数的加法》 第1课时
编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1．经历探索有理数加法的法则，通过探索以及与同学之间的交流，总结出有理数加法法则，并能熟练利用有理数的加法法则解决有关运算问题。
2．能够由特殊到一般，总结出有理数的加法法则，注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力。
3．在独立思考的基础上，能积极主动的与同学交流、讨论，认识到通过类比、归纳可以获得数学猜想；能用文字清楚的表达自己解决问题的过程，并能解释所得结果的意义。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一：导入新课：
1、正有理数及0的加法运算，小学已经学过，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。
例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数。如果，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球.于是红队的净胜球数为 4＋（－2）蓝队的净胜球数为 1＋（－1）。
这里用到正数和负数的加法。那么，怎样计算4＋（－2）呢
2、水下记为负，一艘潜艇在水下20米，过了一段时间又下潜了15米，现在潜艇在水下 米，你是怎么知道的？能用一个算式表示吗？ .
又该怎样计算呢？下面我们一起借助数轴来讨论有理数的加法。
二：合作探究
1、概念探究：
（1）把笔尖放在原点处，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用算式表示以上过程及结果。
算式：________________________
（2）把笔尖放在原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用算式表示以上过程及结果。
算式：________________________
再做一些类似的活动，并写出相应的算式。
2.议一议
两个有理数相加，和的符号怎样确定？
和的绝对值怎样确定？
一个有理数和零相加，和是多少？
3．师生共同归纳出有理数加法法则：
同号两数相加，_________________________
异号两数相加，绝对值相等时，_________________________
绝对值不等时，_________________________
一个数与0相加，_________________________
三、例题分析：
口答下列各题
(1)(+4)+(+7)；???? (2)(-4)+(-7)；??????(3)(+4)+(-7)；??????
(4)(+9)+(-4) (5)(+4)+(-4)；????? (6)(+9)+(-2)；?????
(7)(-9)+(+2)；?????(8)(-9)+0； (9)0+(+2)；????????
例1、计算：
（1）（－180）+（+20） （2）（—15）+（—3）
（3）5+（—5） （4）0+（—2）
四、展示交流：
1、（1）（—7）+10 （2）（—21）+（—8）
（3）（+15）+（+20） （4）（+5）+（—26）
（5）（—7.8）+7.8 （6）0+（—15）
2、利用有理数加法解下列各题：
（1）某天早晨的气温是－5℃，到了中午升高了7℃，求中午的温度。
（2）某升降机第一次上升6米，第二次下降5米，这时：
①升降机在初始位置的上方还是下方，相距多少米？
②升降机共运行了多少米？
3、（ ）+（ ）=1
思考：在有理数范围内，和一定比加数大吗？举例说明。
创设情境，引出本节课主题。
学生观察、思考、讨论、交流得出有理数加法法则
参照课本35页
说明：在讲解此例时要重视学生的思维过程，首先应搞清两个加数的符号关系，应采用哪一条运算法则，应强调解法的多样性，不要强行引导学生套用法则。
当堂检测
1. _____+(?2)= ?5, (?)+ =______, (?2.4)+ 2=_______
(?89)+ (?7)=______, 3+(?12)=_______, (?2.3)+3.2=________
－3+〔－(+ )〕=______, 0+(－1－8.21)=________
2.已知两数19，?27这两个数和的绝对值是_____,绝对值的和是______.
3.想一想，绝对值小于4的所有整数的和是_________________________.
4.某一条河第一天水位涨了9cm，第二天水下降了12cm,则最后水位涨了____cm
5.一只蚂蚁从O点出发，在一条直线上爬行（向东规定为正），先想向西爬行了2m，反过来向东爬行4m，又向西爬行了7m，此时这只蚂蚁距离O点有多远？在O点什么方向？
6．用“＞”或“＜”号填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b ______0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b ______0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b ______0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b ______0．
作业布置
１、完成课本习题2.3
2、完成《学用通》
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.4.2有理数的加法》 第2课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1、会运用有理数加法的运算律进行简便运算。
2、理解有理数加法的现实意义，会进行有理数的连加运算。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一、自主探究
在小学里我们知道，数的加法满足交换律。例如：有7+8=8+7，还满足结合律，例如：有（7+8）+92=7+（8+92），引进了负数后这些运算律是否还成立呢？
1.计算下列各题：
（1）、（－8）+（－9）= ； （－9）+（－8）=
（2）、4+（－7）= ； （－7）+4= ；
（3）、〔2+（－3）〕+（－8）= ； 2+〔（－3）+（－8）〕= ；
（4）、10+〔（－10）+（－5）〕= ； 〔10+（－10）〕+（－5）= ；
2.任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列△和○内，并比较两个运算结果。
（1）△+○=______ （2）○+△=______
3. 任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列△、○和□内，并比较两个运算结果。
（1）（△+○）+□=________ （2）△+（○+□）=________
小学已经学过的加法交换律与结合律在有理数范围内
有理数的加法交换律、结合律（用字母表示）
交换律：
结合律：
二、例题分析：
例1：(1) 31+（－28）+28+69 （2）（－23）+（+58）+（－17）；
（3）（－2.8）+（－3.6）+（－1.5）+3.6 （4）+（－ ）+（－）+（+）
例2：有一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10听样品进行检测，结果如下表：
听号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量
444
459
454
459
454
454
449
454
459
464
这10听罐头的总质量是多少？
例3、10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2，－4，2.5，3，－0.5，1.5，3，－1，0，－2.5
问：这10筐苹果总共重多少？
三、展示交流：
1、P38 随堂练习：
（1） （2） （3）
2、
3、一位同学在写字时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数据，判断墨迹盖住的整数之和为
4、+(?)++(?)++(?)++(?)
5、10袋小麦称重记录如下所示，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．总计是超过多少千克或不足多少千克？ 10袋小麦的总重量是多少？
+7 ，+5 ， －4， +6， +4， +3 ，－3 ，－2 ，+8 ，+1
四、提炼总结：
1.加法运算律在有理数范围内仍然成立
2.怎样进行有理数的简便运算？
（1）和为0的加数放在一起相加
（2）和为整数的加数放在一起相加
（3）同号的数（或绝对值相近的异号两数）放在一起相加
（4）同分母的放在一起相加
注意有理数加法的运算步骤：
1、观察；
2、确定；
3、求和。
（要求用简便方法计算，并简单口述算理）
温馨提示：有理数加法常用的简便方法：首先消去互为相反数的两数(其和为0)，同号结合，凑整数，同分母放在一起相加。
这是一个实际问题，如何把这个实际问题抽象成数学问题呢？让学生之间相互讨论、研究，然后选取两种不同的计算方法（①写出每筐原来的质量，然后相加；②先将上述数相加，再加上300千克……）
当堂检测
1.计算：(要求注理由)
（1）23+（－17）+6+（－22） （2）（－8）+10+2+（－2）
（3）（－4）+（－3）+4+3 （4）(－8)+10+2+(－1)?
（5）5+(－6)+3+9+(－4)+(－7) （6）(－0.8)+1.2+(－0.7)+(－2.1)+0.8+3.5
2．飞机的飞行高度是1000米，上升300米，又下降500米，这时飞行高度是多少？
3．存折中有450元，取出80元，又存入150元以后，存折中还有多少钱？
4．一天早晨的气温是－7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少？
5．小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈余为正)：
128.3元，－25.6元，－15元，27元，－7元，36.5元，98元，一周总的盈亏情况如何？
作业布置
１、完成课本习题2.5
2、完成《学用通》
§2.4有理数的加法（1）
教学目标
1．使学生掌握有理数加法法则，并能运用法则进行计算；
2．在有理数加法法则的教学过程中，注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力．?
教学重点和难点
重点：有理数加法法则． 难点：异号两数相加的法则．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、创设情景，导入新课
1．复习引入
前面我们学习了有关有理数的一些基础知识，从今天起开始学习有理数的运算．这节课我们来研究两个有理数的加法．
2．学生设疑
两个有理数相加，有多少种不同的情形？
为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：
足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”．比如，赢3球记为+3，输2球记为-2．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：
(1)上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么全场共赢了5球．也就是
(+3)+(+2)=+5．?????????????????????????????????????????????????????????????????? ①
(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是
(-2)+(-1)=-3．????????????????????????????????????????????????????????????????????? ②
现在，请同学们说出其他可能的情形．
答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是
(+3)+(-2)=+1；??????????????????????????????????????????????????????????????????? ③
上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是
(-3)+(+2)=-1；???????????????????????????????????????????????????????????????????? ④
上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是
(+3)+0=+3；??????????????????????????????????????????????????????????????????????? ⑤
上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是
(-2)+0=-2；
上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是
0+0=0．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ⑥
上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在我们大家仔细观察比较这7个算式，看能不能从这些算式中得到启发，想办法归纳出进行有理数加法的法则？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？
这里，先让学生思考2～3分钟，再由学生自己归纳出有理数加法法则：
1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
3．一个数同0相加，仍得这个数．
二．解疑合探
例1? 计算下列算式的结果，并说明理由：
(1)(+4)+(+7)；???? (2)(-4)+(-7)；?????? (3)(+4)+(-7)；?????? (4)(+9)+(-4)；
(5)(+4)+(-4)；????? (6)(+9)+(-2)；?????? (7)(-9)+(+2)；?????? (8)(-9)+0；
(9)0+(+2)；???????? (10)0+0．
学生逐题口答后，教师小结：
进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．
解：(1)? (-3)+(-9)???????????? (两个加数同号，用加法法则的第2条计算)
=-(3+9)????????????????? (和取负号，把绝对值相加)
=-12．
下面请同学们计算下列各题：
(1)(-0.9)+(+1.5)；??? (2)(+2.7)+(-3)；?? (3)(-1.1)+(-2.9)；
全班学生书面练习，四位学生板演，教师对学生板演进行讲评．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展：
1．引导学生自编习题。
2、小结
这节课我们从实例出发，经过比较、归纳，得出了有理数加法的法则．今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题．
应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事．
3、作业
1．计算：
(1)(-10)+(+6)；????? (2)(+12)+(-4)；???? (3)(-5)+(-7)；???? (4)(+6)+(+9)；
(5)67+(-73)；???????? (6)(-84)+(-59)；??? (7)33+48；???????? (8)(-56)+37．
2．计算：
(1)(-0.9)+(-2.7)；?????????? (2)3.8+(-8.4)；??????????????? (3)(-0.5)+3；
(4)3.29+1.78；?????????????? (5)7+(-3.04)；???????????????? (6)(-2.9)+(-0.31)；
(7)(-9.18)+6.18；?????????? (8)4.23+(-6.77)；??????????? (9)(-0.78)+0．
4*．用“＞”或“＜”号填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b ______0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b ______0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b ______0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b ______0．
4、板书设计
2．4有理数的加法（1）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
教学后记
§2.4有理数的加法（2）
教学目标
1．使学生掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算；
2．培养学生观察、比较、归纳及运算能力．?
教学重点和难点
1．重点：有理数加法运算律．
2．难点：灵活运用运算律使运算简便．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1．复习引入
①．叙述有理数的加法法则．
②．“有理数加法”与小学里学过的数的加法有什么区别和联系？
③．计算下列各题，并说明是根据哪一条运算法则？
(1)(-9.18)+6.18；?????????????? (2)6.18+(-9.18)；????? (3)(-2.37)+(-4.63)；
2．计算下列各题：
(1)[8+(-5)]+(-4)；? (2)8+[(-5)+(-4)]；? (3)[(-7)+(-10)]+(-11)；
(4)(-7)+[(-10)+(-11)]；? (5)[(-22)+(-27)]+(+27)；
(6)(-22)+[(-27)+(+27)]．
3、自探
通过上面练习，引导学生得出：
交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．
用代数式表示上面一段话：
a+b=b+a．
运算律式子中的字母a，b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．
结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用代数式表示上面一段话：
(a+b)+c=a+(b+c)．
这里a，b，c表示任意三个有理数．
二．解疑合探
根据加法交换律和结合律可以推出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加．
例1? 计算16+(-25)+24+(-32)．
引导学生发现，在本例中，把正数与负数分别结合在一起再相加，计算就比较简便．
解：16+(-25)+24+(-32)
=16+24+(-25)+(-32)??????????????? (加法交换律)
=[16+24]+[(-25)+(-32)]?????????? (加法结合律)
=40+(-57)?????????????????????????????? (同号相加法则)
=-17．??????????????????????????????????? (异号相加法则)
本例先由学生在笔记本上解答，然后教师根据学生解答情况指定几名学生板演，并引导学生发现，简化加法运算一般是三种方法：首先消去互为相反数的两数(其和为0)，同号结合或凑整数．
例2、10袋小麦称重记录如图所示，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．
总计是超过多少千克或不足多少千克？ 10袋小麦的总重量是多少？
教师通过启发，由学生列出算式，再让学生思考，如何应用运算律，使计算简便．
解：7+5+(-4)+6+4+3+(-3)+(-2)+8+1
=[(-4)+4]+[5+(-3)+(-2)]+(7+6+3+8+1)
=0+0+25=25．
90×10+25=925．
答：总计是超过25千克，总重量是925千克．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展
1．计算：(要求注理由)
(1)23+(-17)+6+(-22)；? (2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；
(3)(-7)+(-6.5)+(-3)+6.5．
2．计算：(要求注理由)
作业：P51 1、2、3、4
板书设计
2．4有理数的加法（2）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
教学后记
数轴上任意两点间的距离公式
（2002南京中考数学试题）阅读下列材料：点A、B在数轴上分别表示数a和b，A、B两点之间的距离为。
当A、B两点有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1， ；当A、B两点都不在原点，如图2，点A、B都在原点的右边，；
如图3，点A、B都在原点的左边， ；如图4， A点和B点在原点的两边， 。
综上所述，数轴上A、B两点之间的距离。
回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
数轴上表示x与-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 。
有理数的减法
l．有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的___________，用字母表示成：_______________________________
2．下列括号内应填什么数?
(1)(-2)-(-5)=(-2)+(______)； (2)0-(-4)=0+(______)；
(3)(-6)-3=(-6)+(______)； (4)1-(+37)=1+(______)．
3．温度3℃比-7℃高_______；温度-8℃比-2℃低_______．海拔-200m比300m高________；从海拔250m下降到100m，下降了________．
4．
全国主要城市天气预报
城市
高温
低温
温差
城市
高温
低温
温差
哈尔滨
13
－2
?
乌鲁木齐
－4
－9
?
西宁
－2
－7
?
银川
0
－5
?
昆明
17
5
?
贵阳
7
－8
?
5．下列说法中错误的是…………………………………………………………………〖 〗
A．减去一个负数等于加上这个数的相反数 B．两个负数相减，差仍是负数
C．负数减去正数，差为负数 D．正数减去负数，差为正数
6．下列说法中正确的是…………………………………………………………………〖 〗
A．减去一个数等于加上这个数 B．两个相反数相减得O
C．两个数相减，差一定小于被减数 D．两个数相减，差不一定小于被减数
7．下列说法正确的是……………………………………………………………………〖 〗
A．绝对值相等的两数差为零 B．零减去一个数得这个数的相反数
C．两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减 D．零减去一个数仍得这个数
8．差是-7.2，被减数是0.8，减数是…………………………………………………〖 〗
A．-8 B．8 C．6.4 D．-6.4
9．若，且，则是………………………………………………〖 〗
A．正数 B．正数或负数 C．负数 D．0
10.若│a│=5，│b│=3且a>b，则a-b=（ ）
A．2或8 B．-2或-8 C．-5或-3 D．±3或±8
11.a，b在数轴上位置如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A．-a+b<0 B．-a-b>0 C．a+b<0 D．a-b<0
12.若两个有理数的差是正数，那么（?? ）
A. 被减数是负数，减数是正数???????? B. 被减数和减数都是正数
C. 被减数大于减数?????????????????????????? D. 被减数和减数不能同为负数
13. 当x<0，y>0时，则x，x＋y，x－y，y中最大的是（?? ）
A. x????????????????????? B. x＋y???????????????? C. x－y???????????????? D. y
14.若a是有理数，则一定是（ ）
A．正数 B.负数 C.零 D.非负数
15.已知，则的值等于（ ）
A.－12 B.－2 C.－2或－12 D.2
16.计算
(1)(-5)-(-3)； (2)0-(-7)； (3)(+25)-(-13)； (4)(-11)-(+5)； (5)12-21；
(6)-1.7-2.5； (7)； (8) （9）[(-5)-(-8)]-(-4)
（10）(2)3-[(-3)-10]．
17.已知a=1，b=-2，c=-3，求（1）-a-b （2）b-│c│．
18.全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分.游戏结束时，各组的分数如下：
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
100
150
－400
350
－100
（1）第一名超出第二名多少分？
（2）第一名超出第五名多少分？
；
19.在下表的空格内填入适当的数，使表中各横行四个数之和与各竖列的四个数之和均相等.
-1
-14
-1
12
-5
6
10
16
ll
-13
20.有依次排列的3个数：3、9、8，对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后，也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8.继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
【解】：第一次操作以后所产生的新数串的所有数之和为25,比原数串的所有数之和20大5,
第二次操作以后所产生的新数串的所有数之和为30, 比第一次操作以后所产生的数串的所有数之和大5,……,可以知道从数串3，9，8开始操作100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是20+5×10=520.
（点拨：先求出前几个数串的和，然后寻找出规律）
21.已知︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3，求a－b的值
有理数及其运算
5．有理数的减法
一、学生起点分析
有理数的减法运算是一种基本的有理数运算，对今后正确熟练地进行有理数的混合运算，并对解决实际问题都有十分重要的作用。学生对减法运算并不陌生，但在小学阶段多是一种技能性的强化训练，学生对此缺乏理性的认识，很多时候减法仅作为加法的逆运算而存在．因此在教学中一方面要利用这些既有的知识储备作为知识生长的“最近发展区”来促进新课的学习，另一方面要通过具体情境中减法运算的学习，让学生体会减法的意义．
学生的知识技能基础：本节课是在学习了正负数、相反数、有理数的加法运算之后学习的新内容。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些数学活动，解决了一些简单的实际问题，感受到了有理数运算的必要性与作用，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、学习任务分析
“数的运算”是“数与代数”学习领域的重要内容，减法是其中的一种基本运算．本课的学习远接小学阶段关于整数、分数（包括小数）的减法运算，近承第四节有理数的加法运算．通过对有理数的减法运算的学习，学生将对减法运算有进一步的认识和理解，为后继诸如实数、复数的减法运算的学习奠定了坚实的基础。鉴于以上对教学内容在教材体系中的位置及地位的认识和理解，确定本节课的教学目标如下：
三、教学目标：
知识目标?
??1．理解掌握有理数的减法法则．?
??2．会进行有理数的减法运算．?
能力目标
通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想．?
2．通过有理数减法法则的推导，发展学生的逻辑思维能力．?
3．通过有理数的减法运算，培养学生的运算能力．?
（三）情感目标：
在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习．
为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：有理数的减法法则的理解和运用．教学难点是：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题．
四、学法引导?：
教学方法：教师尽量引导学生分析、归纳总结，以学生为主体，师生共同参与教学活动．?
学生学法：探索新知→归纳结论→练习巩固．?
3．教学重点、难点、疑点及解决办法?
重点：有理数减法法则和运算．?
?难点：有理数减法法则的推导．?
师生互动活动设计?
教师提出实际问题，学生积极参与探索新知，教师出示练习题，学生以多种方式讨论解决．?
五、教学过程设计：
（一）创设情境，引入新课?
1.计算（口答）
?(1)7＋（－3）；????????(2)－3＋（－7）；??
??(3)?－10＋（＋3）；????(4)?＋10＋（－3）．
2.用算式表示下列情境．
先请同学读出右图的第一支温度计所示温度．学生口答为?5℃，现上升15℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到20℃处停止．学生通过观察口答表示这一情境的算式：5＋15=20（此举进一步揭示加法在实际中的应用）．
第二支温度计上温度为15℃，现下降10℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到5℃处停止．学生通过观察回答用加法表示这一情境的算式：15＋（－10）=5．你能从图中观察出15℃比5℃高多少吗？你是怎样得出结论的？能用算式表示吗？得：15－5=10．这是一个小学里就已经学过的减法问题．
再观察第三支温度计，它显示的温度是－10℃，现上升15℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到5℃处停止．学生通过观察回答表示这一情境的算式：
（－10）＋15=5；温度又从5℃下降到－10℃（继续演示动画），你能从图中看出哪个温度更高些吗？高多少？你是怎样得出这个结论的？能用算式表示吗？
学生讨论后，尝试给出算式5－（－10）=？是15吗？这个算式该如何计算呢？这就是我们今天要学的内容．
这是一个具体实例，教师创设问题情境，激发学生的认知兴趣，渗透了数形结合的思想，把具体实例抽象成数学问题，从而点明本节课的课题――有理数的减法．
【教法说明：1题既复习巩固有理数加法法则，同时为进行有理数减法运算打基础．2题是一个具体实例，创设问题情境，激发学生的认知兴趣，把具体实例抽象成数学问题，从而点明本节课课题—有理数的减法．】?
（二）师生共同探索新知?
活动内容：通过对温度计的观察，计算温差，感知有理数减法法则。
问题1：你能从温度计上看出4℃比－3℃高多少摄氏度吗？
先请同桌两位同学相互讨论交流，然后请2~3个学生发言．
问题2：如何计算4－（－3）呢？
先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数－减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差＋减数=被减数·
如：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4.
即X+（－3） =4，因为7+（－3） =4，所以4－（－3） =7
减法????????????????????????? 加法 （+4）-（-3）=+7?????????? (+4)+(+3)=+7 ?让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：
（+4）-（-3）=(+4)+(+3)??
再给出以下算式：
?减法??????? 加法
?(+5)-（+2）=+3?????? （+5）+（-2）=+3 ?继续让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：
?(+5)-（+2）=（+5）+（-2）
问题3：请同学们想一想，4十？=7?
请学生回答，教师板书：4＋（＋3) = 7，用彩色粉笔在4－（－3）与4十（＋3)处画出着重号．引导学生观察4＋（＋3)=7与4－（－3)=7，从而提出猜想“减去一个数与加上这个数的相反数是相等的”：
4-（－3）=4＋（＋3）．
这时教师问：你发现这个等式有什么特点？
学生回答后，示意再换几个数试一试，并请学生分组合作计算、交流：
（1）把4换成0，－1，－5，得0－（－3），（－5）－（－3），（－5）一（－3），这些数减（－3）的结果与它们加（＋3）的结果相同吗？
（2）计算9－8，9＋（一8），15一7，15＋（一7），你发现了什么？
请小组代表全班汇报，教师在此基础上归纳：
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
问题4：你能够用字母把法则表示出来吗？
a－b=a＋（－b）?(说明：简明的表示方法，体现字母表示数的优越性实际运算时会更加方便）
强调运用法则时：被减数不变，减号变加号，减数变成其相反数 ? 减数变号（减法============加法）
活动目的：《标准》中明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．基于以上理念，结合本节课内容及学生情况，教学设计中采用“引导——发现法”组织教学．其基本程序设计为：创设情境——提出猜想——探索验证——总结归纳——反馈运用．
上述教学程序的实施很大程度上有赖于学生的学习，因此对学生学习方式的指导是十分重要的．本节课应鼓励和引导学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习，让学生亲历从列举特例到归纳（不完全归纳）出一般的减法法则的全过程，体验知识产生和发展的全过程．
教学要求与效果：通过学生的合作探讨，培养学生与他人合作交流的习惯与意识，改变他们的学习方式，争取让他们的学习方式，争取让每个学生都在同伴的交流中获益。此处也是让学生验证前面所提的猜想的正确性，用字母把减法法则表示出来，有利于学生的理解和记忆。
应用举例，变式练习
活动内容：?让学生完成课本P63的练习1，巩固有理数减法法则的运用，强化学生对这节课的掌握。例1，例2口答，例3题请2个学生上黑板板演。对回答好的同学给予表扬肯定，如果有错误，请其他同学纠正。
?例1．计算 :(1)?? (-3)-（-5）;??? （2） 0 - 7 ?例2．计算（1） 7.2 - (-4.8) ；???? (2)? (-3 －2 ) - 5
例3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？
活动目的：通过例题教学使学生巩固方法，初步具备解决问题的能力。讲解时注意让学生复述有理数法减法则，加深学生对法则的认识，并注意归纳有理数减法的规律，而不机械地将减法转化成加法，为今后进一步学习减法运算逐步省略化成加法的中间步骤作准备。渗透化归的思想：让学生归纳一些运算的规律、特征，有利于提高学生的运算能力。补充例题的作用在于让学生体会减法在实际生活的应用。让学生感受8848米这个高度，培养学生的数感。
（四）尝试反馈，巩固练习
??教科书第49页练习题1、2
??学生活动：1题找学生口答，2题指名学生板演，其他同学做在练习本上．
活动目的：学生对有理数减法法则已经熟悉，学生在做练习时，要引导学生注意归纳有理数减法规律，而不要只是简单机械地将减法化成加法，为以后逐步省略化成加法的中间步骤做准备．】
我编你答．
应用课件随机出题，学生抢答.
活动目的：教师与学生以平等身份参与教学，放手让学生自己编拟有理数减法的题目，其目的是让学生巩固已学知识．这样做，一方面可以活跃学生的思维，培养学生的表达能力．另一方面通过出题，相互解答，互相纠正，能增强学生学习的主动性和参与意识．同时，教师可以获取学生掌握知识的反馈信息，对于存在的问题及时回授．
课堂小结?
????通过本节课学习你学到了什么？?
小结强调：有理数减法法则是一个转化法则，要求同学们掌握并能应用其计算．对于小学不能解决的2－5这类不够减的问题就不成问题了．也就是说，在有理数范围内，减法总可能实施．
（六）布置作业??
????习题1.6第1、2、3题中的奇数题；第4、5题中的偶数题 ????课后完成：习题1.6第1、2、3题中的偶数题；第4、5题中的奇数题
设计说明
??? 本案例从数学知识的形成过程设计问题，使得学生的认知能力与知识的形成不分离，达到结伴而行的目的。主要方法与效果有以下几点：
（1)以问题情境为导引。为学生提供丰富的感性材料，这有助于学生积极参与，调动学生的积极性，树立学习的自信心。
（2）调动学生动手实验，动脑思考，教学中很多知识的形成要借助于数学实验来发现。
（3)让学生主动参与探索。学生的数学学习往往是现实的、有趣的、富有挑战性的，他们通过对教师设置问题的研究，积极探究发现，动脑猜想、归纳、证明，从而理解有理数的减法法则，使学生的探究能力得到提高。
课件19张PPT。第二章 有理数及其运算
第5节 有理数的减法 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.(3) 一个数与0相加，仍得这个数.
复习计算（1） 1 + 6 =
（2）（–2）+（–8） =
（3） （–9）+ 10 =
（4） 5 + （–9） =
（5） （–2.2）+ 2.2 =
（6） 6 + 0 =
（7） 0 + （–8） =7–101–46–8 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.0全国北方主要城市天气预报2004年某月某日84合作探究问题1：问题1：3-（-3）=你是怎么计算出来的呢？根据小学里讲的：减法是加法的逆运算可得
3-（-3）的结果就是求什么数加上-3等于3？+6+6合作探究试一试：请根据提供的式子完成下列问题(-3)+（+10）= +7（ –2 ）+ （–8）=-10②（–10）–（–8）=①（+7）-（+10）=-3-2③（+7）+（-10）=④（–10）+（+8）=-3-2合作探究比一比，议一议算式①和②是什么运算？等式③和④是又是什么运？结果怎样？
于是：这两个等式有
什么特点？从
等式中同学们
对减法运算有
什么认识？算式左边是减法
运算；算式右边
是加法运算；减法
运算可以转化为
加法运算合作探究我来说：我是这样进行减法计算的有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数注意：减法在运算时有 2 个要素要发生变化。1 减 加
2 减数 相反数 a–b=a+(–b)1. 下列括号内各应填什么数？
（1）（-2）-（-3）=（-2）+（ ）；
（2） 0 - （-4）= 0 +（ ）；
（3）（-6）- 3 =（-6）+（ ）；
（4） 1-（+39）= 1 +（ ）
试一试例1 计算下列各题：
（1）(-3) -（-5） （2） 0-7
（3）7.2-(-4.8) （4）（2）原式=0+(-7)
=-7解:（1）原式= (-3)+5
=2减去7等于加上 7 的相反数。（3）原式 = 7.2+4.8=12（4）原式 =减去（-5）等于加上 -5 的相反数。我最行！口算：（看谁算得快）
（1）3 – 5 ； （2）3 – （ – 5）；
（3） – 3 – 5； （4）（ – 3） – （- 5）；
（5）–6 –（ –6）； （6） – 7 – 0；
（7）0 – （ –7） ； （8 ） – 6 – 6
例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰， 其海拔高度是 8844 米，吐鲁番盆地的海拔高度是 –155 米，两处高度相差多少米？解：8844-（-155）
=8844+155
=8999（米）
答：两处高度相差8999米。例２世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约
是8 848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米．两
处高度相差多少米？
8 848米有多少层楼高？解：8 848－（－155）＝8 848＋155＝9 003（米）思考题一、填空题
1、有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的 。
2、①3.6-4.7= ②(-7)-12=
③(+13)-(-7)= ④5-(-3)=
⑤0-15= ⑥0-(-8)=
⑦(-3.4)-0= ⑧（-1.24）-5.73=
⑨(-4)-（-4.375）= ⑩2-（+5）=
3、（1）（-5）+（ ）= -8；
（-3）+（ ）=2达标测试（2）比2°C低8°C的温度是 ；
比-3°C低6°C的温度 ；
（3）比0小4的数是 ；
比0 小-4的数是 ；
（4）7.4比8.3小 ；
7.4比8.3大 。
4、若m>0,n<0,则m-n 0;
若m<0,n>0, 则m-n 0。二、选择题
1、下面等式正确的是（ ）
A、a-b=(-a)+ b B、a-(-b)=（-a）+(-b)
C、(-a)-(-b)=(-a)+(-b) D、a-(-b)=a+b
2、下列说法中下正确的是（ ）
A.两个数的差一定小于被减数
B、若两个数的差为0，则这两数必相等
C、零减去一个数一定得负数
D、一个负数减去一个负数结果仍是负数
3、设两个有理数的和为a，这两个有理数的差为b，则a、b的大小关系是（ ）
A、a=b B、 a C、a>b D、不能确定课堂小结
今天我们从实例出发，经过比较，归纳得出了有理数减法法则，并通过推理说明了法则的合理性。这样有理数的减法只需将减数变成它的相反数，把减法转化为加法（注意被减数是永远不变的）。从而有理数的加法和减法这两种互逆的运算可用加法统一起来。想一想还有什么运算与这种情形类似？这说明在一定的条件下，矛盾的双方可以向其对立面转化。同学们，再见！学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.5有理数的减法》 第2课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1、能说出、并理解有理数的减法法则，知道有理数加减法之间的转化关系。
2、能熟练进行有理数减法的运算。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
问题情境：某天中的最高气温与最低气温分别是5 ℃与?3℃，你会求这一天的日温差吗? （一天中的最高气温与最低气温的差叫做日温差）
５－（－３）＝ ？
比较小明与小丽的算法：
思考：５－（－３）＝５＋３成立吗？为什么？小丽与小明的结论相同，是偶然巧合吗
探究新知：
一、概念探究：
１、议一议：
小丽从温度计上看到，从5℃降到－3℃，日温差是8℃，她是在做加法运算还是做减法运算？
小明根据“日温差”的意义，联想小学里加法与减法的关系，算出日温差也是8℃，他是在做加法运算还是减法运算？
小丽与小明的结论相同，是偶然巧合吗？
２、比较：
观察：①减号变加号；②减数变为它的相反数③被减数没变.（ “两变一不变”）
从上述结果我们可以发现规律：
这就是有理数减法法则．
３、概括：
字母表示：a－b = a + (－b)
由此可见，有理数的减法运算可以转化为加法运算．
①（－3）－5 =（－3）+______ ②3－（－5）=3+____
４、试一试：
将下列减法算式转化为加法算式_
③3－5=3+______ ④ (－3)－(－5)=(－3)+______
二、例题分析：
例1 计算：
（1） 0－（－22）
.
（2）8.5－（－1.5） （3） （+4）－16 （4）（－）－
例２ 世界最高峰是珠穆朗玛峰，海拔高度是8848m，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155m，两处高度相差多少米？
例3 全班学生分成五个组做游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组分数如下：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
220
280
－160
－100
320
（1）第一名超出最后一名多少分？
（2）第四名超出第五名多少分？
三、展示交流：
1、直接写出结果：
－７－（－３）= －20－8=
－７－３= 0－（－5）=
２、填空：
(1)温度3℃比－8℃高______；
(2)温度－9℃比－1℃低______；
(3)海拔－20m比－30m高______；
(4)从海拔22m到－10m，下降了______．
３、计算
（1）7－（－3）+（－4） （2）（－31）－12 + 23 + 12－47
四、提炼总结：
１、减法转化为加法，“两变一不变”；
２、有理数减法与小学里学过的减法的不同点：
(1) 被减数可以小于减数．如： 1－5 ；
(2) 差可以大于被减数，如：（+3）－（－2）；
(3) 大数减小数，差为正数；小数减大数，差为负数；
??? 如（－7）－（－8）=1；（－9）－（－4）=－5
根据小丽和小明的说法猜测减法的运算法则
分析：1、揭示“减法转化为加法”的思维过程，强调“两变一不变”其他三小题学生展示；
2、在有理数范围内，差不一定比被减数小
当堂检测
１．计算：
(1)－8－8；? (2)?8－(－8)；? (3)0－6；???? (4) 0－(－6)???
２．计算：
(1)16－47；? (2)28－(－74)； ? (3)?(－112)－98；?(4) 341－249．
3、计算：
（1）（－8）－（+6） （2）25－（+16）－（－21）
（3）23－（－77）－36 （4） （－6.37）－（+3.63）－（－5）
4、某矿井中有A,B,C三点，如果以地面为基准，A点的高度是+2米，B点的高度是—15.6米，C点的高度是—32.7米。问：A点比B点高多少米？C点比A点低多少米？
作业布置
1、完成《学用通》
§2.5有理数的减法
教学目标
1．使学生掌握有理数减法法则并熟练地进行有理数减法运算；
2．培养学生观察、分析、归纳及运算能力．?
教学重点和难点 有理数减法法则
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1．复习引入
①．计算：(1)(-2.6)+(-3.1)；? (2)(-2)+3；? (3)8+(-3)；? (4)(-6.9)+0．
②．化简下列各式符号：
(1)-(-6)；???????????? (2)-(+8)；?????????? (3)+(-7)；
(4)+(+4)；?????????? (5)-(-9)；??????????? (6)-(+3)．
3．填空：
(1)______+6=20；??????????????? (2)20+______=17；
(3)______+(-2)=-20；?????????? (4)(-20)+______=-6．
在第3题中，已知一个加数与和，求另一个加数，在小学里就是减法运算．如______+6=20，就是求20-6=14，所以14+6=20．那么(2)，(3)，(4)是怎样算出来的？这就是有理数的减法，减法是加法的逆运算．
二．解疑合探
问题1? (1)(+10)-(+3)=______ ；
(2)(+10)+(-3)=______．
教师引导学生发现：两式的结果相同，即
(+10)-(+3)=(+10)+(-3)．
教师启发学生思考：减法可以转化成加法运算．但是，这是否具有一般性？
问题2? (1)(+10)-(-3)=______ ；
(2)(+10)+(+3)=______．
对于(1)，根据减法意义，这就是要求一个数，使它与-3相加等于+10，这个数是多少？
(2)的结果是多少？
于是，(+10)-(-3)=(+10)+(+3)．
至此，教师引导学生归纳出有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
教师强调运用此法则时注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．
三．质疑再探：
例1? 计算：
(1)(-3)-(-5)；? (2)0-7．
例2? 计算：
(1)18-(-3)；? (2)(-3)-18；? (3)(-18)-(-3)；? (4)(-3)-(-18)．
通过计算上面一组有理数减法算式，引导学生发现：
在小学里学习的减法，差总是小于被减数，在有理数减法中，差不一定小于被减数了，只要减去一个负数，其差就大于被减数．
例3? 计算：
(1)(-3)-[6-(-2)]；? (2)15-(6-9)．
例4? 15℃比5℃高多少？ 15℃比-5℃高多少？
四．运用拓展：
1．计算(口答)：
(1)6-9；???? (2)(+4)-(-7)；???(3)(-5)-(-8) (4)(-4)-9；??? (5)0-(-5)；????? (6)0-5．
2．计算： (1) 15-21；??????????????? (2)(-17)-(-12)；?????? (3)(-2.5)-5.9；
3、小结
①．教师指导学生阅读教材后强调指出：由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．
②．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的．
板书设计
2．5有理数的减法
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2、例3
（二）观察发现 （四）课堂练习
提高训练
1.计算: 的结果为( )
A. 5 B. C.-5 D.-
2.若三个不等的有理数的代数和为0,则下面结论正确的是( )
A.3个加数全为0 B.最少有2个加数是负数
C.至少有1个加数是负数 D.最少有2个加数是正数
3.如果一个数与另一个数的和是-50,其中一个数比6的相反数小5,则另一个数是___________.
4.若│a│=5,│b│=2,且a,b同号,则│a-b│=_________.
5.存折中有3000元,取出1200元后,又存入800元,则存折中还有________元.
6.当x=1, y=-2 ,z=-3时,分别求出下列代数式的值:
(1)x-(-y) - z (2)x+(-y)+(- z)
7.若用A、B、C分别表示有理数a、b、c,0为原点如图所示.已知a0.
化简c+│a+b│+│c-b│-│c-a│.
答案:
1.C 2.C 3.-39 4.3 5.2600
6.(1) ;(2)7
7. ∵c<0,a+b<0,c-b<0,c-a>0,
∴c+│a+b│+│c-b│-│c-a│=c-a-b+b-c-c+a=-c
提高训练
1.计算(-2)-(+5)+(-8)-(-5)+2所得的结果正确的是( )
A.-7 B.12 C.-7 D.-12
2.设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.下列说法中正确的是( )
A.两个负数相减,等于绝对值相减; B.两个负数的差一定大于零
C.负数减去正数,等于两个负数相加; D.正数减去负数,等于两个正数相减
4.把-0.11+(-5.24)-(+0.15)-(-10)写成省略括号的和的形式为_________.
5.绝对值大于4小于12的所有整数的和是________.
6.计算
-----;
7.已知│x-1│=3,求-3│1+x│-│x│+5的值.
答案:
1.C 2.C 3.C 4.-0.11-5.24-0.15+10 5.0
6.
点拨: -----
=-----
=-(-+-+-+-+-)
=-(-)=
7.∵│x-1│=3,
∴x-1=3或-3即x=4或-2
当x=4时,-3│1+x│-│x│+5=-14
当x=-2时,-3│1+x│-│x│+5=0
第二章 有理数及其运算
6．有理数的加减混合运算（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面几节课中已经学习过有理数的加法、减法的法则，并利用其解决了一些问题，但前面的运算比较简单且多为单纯的加法运算或减法运算，而少有加法减法的混合运算。
学生活动经验基础：在本章前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的探究能力；经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力；同时在本章前面的数学学习中学生已经具备了一定的运算技能，能够解决一些简单的实际问题。这些为本节课的学习作了很好的奠基和知识准备。
二、教学任务分析
本节课是学生在前两节学习整数加法、减法运算的基础上自然地过渡到含有小数、分数的加减混合运算. 为了避免学生对单纯的运算产生厌烦情绪，所以利用游戏来训练有理数的加减混合运算，以增加学习的趣味性．本课时的教学目标如下：
1．让学生熟练地按照运算顺序进行有理数加减混合运算．
2．熟练运用有理数加法、减法运算法则进行加减混合运算．掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节： 第一环节：问题引入；第二环节：讲授新课；第三环节：巩固练习； 第四环节：合作学习； 第五环节：课堂小结； 第六环节： 布置作业。
第一环节 问题引入
活动内容:通过游戏来引入有理数的加减混合运算（课前每人准备红色卡片和白色卡片共20张，在每张卡片上写上任意数字）．
游戏规则如下：
四人一组，每组选一学生当代表，在同组的80张卡片中，抽取4张，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字．
活动目的：复习旧知识的同时，引出新的知识.
活动的实际效果:熟练写出加减混合运算的算式.
第二环节：讲授新课
活动内容:
利用各小组写出的算式引导学生分析有理数的混合运算应该怎么算.
活动目的：
既然是混合运算，自然联想到小学学习的运算顺序，要让学生明白，并不是学习有理数的运算就要抛弃小学的知识和方法．
活动的实际效果:
通过对运算顺序的回忆，学生尝试混合运算，体会运算顺序的重要性．教师要引导学生重视初小衔接，领悟知识的连贯和延续．
第三环节：巩固练习
活动内容:
例1、计算：
随堂练习：
1.计算：
（1）； （2）；
（3）；（4）。
活动目的：让学生体会根据运算顺序，进行有理数的加减混合运算．
活动的实际效果: 例1由教师指定几名学生板演，其余学生在笔记本上解答，教师巡视，发现问题及时解决，在复习有理数的加法、减法法则的同时，训练学生熟练进行有理数的加减混合运算
第四环节：合作学习
活动内容: 通过游戏来进一步熟练有理数的加减混合运算）．
游戏规则如下：
(1)四人一组，每组选一学生当代表，在同组的80张卡片中，抽取4张，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字．
(2)每组四人都计算，然后看结果的正确与否，再看一看谁用的计算方法最简便。交流经验．
活动目的：利用游戏训练有理数的加减混合运算，以激发学生学习数学的兴趣，增加学习的趣味性．
活动的实际效果:学生参与教学活动，从而使学生积极主动的学习，学生学习的热情高涨，气氛热烈。
第五环节：课堂小结
活动内容:师生共同完成。
1．有理数的加减混合运算可以利用运算顺序进行计算．
2．熟练进行含有整数、小数、分数的加减混合运算．
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获和感想，学会及时的反思和总结.
活动的实际效果: 学生畅所欲言自己的切身感受和实际的收获，在愉快的氛围中结束本节课的学习。
第六环节： 布置作业
习题 2.7
四、教学反思
有理数的加减混合运算共两个课时．这一课时的重点一是体会混合运算中运算顺序的重要性，在运算顺序的指引下巩固加法和减法的法则；二是熟练含有整数、小数、分数等各种数据的加减混合运算．
教材对本节两个课时内容调整的用意应该也在于此，先按部就班计算；再考虑灵活简便．
课件7张PPT。第六节 有理数的加减混合运算（一）北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 游戏规则
(1)每人每次抽取4张卡片．如果
抽到白色卡片，那么加上卡片上的
数字；如果抽到红色卡片，那么减
去卡片上的数字．
有理数的加减混合运算，怎么算呢？首先：根据运算顺序从左往右依次计算； 其次：每两个数间的运算根据加法或减法的法则
进行计算。 不要忘了，小学的运算知识、方法同样可以运用哦！例1 计算：
（1） ；（2） 。 解：原式==解：原式======随堂练习：
1.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
游戏规则
(1)每人每次抽取4张卡片．如果
抽到白色卡片，那么加上卡片上的
数字；如果抽到红色卡片，那么减
去卡片上的数字．
(2)比较两人所抽4张卡片的计算
结果，结果大的为胜者．
有理数的加减混合运算，可以根据运算顺序从左往右依次计算，其中每两个数间的运算根据加法或减法的法则进行。课堂小结：布置作业：习题2.7提高训练
1、a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，且|a|=|b|，|d|>|c|>|a|，下列各式正确的是 （ ）
A.a+b>c B.c+a>b C.d+c>a D.b+c>0
2、若|a-1|+|b+3|=0，则b-a-的值是 （ ）
A.-4 B.-2 C.-1 D.1
3、（1）-3减去4与-3的和所得的差是多少？
（2）-6，-3.5，4三数的和比这三数的绝对值的和小多少？
（3）求-1，+2，-3，+4，-5，…，-99，100，这100个数的和.
（4）已知甲地高度是-10m，甲地比乙地高10m，又乙地比丙地高6m，求甲地比丙地高多少？
4、已知|x-1|=2，求|1+x|-5的值.
5、已知a=3，b=-4，c=1，求代数式|a-b+c|-|a+b-c|+|a+b+c|的值.
答案：
1、A 2、A 3、（1）-4 （2）19 （3）50 （4）16
4、x=3时，3|1+x|-5=-1；x=-1时，|1+x|-5=-5 5、6.
提高训练
1.某一河段的警戒水位为50.2米，最高水位为55.4米，平均水位为43.5米，最低水位为28.3米，如果取警戒水位作为0点，则最高水位为 ，平均水位为 最低水位为 （高于警戒水位取正数）
2.一个加数是6，和十-9，另一个加数是
3.从-1中减去-与的和，列式为： ，所得的差是 。
4.一种零件，标明直径的要求是，这种零件的合格品最大的直径是多少？最小的直径是多少？如果直径是49.8，合格吗？
5．某校初二年级（1）班的学生的平均体重50㎏。
下表给出了该班5名同学的体重情况（单位：㎏）试完成下表：
姓 名
小张
小王
小李
小山
小毛
体 重
55
45
体重与平均体重差
+5
+2
+1
-3
谁最重？谁最轻？
最重与最轻相差多少？
6. 下表是某一周某种股票每天的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的价格）
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
收盘价/（元/股）
13.4
13.4
比前一天涨跌/（元/股）
/
-0.02
+0.06
-0.25
填表，并回答哪天收盘价最高？哪天收盘价最低？
最高价与最低价相差多少？
7.计算：
（1）7.5+（-
（2）；
（3）
（4）-
8.七名学生的体重，以48.0㎏为标准，把超过标准体重的千克计记为正数，不足的千克记为负数，将其体重记录如下表：
学生
1
2
3
4
5
6
7
与标准体重之差
-3.0
+1.5
+0.8
-0.5
+0.2
+1.2
+0.5
最接近标准体重的学生体重是多少？
求七名学生的平均体重；
按体重的轻重排列时，恰好居中的是那个学生？
9.水塘养了某种鱼，一年后，饲养员为观察鱼的生长情况，从中捕捞了12条，并编号为1-12，已知它们的平均体重为1.2㎏，这些鱼称重如下：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
体重
1.4
1.1
（ ）
0.98
（ ）
1.32
（ ）
0.85
（ ）
1.58
（ ）
与平均体重的差值
（ ）
（ ）
+0.5
（ ）
-0.3
0
（ ）
-0.4
（ ）
+0.1
（ ）
0.07
问：几号鱼最重？几号鱼最轻？最重的鱼比最轻的鱼重多少？
10.一病人发高烧进g医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：
时间
7：00
8：00
9：00
10：00
11：00
12：00
13：00
14：00
15：00
体温（与前一次比较）
升0.2
降1.0
降0.8
降1.0
降0.6
升0.4
降1.0
降0.2
降0
注：病人早晨6：00进院时医生测得病人的体温是40.2℃
问：（1）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
（2）病人中午12点时体温达多高？
（3）病人几点后体温多高？（正常体温是37℃）
（4）请用折线统计图表示这几小时的体温情况。
答案：
1. 5.2米 -6.7米 -21.9米 2. –15 3.（-1）-[（-） 4. 50.04， 49.97，不合格 5.(1)略 （2）小张最重，小山最轻。（3）最重与最轻相差10㎏。6. (1) 收盘价：星期二：13.2，星期三：13.8，星期五：13.15 涨跌：星期四：-0.4 收盘价星期三 最高，星期五最低 （2）0.65
7.（1）21 （2）-3.5 （3）- （4） 8.（1）因为与标准体重相差最小的是第五名学生，他与标准体重之差为+0.2kg，所以最接近标准体重的学生体重是48.2kg (2) 七名学生的平均体重为：48.0+（-3.0+1.5+0.8-0.5+0.2+1.2+0.5）（kg）
（3）恰好居中的是第七名学生 9.3号鱼最重，8号鱼最轻。差是0.9kg 10.（1）7：00时体温达到最高，最高体温为40.4 （2）病人12：00时体温是37.4 （3）病人14：00后的体温稳定正常。 （4）略
第二章 有理数及其运算
6．有理数的加减混合运算（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：在上一节课的学习中学生已经学习了有理数的加减混合运算，初步接触了含有小数或分数的有理数的加减混合运算，知道加减混合运算可以利用运算顺序从左往右依次进行运算，但还不够熟练，同时对在混合运算中如何运用加法交换律和结合律简化计算还不了解。
学生活动经验基础：在本章前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的探究能力；经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力；同时在本章前面的数学学习中学生已经具备了一定的运算技能，能够解决一些简单的实际问题。这些为本节课的学习作了很好的奠基和知识准备。
二、教学任务分析
本节课就是在前面学习的基础上进一步熟练有理数的加减混合运算，体会可以适当地运用加法交换律和结合律来简化运算．通过对一架特技飞机起飞的高度变化这个实际问题的讨论，引导学生从减法法则与实际问题两个方面回答两种算法的关系．对两种算法比较的同时，学生将体会到加减混合运算可以统一成加法，以及加法运算可以省略括号及前面加号的形式(即“代数和”的问题)，使学生进一步熟悉有理数加减混合运算. 具体教学目标如下：
1．使学生理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念；
2．使学生熟练地进行有理数的加减混合运算；
3．培养学生的运算能力．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节： 第一环节：问题引入；第二环节：讲授新课；第三环节：巩固练习；第四环节：合作学习；第五环节：课堂小结； 第六环节： 布置作业。
第一环节：问题引入
活动内容:一架飞机进行特技表演，飞行的高度变化由表格给出。
对于题中的“高度变化”，你是怎么理解的？
你能通过列式计算此时飞机的高度吗？
4.5+(－3.2)+1.1+(－1.4)
=1.3+1.1+(－1.4)
=2.4+(－1.4)
=1(千米)
还可以这样计算：
4.5－3.2+1.1－1.4
=1.3+1.1－1.4
=2.4－1.4
=1(千米)
活动目的：通过对身边的数学问题的讨论，学生将回顾有理数的运算法则，加深对法则的认识，并用以进行有关复杂数据的运算．
活动的实际效果:对于这一实际问题，学生特别是男同学很感兴趣，都瞪大眼睛仔细听讲。通过学生的合作探讨，培养学生与他人合作交流的习惯与意识，改变他们的学习方式，争取让每个学生都在同伴的交流中获益。
第二环节：讲授新课
活动内容: 比较以上两种算法，你发现了什么？
有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。如算式“4.5-3.2+1.1-1.4”可以看作4.5、-3.2、1.1、-1.4这4个数的和，因此在进行加减混合运算时可运用加法交换律和结合律简化运算。
如4.5+（-3.2）+1.1+（-1.4）
=4.5+1.1+[（-3.2）+（-1.4）]
=5.6+（-4.6）
=1
活动目的：学生参与教学活动，从而使学生积极主动的学习，学生学习的热情高涨，气氛热烈．
活动的实际效果:通过对两种算法的比较，学生将体会加减法混合运算可以统一成加法，以及加法运算可以写成省略括号及前面加号的形式(即“代数和”问题)．对“代数和”的学习，重点是让学生通过具体情境加以体会，无须出现“代数和”的名称．
学生在学会混合运算运算顺序的前提下，理解利用运算律可以改变运算顺序，从而达到简化计算的目的．
第三环节：巩固练习
活动内容:
计算：
活动目的： 让学生能进行包括小数、分数在内的有理数的加减混合运算。
活动的实际效果: 本例由教师指定几名学生板演，其余学生在笔记本上解答，教师巡视，发现问题及时解决，这样让学生在运算的过程中逐步熟练掌握有理数的加减混合运算。
第四环节：合作学习
活动内容: 做一做
下表是某年某市汽油价格的调整情况：
时间
1月14日
3月25日
6月1日
6月30日
7月28日
9月1日
9月29日
11月9日
价格变化（元/吨）
-140
+290
+400
+600
-220
+300
-190
+480
注：正号表示比前一次上调，负号表示比前一次下降。
与上一年年底相比，11月9日汽油价格是上升了还是下降了？变化了多少元？
活动目的：在具体情境中体会混合运算的作用，在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算．
活动的实际效果: 本例由教师板演，在复习加减混合运算的同时，为下一小节的学习埋下伏笔．
第五环节：课堂小结；
活动内容:师生共同完成。
1．通过本节课的学习研究，我们进一步巩固和掌握有理数的加减混合运算，并能根据具体问题适当运用加法交换律和结合律简化运算．
2．在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．
活动目的：鼓励学生谈自己的收获和感想,让学生总结本节所学内容的同时，学会及时的反思和总结
活动的实际效果:学生畅所欲言自己的切身感受和实际的收获，在愉快的氛围中结束本节课的学习
第六环节： 布置作业
习题 2.8
四、教学反思
这一课时的重点是继续帮助学生实现减法向加法的转化与加减法互化，了解运算符号和性质符号之间的关系．把任何一个含有有理数加、减混合运算的算式都看成和式，这一点对学生熟练掌握有理数运算非常重要，这是因为有理数加、减混合算式都看成和式，就可灵活运用加法运算律，简化计算．因此在教学中要让学生真正理解加法和减法的关系。
课件9张PPT。第六节 有理数的加减混合运算（二）北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 一架飞机做特技表演，起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高了多少千米？上升用加法，下降用减法，因此可以算为： 从左往右依次计算！ 用正负号表示上升和下降后，这一连续的过程
可以用加法体现： 从左往右依次计算！比较以上两种算法，你发现了什么？ 有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。
如算式“4.5-3.2+1.1-1.4”可以看作4.5、-3.2、1.1、
-1.4这4个数的和。 因此在进行加减混合运算时可运用加法交换律和结合律简化运算。
=或想一想，怎样才能做得更简便？做一做
（1）
（2）
（3）
（4）下表是某年某市汽油价格的调整情况：注：正号表示比前一次上调，负号表示比前一次下降。
与上一年年底相比，11月9日汽油价格是上升了还是
下降了？变化了多少元？ 1．通过本节课的研究讨论，我们进一步学习了有理数的加减混合运算，并能根据具体问题适当运用加法交换律和结合律简化运算．
2．在运用交换律交换加数的位置时，一定要把加数前面的符号一起进行交换．课堂小结：备选素材
国庆黄金周某旅游景点将每天游客人数与前一天比较并记录游客人数的变化情况，10月1日游客达到40000人次，以后几天游客人数变化如下表（比前一天多的为正，少的为负，单位：人）
日期
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
人数的变化（与前一天比较）
2000
1800
1000
-2000
-1500
-800
什么是警戒水位
什么是警戒水位？警戒水位都有什么标准呢？ 警戒水位是指江河洪水普遍漫滩或水位上涨造成重要堤防很有可能出现险情，到了这个水位就要加强警戒。 对于没有堤防的河道，则根据历史洪水漫滩的程度确定其警戒水位。 同样是“警戒水位”一词，在南方和北方的运用中有所不同。北方一些河流的警戒水位是指河水平槽即与堤外地面相平；但是在多雨的南方，河流的水位常年高于平槽，比如长江的一些河段都是地上河，因此它的警戒水位要高一些。
第二章 有理数及其运算
6. 有理数的加减混合运算（三）
一、学生起点分析
知识技能基础：学生在前面已经学习了有理数加减混合运算，能够综合运用有理数的意义及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题.
活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、抽象、计算等活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了有理数的意义和作用，体会到数学与现实生活的联系；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节设置了一个丰富的现实情境一—流花河的水文资料，并据此资料，提出相关问题，综合运用有理数及其加法、减法的有关知识对现实问题进行讨论，进一步体会数学和现实生活的联系．通过对流花河一周内的水位变化的数据信息进行分析，判断一周中每天河流水位情况，继而用折线统计图表示本周的水位情况，让学生体会用数学的方法对生活中的问题进行合理判断，并学会用数学工具直观地表示事物的变化情况。它对学生进一步理解有理数加减运算，提高运用知识解决实际问题能力，激发学习数学的热情具有重要作用.本节教学目标为：
教学目标：
（1）培养学生的动态观察、对比、分析生活问题的能力；让学生能综合运用有理数及其加、减法的有关知识灵活地解决简单的实际问题。
（2）在师生、生生的交流活动中，复习巩固加减运算，逐步把学生牵引到对较复杂数据的灵活处理。使学生感受到折线统计图确实可以直观地反映事物的变化情况。
（3）让学生经历和体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受到有理数运算的实用性，增强学生学好数学的信心。
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备一一收集资料；第二环节：情境
引入；第三环节：合作学习；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容:对学生有理数的加减运算的掌握情况进行检测，，并让学生收集一些与上课相关的资料（新闻与水文资料）。
活动目的：复习的目的是让学生对已有知识进行补充与完善，为新一次的挑战作好准备。收集资料的目的是丰富学生对背景资料的学习，减少学习的障碍。
活动的实际效果:通过前面的学习学生对有理数的加减运算普遍掌握得不错，并收集了丰富的新闻和水文资料。
第二环节：情境引入
引例1：大湖水库平均水位为62.6米，今年七月，由于久旱无雨，大湖水库水位降到了历史最低水位51.5米，而八月的连续降雨又使水位创历史新高75.3米，，若取警戒水位73.4米记作0点，那么最高水位75.3米可记作 米，最低水位51.5米可以记作 米，平均水位62.6米可以记作 米。
引例 2：小华是一个理财小能手，上周末他数了数自己的零花钱共有120元，下表是小华本周零花钱记录情况，+号表示当天的零花钱有节余，-号表示当天的零花钱超出预算：
星期
一
二
三
四
五
六
日
零花钱
+3
-4
+3
+2
+1
-5
+5
请你帮小华算一算，本周小华哪天的零花钱总数最多？哪天的零花钱总数最少？
（2）本周末小华的零花钱总数比上周末多还是少？
活动目的：创设丰富的现实情境，让学生体验所学知识与现实世界的联系，引起学生对学习内容的兴趣。
活动的实际效果: 学生独立观察思考后与交流组内的同学交流。然后全组内发表看法进行交流。有助于培养学生独立思考、善于与人合作的习惯和语言表达能力。运用数学解决简单问题的能力。
第三环节：合作学习
上图是流花河的水文资料（单位：米）
1.如果把流花河的警戒水位记为0点，那么其他数据可以分别记为什么？
2.下表是小明记录的今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）。
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
+0.2
+0.81
-0.35
+0.03
+0.28
-0.36
-0.01
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。
（1）本周哪一天流花河的水位最高？哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比,本周末流花河水位是上升了还是下降了?
(3)请完成下面的本周水位记录表:
星 期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录（米）
33.6
(4)以警戒水位为0点,用折线统计图表示本周的水位情况。
活动目的：通过老师指导，学生之间的交流，讨论，思维水平及思维方法灵活多样，促进思维的提高，培养学生的“数感”
活动的实际效果: 学生分组讨论，相互交流，取得一致意见，并做汇报。培养学生语言表达能力，运用有理数的加减法解决实际问题，培养学生学习兴趣。学生表现得都非常出色，积极地动脑筋思考问题，能大胆表明自己的观点
第四环节： 练习提高
1.光明中学初一（1）班学生的平均身高是160厘米.
（1）下表给出了该班6名同学的身高情况（单位：厘米），试完成下表：
姓名
小明
小彬
小丽
小亮
小颖
小山
身高
159
154
165
身高与平均身高的差值
-1
+2
0
+3
（2）谁最高？谁最矮？
（3）最高和最矮的学生身高相差多少？
2. 9.11事故后，美国股市出现狂跌，股市指数一度跌到历史最低点，后经政府宏观调控，稍有反弹，下表是某周的股市指数升跌情况，+号表示指数比头一天上升，-号表示指数比头一天下跌：
时间
升跌情况
星期一
+100点
星期二
-50点
星期三
+60点
星期四
+20点
星期五
-70点
本周内哪天股市指数最高？哪天股市指数最低？
本周五的股市指数比上周五的股市指数高还是低？
若将上周五的股市指数记为0点，请你画出本周的股市指数折线图。
3. 一口井,水面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5米后又往后滑了0.1米;第二次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7米,却下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次往上爬了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口?
4. 小明的父亲上星期日买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
星 期
一
二
三
四
五
?六
每股张跌
＋４
＋４.５
－１
－２.５
－６
＋２
⑴星期三收盘时，每股是多少元？ ⑵本周内最高价是每股多少元？最低每股多少元？ ⑶已知小明父亲买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 活动目的：通过对此题的解答，进一步掌握连续运动后结果的求法。教师在参与组内交流时，对学生的方法，及时给予肯定。对活动中出现的错误组织同学讨论，找出产生错误的原因，有利于学生“学会向错误学习”，进行自我完善。
活动的实际效果: 学生在独立思考后交流,教师巡视活动情况。根据观察的情况，激励学生的热情，并及时组织学生研讨个别同学出错的原因。
第五环节：课堂小结
1.知识归纳：利用正、负数表示相反意义的量，进行有理数的加减混合运算解决实际问题。
2.数学思想方法：用已学知识解决新问题的转化思想。
活动目的：使学生将文字语言，符号语言，代数语言互译巩固所学知识，培养学生归纳概括的能力.体会数学与实际生活是紧密相连的.
活动的实际效果: 学生畅所欲言自己的切身感受和实际的收获，在愉快的氛围中结束本节课的学习
第六环节：布置作业。
1.课本P71 习题 2.8 1、2. 2.问题解决 1.
四、教学反思
本节要培养学生综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题的能力，体会数学和生活的联系．用所学的知识解决实际问题．教学时，要鼓励学生从有关数据中读取一些有用的信息，慎重地转化成数学问题，在计算不太熟练的情况下，严格按照有理数加减混合运算的步骤，正确地运用有理数加减法法则和运算律．从过程的形式方面看，有学生的观察感受，有学生的独立思考，有生生的合作交流，有师生的问答交流，有师生的合作小结，体现了教师是活动的组织者、引导者、合作者，学生是活动的主人、主体。在本节课中，学生活动多，参与程度高，教师的展示行为、引导语言和激励语言，要起到突出重点、突破难点、和谐课堂气氛等积极作用.过程中安排了折线统计图解决实际问题的内容，体现了数形结合的数学思想；分层次地反复强化知识及其知识应用的多样化,遵循了学生认知的自然规律，渐渐扫清了学生的认知障碍，扩大了学生的认知视野。
课件19张PPT。第二章 有理数及其运算
6. 有理数的加减混合运算（三）
梳理知识1．有理数加减混合运算的步骤（１）把算式中的减法都转化为加法；
（２）进行运算（尽可能利用运算律简化计算）．计算：(把加减运算统一为加法)(利用运算律进行结合)最高水位记作:+2米
平均水位记作:-3.1米
最低水位记作:-6.2米如果取下关段的警戒水位作为0点,那么图中的其他数据可以分别记作什么?并说明你的思路.住在江边的小明同学记录了今年梅雨季节下关段一周的水位变化情况:(上周日的水位达到了警戒水位)善于研究生活中的数学问题(1)本周哪一天河流的水位最高?哪一天最低?它们位于警戒水位之上还是之下?与警戒水位的距离分别为多少米? 从表格的数据中你能获得哪些信息议一议9.109.119.479.199.169.518.7 实际水位(米)-0.01-0.36+0.28+0.03-0.35+0.81+0.2 水位变化(米)日六五四三二一 星期方法一: 通过计算每天的实际水位进行比较+0.2 + (+0.81) + (-0.35) + (+0.03) + (+0.28) +
(-0.36) + (-0.01) = 0.60(米)方法二: 对水位变化的数据求和 (2)与上周日相比,本周日河流的水位是上升了还是下降了?为什么?你是怎么知道的?有哪些方法?议一议日一二三四五六日0.20.40.60.81.0水位／米星期方法三: 根据变化数据画折线图描点连线实地考察某一中学初一(2)班学生的平均身高是160厘米
(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘
米),试完成下表.(2)谁最高?谁最矮?
(3)最高与最矮的学生身高相差多少?162160-6+516311厘米小山最高,小亮最矮 南京出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶,你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时,他距离出车的出发点有多远?解:该出租车离出发点的距离为:
15+(-2)+5+(-1)+(-10)+( -3)+( -2)+12+4+( -5)
=13千米 答：他距离出车的出发点13千米
会用数学去解决生活中的变化现象，对于几次连续的变化情况可以用有理数的加减法去解决很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决,根据需要可以“人为”地规定零点.我们可以借助表格和折线统计图形象直观的反映事物的变化情况 生活中处处有数学, 只要我们去观察研究感受我们感受到数学是一门十分有用的科学，它能帮助我们分析、解决许多生活中实际问题。 ［例1］某股民上周五天进某公司股票2000股，每股14.8元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元)已知该股民买进股票时付了成交额1.5‰的手续费，卖出时付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税．如果他在星期五收盘前将全部股票卖出，计算一下他的收益情况．点拨解答思考题 小明父亲上星期买进某公司股票1000股，每股
27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元） ①周三收盘时，每股 元。②本周内最高价每股 元，
最低价值每股 元。④以上周六买进27元为0元，用折线统计图表示出该周股票的涨跌情况。34.535.529 注： ①正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降。
②周六、周日休市。+4+6.5+7.5+8.5+5
③完成下表拓展延伸探究 一口井,水面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁
往井口爬,第一次往上爬了0.5米后又往后滑了0.1米;第二
次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7
米,却下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却下滑了0.1米;
第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次往上爬了0.48米.
问蜗牛有没有爬出井口?解法提示: 把往上爬的距离用正数表示,下滑的距离用负数表示.
根据题意,
0.5+(-0.1)+0.42+(-0.15)+0.7+(-0.15)+0.75+(-0.1)+0.55+0.48
= 2.9 < 31.光明中学初一(1)班学生的平均身高是160厘米.
(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米).
试完成下表:(2)谁最高? 谁最低?(3)最高与最矮的学生身高相差多少?练习提高2.小明的父亲上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
练习提高 ⑴星期三收盘时，每股是多少元？
⑵本周内最高价是每股多少元？最低每股多少元？
⑶已知小明父亲买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.6.1有理数的加减混合运算》 第1课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1、会进行包括小数或分数的有理数的加减混合运算。
2、能适当运用运算律简化运算。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一、复习回顾：
1、说一说：有理数加法法则
同号两数相加， ；
异号两数相加，绝对值相等时， ；绝对值不等时， 。
一个数与0相加， 。
有理数减法法则： 。
2、计算：
－8+（+6）； （－11）－3
思考：你会计算吗？
－8+（+6）－（－11）－3
这个题目中既有加法又有减法，你会计算吗？
二、合作探究
1、活动探究
将－3，7，0，5，，，4，－5中任意取4个数字填入下面的括号里，并进行运算：
（ ）—（ ）— （ ）+（ ）
=
根据加减法混合运算法则，我们要从左向右依次运算。
二、例题分析：
例1 计算：
(1) －3－5+4； (2) －26+43－24+13－46
例2 计算：
(1) + － ； (2)(－5) －() + 7－
三、展示交流：
1、计算：
①10+(+4)+(－6)－(－5)；? ②(－8)－(+4)+(－7)－(+9)．
2、计算：
(1) 8＋（－）－5－（－0.25）； (2) (+3.7)－ (－2.1)－1.8+(－2.6).
3、某检修小组乘坐一辆汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，他们从出发到收工返回时，走过的路程记录如下（单位：千米）
+8， －3， +12， －1， －6 ， +4， －7
那么收工时他们距离出发地有多远？是前进还是后退了？
四、提炼总结：
谈谈你本节课有什么收获？
回顾思考
上题可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算；
注意运算符号与减法法则的转化功能。
（1）运用加法运算律，灵活运算，通常先将符号相同的数相加，然后将符号相异的两个数相加；
（2）交换加数位置时，要连同它前面的符号一起交换位置．
根据题意列出式子，注意符号的使用。
当堂检测
1、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二
次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（ ）
A、90分 B、75分 C、91分 D、81分
2、计算：
(1) －30－15+13－(－7)；? (2)－7－4+(－9)－(－5)．
(3)－21－12+33+21－67 (4) 5.4－2.3+1.5－4.2
(5) －－+ － (6) (－23)－(－18)－1+15+23
3、一个小吃店去超市买10袋面粉，这10袋面粉的重量分别为：2.48千克，2.51千克，2.43千克，2.46千克，2.55千克，2.53千克，2.49千克，2.50千克2.47千克，2.51千克，你能很快的求出这10袋面粉的总重量吗？
作业布置
1、习题2.7第1、2题
2、完成《学用通》
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.6.2有理数的加减混合运算》 第2课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1、会进行包括小数或分数的有理数的加减混合运算。
2、会将减法转化为加法，能适当的运用运算律简化运算。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一、复习回顾
（1） （2） (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )
二、合作探究
1、自主学习：
阅读课本44-45页
4.5－３.2 + 1.1―1.4 4.5 +（―3.2）+1.1 +（―1.4）（填.> 、<或=）
根据有理数减法法则，有理数的加减混合运算可以统一为加法运算。
同样，(－11)－7+(－9)－(－７)按照上面的法则可以变形为 ，
二、例题分析：
例1 计算：
(1) 2+（－5）－（－8）； (2) (－12) －（）＋（－８）－
例2 下表是某年某市汽油价格的调查情况：
时间
１月１４日
３月２５日
６月１日
６月３０日
７月２８日
９月１日
价格变化
－１４０
＋２９０
＋４００
＋６００
—２２０
＋３００
注：正号表示比前一次上涨，负号表示比前一次下降。
与１月１４日前相比，９月１日汽油价格是上升了还是下降了？变化了多少？
三、展示交流：
1、把下面各式写成几个数的和的形式：
①10+(+4)+(－6)－(－5)；? ②(－8)－(+4)+(－7)－(+9)．
2、计算：46页随堂练习
（1） （2）
（3） （4）
四、提炼总结：
１、一个含有加减混合运算的式子，通常先把加减运算统一成加法，然后写成省略括号的和的形式，可以按“和”的意义或“运算”的意义来读，并且能按“和”的意义来求出结果；
２、交换加数位置时，连符号一起交换；
３、运用加法运算律简化
回顾思考
上题可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算；
注意运算符号与减法法则的转化功能
（1）运用加法运算律，灵活运算，通常先将符号相同的数相加，然后将符号相异的两个数相加；
（2）交换加数位置时，要连同它前面的符号一起交换位置．
根据题意列出式子，注意符号的使用。
当堂检测
一、直接写出计算结果（本题共４分，每题０.5分）
1．（-4.6）+（8.4）=_______ 2． _________ 3．3.6- (-6.4)= _________ 4．（-5.93）-|-5.93|=________ 5． ________ 6． __________
7．_______________ 8．+5-（+8.3）=__________
二、计算下列各题
⑴（+3.41）－（－0.59） ⑵
⑶ ⑷ (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )
⑸ －3－4＋19－11＋2 （6） .
作业布置
2、完成《学用通》
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.6.3有理数的加减混合运算》 第2课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
1、能综合运用有理数及其加法，减法的有关知识，解决简单的实际问题，
2、体会数学与现实生活的联系。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一、温故知新
1、填空：
（1）（－23）＋（－46）＝ （2）（－47）＋5＝
（3）0＋（＋）＝ （4）（－）＋0＝
（5）（－530）＋530＝ （6）16－21＝
（7）0－14＝ （8）（－10.1）－0＝
（9）0－（－100）＝ （10）（－2）－（－3）＝
二、合作探究
1．下图是流花河的水文资料(单位:米),取河流的警戒水位作为0点,那么图中的其他数据可以分别记作什么?
由图有：
最高水位记作：_______米。平均水位记作：_______米。最低水位记作：_______米。
三、课堂展示
1．下表是小明记录的今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
+0.20
+0.81
-0.35
+0.03
+0.28
-0.36
-0.01
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。
小组合作交流后回答下列问题：
（1）①本周哪一天河流的水位最高？
②哪一天河流的水位最低？
③它们位于警戒水位之上还是之下？
④与警戒水位的距离分别是多少米？
（2）与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？通过探讨，你是怎样知道的？
（3）完成下面的本周水位记录表：
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录/米
33．6
（4）以警戒水位为0点，用折线统计图表示本周的水位情况。
水位/米
日 一 二 三 四 五 六 日 星期
四、随堂练习
1．光明中学初一（1）班学生的平均身高是160厘米。
（1）下表给出了该班6名同学的身高情况（单位：厘米），试完成下表：
姓名
小明
小彬
小丽
小亮
小颖
小山
身高
159
154
165
身高与平均身高的差
-1
+2
0
+3
（2）谁最高？谁最矮？
（3）最高与最矮的学生身高相差多少？
五、这节课你学到了什么？
当 堂 检 测
计算：
（1）7+（－2）－3.4 （2）－21.6+3－7.4+（－）
（3）31+（－）+0.25 （4）7－（－）+1.5
（5）49－（－20.6）－ （6）（－）－7－（－3.2）+（－1）
一个病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的收缩压为160单位。
星期
一
二
三
四
五
收缩压的变化情况
（与前一天比较）
升30单位
降20单位
升17单位
升18单位
降20单位
（1）请算出星期五该病人的收缩压；
（2）请用折线统计图表示该病人这5天的收缩压情况。
作 业 布 置
1.习题2.9第1题写作业本
2.《学用通》.
§2.6有理数的加减混合运算（1）
教学目标
1．使学生理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念；
2．使学生熟练地进行有理数的加减混合运算；
3．培养学生的运算能力．
教学重点和难点
重点：准确迅速地进行有理数的加减混合运算．
难点：减法直接转化为加法及混合运算的准确性．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
①．叙述有理数加法法则．
②．叙述有理数减法法则．
③．叙述加法的运算律．
④．符号“+”和“-”各表达哪些意义？
⑤．化简：+(+3)；+(-3)；-(+3)；-(-3)．
⑥．口算： (1)2-7；? (2)(-2)-7；? (3)(-2)-(-7)；? (4)2+(-7)；
(5)(-2)+(-7)；????? (6)7-2；????????? (7)(-2)+7；?????????? (8)2-(-7)．
二．解疑合探
1．加减法统一成加法算式
以上口算题中(1)，(2)，(3)，(6)，(8)都是减法，按减法法则可写成加上它们的相反数．同样，(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-9)+(+6)，这样便把加减法统一成加法算式．几个正数或负数的和称为代数和．
再看16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7)．
既然都可以写成代数和，加号可以省略，每个括号都可以省略，如：
(-11)-7+(-9)-(-6)=-11-7-9+6，读作“负11，负7，负9，正6的和”，运算上可读作“负11减7减9加6”；16+2+(-4)+6+(-7)=16+2-4+6-7，读作“正16，正2，负4，正6，负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”．
例1? 把(-20)+(+3)-(+5)-(-7)写成省略括号的和的形式，并把它读出来．
例2? 计算-20+3-5+7．
解：-20+3-5+7=-20-5+3+7=-25+10=-15．
注意这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展：1、课堂练习
(1)计算：①-1+2-3-4+5；? ②(-8)-(+4)+(-6)-(-1)．
(2)用较为简便的方法计算下列各题：
2、小结①．有理数的加减法可统一成加法．②．因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．
4、板书设计
2．6有理数的加减混合运算（1）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
§2.6有理数的加减混合运算（2）
教学目标：让学生熟练地进行有理数加减混合运算，并利用运算律简化运算．
教学重点和难点
重点：加减运算法则和加法运算律．
难点：省略加号与括号的代数和的计算．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1．、复习引入
什么叫代数和？说出-6+9-8-7+3两种读法．
2．学生设疑
①计算下列各题：
(1)-12+11-8+39；? (2)+45-9-91+5；? (3)-5-5-3-3；
(7)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28；
②当a=13，b=-12.1，c=-10.6，d=25.1时，求下列代数式的值：
(1)a-(b+c)；???????? (2)a-b-c；?????? (3)a-(b+c+d)；????????? (4)a-b-c-d；
(5)a-(b-d)；???????? (6)a-b+d；????? (7)(a+b)-(c+d)；?????? (8)a+b-c-d；
(9)(a-c)-(b-d)；????????????????????????? (10)a-c-b+d．
请同学们观察一下计算结果，可以发现什么规律？
a-(b+c)=a-b-c；a-(b+c+d)=a-b-c-d；a-(b-d)=a-b+d；
(a+b)-(c+d)=a+b-c-d；(a-c)-(b-d)=a-c-b+d．
括号前是“-”号，去括号后括号里各项都改变了符号；括号前是“+”号(没标符号当然也是省略了“+”号)去括号后各项都不变．
③．用较简便方法计算：
(4)-16+25+16-15+4-10．
二．解疑合探
1．判断题：
(1)两个数相加，和一定大于任一个加数．?????????????????????????????????? （??? ）
(2)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数．? （??? ）
(3)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号．???? （??? ）
(4)当两个数的符号相反时，它们差的绝对值等于这两个数绝对值的和．? （??? ）
(5)两数差一定小于被减数．???????????????????????????????????????????????（??? ）
(6)零减去一个数，仍得这个数．???????????????????????????????????????????（??? ）
(7)两个相反数相减得0．????????????????????????????????????????????????????（??? ）
(8)两个数和是正数，那么这两个数一定是正数．???????????????????????? （??? ）
2．填空题：
(1)一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是______；一个数的倒数等于它本身，这个数一定是______；一个数的相反数等于它本身，这个数是______．
(2)若a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值是______．
(3)若|a|+|b|=|a+b|，那么a，b的关系是______．
(4)若|a|+|b|=|a|-|b|，那么a，b的关系是______．
(5)-[-(-3)]=______，-[-(+3)]=______．
这两组题要求学生自己分析，判断题中错的应举出反例，同时要求符号语言与文字叙述语言能够互化．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展：
板书设计
§2.6有理数的加减混合运算（2）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例4、例5
（二）观察发现 （四）课堂练习
教学后记
课件18张PPT。七年级数学(上)和老师一起学数学!走进课堂 放飞梦想7.有理数的乘法（第一课时）创设情境，复习导新 ：活动1：1、计算：
①(—5）+（—5）
②（—5）+（—5）+（—5）
③（—5）+（—5）+（—5）+（—5）
④（—5）+（—5）+（—5）+（—5）+（—5）2、猜想下列各式的值
（—5）×2；(—5)×3；
（—5）×4；(—5）×5，
3、两个有理数相乘有几种情况？ 学习目标：
理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，并能准确地进行有理数的乘法运算;会求一个有理数的倒数;能够确定多个有理数相乘积的符号。活动2：如图，一只蜗牛沿直线L爬行，它现在的位置恰好在L上的点O。
1 如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？
2 如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？
3 如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？
4 如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？
思考：一个数同0相乘，如何解释？LO为区分方向，规定：向左为负，向右为正；
为区分时间，规定：现在前为负，现在后为正；师生互动，探究新知
（1）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行 ，3分钟后它在什么位置？
（2）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，
行，3分钟后它在什么位置？ （4）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，
行，3分钟前它在什么位置？ （3）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，
行，3分钟前它在什么位置？活动3（1）那么下列一组算式的结果应该如何
计算？请同学们思考：
（－３）×３＝_____;
（－３）×２＝_____;
（－３）×１＝_____;
（－３）×０＝_____.（２）当同学们写出结果并说明道理时，让学生
通过观察这组算式等号两边的特点去发现积的变
化规律，然后再出示一组算式猜想其积的结果：
（－３）×（－１）＝______;
（－３）×（－２）＝______;
（－３）×（－３）＝______;
（－３）×（－４）＝______.活动4：根据你对有理数乘法的思考，填空：
正数乘正数积为______数。
负数乘正数积为______数。
正数乘负数积为______数。
负数乘负数积为_____数。
乘积的绝对值等于各乘数绝对值的___________ 归纳
有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0.分析法则，掌握实质活动5
填空:1.（—5）×（—3）同号相乘
（—5）×（—3）=+（ ）____得正
5×3=15把绝对值相乘
2.（—7）×4__________
（—7）×4=—（ ）___________
7×4=28__________
（—7）×4=__________
归纳：有理数相乘，先确定积的_____ ，
再确定积的 _____________.解决问题，综合运用例1.计算: (1)（-3）×9 (2)（-1/2)×2
(3)（-1/3)×（-3） (4)（-2/3)×（-3/2）注意：乘积是１的两个数互为倒数．一个数同+1相乘，
得原数，一个数同-1相乘，得原数的相反数。例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。
登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-60C，
攀登3km后，气温有什么变化？问题：实际生活中，还存在其他类似的例子吗，说出来
和大家一起分享吧！思考：用“＞”“＜”“＝”号填空。
(1)如果a＞0，b＞0,那么a·b____0.
(2)如果a＞0 b＜0, 那么a·b____0.
(3)如果a＜0, b＜0 , 那么a·b____0 .
(4)如果a=0, b≠0, 那么a·b____0例3.计算⑴（－４）×５×（－０.２５）；
⑵（－3÷5）×（－5÷6）×（－2）；结论：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，
当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有
偶数个时，积的符号为正.只要有一个数为零，积就为零。体验成功，享受快乐活动6
1.抢答题（1）翻牌游戏老师任意摸两张扑克牌，学生说出
它的积，规定：红色为正，黑色为负。（2）计算
①6×（-9） ②（-4）×6 ③（-6）×（-1）
④（-6）×0 ⑤(– ) )×(– ⑥(-1/3)×18（3）写出下列各数的倒数。
1，-1，1/3, -1/3, 5, -5, 2/3, -2/3.2、商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与原价
销售同样数量的商品相比，销售额有什麽变化？总结收获，畅谈体会1、今天这节课我学到的新知识是________
2、今天这节课我学到的数学思想或解决问题
的方法是_______________________
3、今天这节课给我留下印象最深的是_______
4、今天这节课留给我的疑惑还有__________布置作业，巩固深化一、数学小日记 日期_________
今天数学课的课题：__________________
所涉及的重要的数学知识______________
理解最好的地方____________________
不明白或还需要进一步理解的地方______
所学的内容能够应用在日常生活中，举例说明____________________________________ 二、必做题
1、计算.
（1）（-8）×（-7） (2) 12×(-5) （3）2．9×（-0．4）
（4）-30．5×0．2 （5）100×（-0．001）
(6)-4．8×(-1．2） （7）（–72）×（+1） (8)（–）2、小欣到知慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的
门口有一些写着整数的数字按纽，此时传来了一个机器人
的声音“按出两个数字，积等于8”，请问小欣有多少种按
法？你能一 一写出来吗？（不管顺序） 小丽收集了9个可乐瓶盖，她把9个瓶盖都盖口朝上排放成
一行，她每次都任意翻动两个瓶盖（盖口朝上的翻成朝下，
盖口朝下的翻成朝上），问她能否经过若干次翻动后，所有的
瓶盖都盖口朝下？选做题谢 谢“负负得正”生活举例
“负负得正”是一种人为规定，但教学时可以借助一些生活经验做比拟，帮助学生相信、接受这个规定。
话题1：
朋友的朋友是朋友（即正正得正）；朋友的敌人是敌人（即正负得负）；敌人的朋友是敌人（即负正得负）；敌人的敌人是朋友（即负负得正）。
话题2：
好人有好报是好事（正正得正）；好人有坏报是坏事（正负得负）；坏人有好报是坏事（负正得负）；坏人有坏报是好事（负负得正）。
——摘自 卜以楼 让数学教育的文化价值在教学中鲜活地流淌 中学数学杂志（初中版）2011（6）
“负负得正”的乘法法则可以证明吗
关于“负负得正”的乘法法则，是否可以通过证明来确认这条法则呢？这个问题历来被老师们关注，有关专家对此也有各种看法，现将一篇文章转摘如下，供老师们参考(田载今，中学数学教学参考，2005年第3期)。
有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条，“两个负有理数相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如，（－2）×（－3）=＋6。
这条法则对刚学它的人来说，不是很容易理解，多数人是把它硬记下来的.记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理，就去向老师请教，老师说：“你记住就行了.”
编写教材时，大家为说明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意义解释……
教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑：是否可以通过证明来确认这条法则呢？教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢？
一种意见认为，“负负得正”有着丰富的实际背景，实践是检验真理的标准，这些实际背景对这一 法则的证明.例如，考虑这样的问题：如果水位一 直以每小时2厘米的速度下降，现在水位在水文标尺刻度的A处，3小时前水位在水文标尺的刻度在何处？为区分水位变化方向，我们规定水位上升为正，下降为负；显然3小时前水位在水文标尺刻度的A处上方6cm处，这可以表示为（－2）×（－3）=＋6.在许多情况下，都能找到类似这样的“负负得正”的原型，因此，“负负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.
上面的意见中，以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.数学中的证明不是个例的验证，数学不是物理、化学、生物那样的实验科学，它的命题具有一般性，不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明，而需要依据已有的结论（定义、公理和定理等）经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中的原型，只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后，即经过数学化、抽象化之后，才具有了“负负得正”的意义，它们只能说明“负负得正”有 实际背景，或作为应用“负负得正”法则的例子，而不能作为逻辑地推导这个法则的根据.
另一种意见认为，可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则，具体推导过程如下：
有了有理数的加法法则以及“正正得正”，“正负得正”的乘法法则之后，由分配律，有
（－1）×（－1）=（－1）×（1－2）
=（－1）×1－（－1）×2=－1－（－2）=－1＋2=1 .
进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如，
（－2）×（－3）=（－1）×2×（－1）×3=（－1）×（－1）×2×3 =［（－1）×（－1）］×（2×3）=1×6=6.
于是,得出“负负得正”这一法则.
笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了
（－1）×（1－2）=（－1）×1-（－1）×2. （1）
当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得负”的乘法法则,而尚未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.
在这时,我们可以确信（－1）×（2－1）=（－1）×2－（－1）×1.⑵
这是因为⑵的左边为 （－1）×（2－1）=（－1）×1=－1.
⑵的右边为 （－1）×2－（－1）×1=-2-(-1)=-2+1=-1.
所以(2)的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出⑴成立,因为⑴的左边为 （－1）×（1－2）=（－1）×（－1），而（－1）×（－1）的法则此时尚未成立,所以无法确定⑴的左边是否等于右边,即此时分配律等于（－1）×（1－2）是否适用尚且存疑。先确定运算法则,后才能确定那些运算律成立,是合乎逻辑顺序的做法.这就是说,只有当（－1）×（－1）的结果确定后,才能明确(1)成立.因此,像上面那样用分配律推导“负负得正”的法则有循环论证之嫌.
还有一种意见认为,如果在确立了通常的有理数加法法则后,把有理数的乘法定义为一种抽象的运算(即先不规定具体的乘法运算法则),并从抽象代数角度约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推导出通常的具体的有理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.
笔者认为，事实上并非如此，请看下面反例.
我们这样规定有理数的乘法“”:对于任意两个有理数a 、b它们的“乘积”ab=－ab即这样“乘积”等于通常乘法的乘积的相反数.
可以验证，－1是这种“乘法”的单位元，对任意非零有理数x，他的逆元是－，并且 (ab)c=a(bc)（结合律）； ab=ba（交换律）；
a (b＋c）=ab＋ac（分配律）在有理数结合内都成立.因此，有理数集合Q连同通常意义的有理数加法“＋”、如上定义的有理数的乘法“”，满足抽象代数中域的定义，即｛Q，＋，｝是一个域.但是，这个“乘法”法则不是“负负得正”，而是“负负得负.”
上述反例证明，在确立了有理数通常的加法法则，并约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域的条件下，并不能一定得出“负负得正”的乘法法则.
第四种意见证明，如果先确立通常的有理数的加法法则以及两个非负有理数的乘法（及算术中的乘法）法则，然后再把含有负因数的有理数乘法定义为一种抽象的运算，并把这种抽象的乘法运算连同算术中的乘法合起来作为整个有理数的乘法法则，并且约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推导出通常的有理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.具体推导过程如下：由于约定了有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，根据分配律
（－1）×1=（1－2）×1=1×1－2×1=1－2=－1，（－1）×2=（－1）×（1＋1）=（－1）×1＋（－1）×1=－1＋（－1）=－2，
（－1）×（－1）=（－1）×（1－2）=（－1）×1－（－1）×2=－1－（－2）=－1＋2=1，
因此，（－1）×（－1）=1。在此基础上，由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的法则，即两个负有理数相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.
这种意见中，作为推理依据除了确定加法法则及部分乘法法则外，还有“有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域”这个重要的约定，然而，在乘法法则尚未确定之前，就做出这个约定在逻辑上是否合适呢？
应先完全确定有理数的加法和乘法的具体法则，才能根据域的定义判断｛Q，＋，X｝是一个域，这是一种合乎逻辑的推理顺序.而像上面那样先约定｛Q，＋，X｝是一个域，再由约定去确定乘法法则的过程，恰与正常的推理顺序相反.这样进行本未倒置的分析，目的在于说明确定乘法法则的一种意图，即使新确定适用于Q的乘法法则与已有的算术中的乘法法则不矛盾，并且能使｛Q，＋，X｝是一个域.这样的分析只能说明确定有理数乘法法则的思想背景，而不能认为是合乎逻辑地导出了有理数的乘法法则.
代数中类似上面那样说明某种规定的背景的例子有许多，例如下面的对规定a0=1(a≠0)的解释.
我们已知，同底数幂除法法则，即am÷an=am-n(a≠0,m、n∈N+，m>n)。如果这一法则在a≠0,m、nN+，m=n时也适用，则有am÷am=am-m=a0另一方面，显然有am÷am=1。于是，规定a0=1(a≠0).
这里的“这一法则在a≠0,m、n∈N+，m=n时也适用”事先缺乏根据，而只是一种假设，借以作为后面如何具体定义0指数幂的背景.因为“这一法则在a≠0,m、n∈N+，m=n时也适用”这个前提条件，在未定义0指数幂前还未落实，所以不能认为由这个空中楼阁可以推导a0=1(a≠0)，否则就犯了推理理由不真实和循环论证的逻辑错误.这个问题与前面第四种意见的做法是类似的，类比他们可以帮助我们认识到第四种意见的做法并非证明.
综上所述，“负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定（定义），它不能通过逻辑证明得出.然而，对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些材料，可以帮助学生认识乘法法则的由来和合理性，但是不能将这样做误认为证明这个法则.
第二章 有理数及其运算
7. 有理数的乘法（一）
【知识脉络】
本章内容主要涉及有理数的运算，是初等数学的重要基础，在实际生活中的应用十分广泛。本节有理数的乘法，从小处说，它既是有理数加法运算的延伸，也是学生后续学习有理数除法与乘方运算等有理数运算的基础。从大处说，它是整个初中学段乃至更高学段最基本的运算之一，是今后学习实数运算、代数式的运算、解方程以及函数知识等等的基础。本节内容分为两个课时，第一课时在实际背景和计算中探索出有理数乘法法则，学会进行有理数的乘法运算，掌握确定多个不等于零的有理数相乘的积的符号方法以及有一个数为零积是零的情况。第二课时在运算中归纳出乘法运算律在有理数的范围内仍然适用。
【教学要求】
有理数的乘法运算，在确定“积”的符号后，实质上是小学算术数的乘法运算，思维过程就是如何把中学有理数的乘法运算化归为小学算术数的乘法运算。因此确定“积”的符号是本节课应重点解决的问题。
课标中指出：“要让学生经历数学知识的形成和应用过程”。在小学里正数与正数相乘、正数与0相乘的运算，经过多年的实践,已经深入学生骨髓，变得天经地义，因为他们可以毫不费劲的从生活实例中得到圆满解释。引入负数后就不同了,“负数与正数相乘”还能用有理数的加法来解释，而且也能在现实生活中找到相关背景，如连续降温等,但“正数与负数相乘”、“负数与负数相乘”、“负数与０相乘”等运算，很难在现实生活中找到合理的解释。如果直接将有理数的乘法法则告诉学生,经过大量的练习，学生也能熟练地掌握运算技巧。但由于没有经历知识的发生发展过程，必然会导致知其然不知其所以然，数学知识链会出现缺口。因此，法则的探索过程是本节的重要一环，不可忽视。在探究法则的过程中，让学生多动手、多动脑，尽可能达到在亲身探究中法则自然流淌而出，让学生触摸到知识的源头。
【学情分析】
知识技能方面：
在学习本节课之前，学生已经学习了有理数的加减法运算法则，对符号问题也有了一定的认识。同时，初一的学生也具有一定的观察、归纳、猜想、验证能力。因此，学生对本节课内容具有深厚的知识基础。乘法的交换律、结合律、分配律在小学已经学习过，在有理数部分仍旧适用，其中的教学关键仍然是符号问题。
活动经验方面：
七年级学生已经具备了初步探究问题的能力，但归纳概括能力不强，对于表象化的东西理解不深入。乘法法则的提炼经历了将实际问题数学化的过程，需要学生一定的归纳概括能力。同时，借助图形帮助学生确定乘积的符号，可以让学生尽早领悟数形结合思想方法。
【教学重难点】
教学重点：应用有理数的乘法法则正确的进行有理数乘法计算。
教学难点：有理数乘法运算中符号确定的理解。
－、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过非负有理数的四则运算以及运算律，在本章的前面几节课中又学习了数轴、相反数、绝对值的有关概念，并掌握了有理数的加减运算法则及其混和运算的方法，学会了由运算解决简单的实际问题，具备了学习有理数乘法的知识技能基础。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经历了探索加法运算法则的活动，并且通过观察＂水位的变化＂，运用有理数的加法法则解决了一些实际问题，从而获得了较为丰富的数学活动经验，同时在以前的学习中，学生曾经历了合作学习和探索学习的过程，具有了合作和探索的意识，另外在加法法则的学习过程中曾经遇到的问题和经历过的挫折，这对有理数的乘法法则的学习也是值得借鉴的宝贵经验。
二、学习任务分析
教科书基于学生已掌握了有理数加法、减法运算法则的基础上，提出了本节课的具体学习任务：发现探索有理数的乘法法则，了解倒数的概念，会进行有理数的运算。本节课的数学目标是：
经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证能力；
会进行有理数的乘法运算。
三、教学策略
对于认知的主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用诱思探究式教学法并采用多媒体等现代教学手段。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、自主探索、合作交流、动手实践”的氛围中愉快地学习，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人.
四、教学过程设计
本节课设计了七个环节：第一环节：创设情境，复习导新；第二环节：师生互动，探究新知；第三环节：分析法则，掌握实质；第四环节：解决问题，综合运用；第五环节：体验成功，
享受快乐；第六环节：总结收获，畅谈体会；第六环节：布置作业，巩固深化
第一环节：创设情境，复习导新
活动1：1、计算：①、—5）+（—5）
②、（—5）+（—5）+（—5）
③、（—5）+（—5）+（—5）+（—5）
④、（—5）+（—5）+（—5）+（—5）+（—5）
2、猜想下列各式的值
（—5）×2；(—5)×3；
（—5）×4；(—5）×5，
3、两个有理数相乘有几种情况？
活动意图：通过创设情境，回顾复习以前的相关知识，以便形成知识迁移，出示负数与正数相乘的乘法引出新课。以给学生造成“心求通而未能得，口预言而未能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到新的探索活动中就过来。
教学要求与效果：在以上活动１中学生通过加法运算和乘法的意义很快猜想出负数乘以正数的结果，对于有理数相乘有几种情况学生也很容易的得出，但对负数乘以负数心中存有疑惑，为下一个环节留下悬念。
第二环节：师生互动，探究新知
活动2：如图，一只蜗牛沿直线L爬行：它现在位置恰在L上的点0.
0 2 4 x
如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
（+2）×（+3）=+6
如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
（-2）×（+3）=-6
如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？
（+2）×（-3）=-6
如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？
（-2）×（-3）=+6
思考：一个数同0相乘，如何解释？
活动3：（1）那么下列一组算式的结果应该如何计算？请同学们思考：
（－３）×３＝_____;
（－３）×２＝_____;
（－３）×１＝_____;
（－３）×０＝_____.
（２）当同学们写出结果并说明道理时，让学生通过观察这组算式等号两边的特点去发现积的变化规律，然后再出示一组算式猜想其积的结果：
（－３）×（－１）＝______;
（－３）×（－２）＝______;
（－３）×（－３）＝______;
（－３）×（－４）＝______.
活动4：
正数乘正数积为______数。
负数乘正数积为______数。
正数乘负数积为______数。
负数乘负数积为_____数。
乘积的绝对值等于各乘数绝对值的___________
归纳：
有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0.
活动意图：培养学生从图形语言和文字语言中获取信息的能力，感受用数学知识解决实际问题，体验算法多样化。在本环节中，给与学生充分的合作交流、自主探索的时间和空间。通过设置活动2并用课件向学生演示蜗牛在直线上的运动过程，激发学生的学习兴趣。而且设置了四个问题：第一个问题，可以看成是与以前学过的乘法一样，学生容易理解。第二个问题中，结合有理数加法时的讲法，向右为正，向左为负，很容易得出负数与正数相乘结果。第三个问题是关键，在这个问题中，对于时间规定了现在前为负，有了这个规定，就可以得出正数与负数相乘的结果。通过设置活动3以算式求解和探究问题的形式引导学生逐步深入的观察思考，从负数与非负数相乘的一组算式中发现规律后，猜想负数与负数相乘的积是多少，通过对两组算式的观察，归纳，概括出有理数的乘法法则，并用语言表述之，以培养学生的观察能力，猜想能力，抽象能力和表述能力。通过设置活动4，引导学生用数学语言准确地描述以上实例的运算结果，培养学生从特殊归纳一般的意识，提高学生整合知识的能力，以填空形式引导学生对照实例自主完成，进一步引导学生观察积的符号的特点，师生共同归纳出有理数的乘法法则。
教学要求与效果：（1）在以上活动2中可得到“蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置”对于这个算法和结论学生是没有疑义的，但对活动２中得到“蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，记作－2cm，3分钟后蜗牛所在的位置为（－2）+（－2）＋（－2）＝（－2）×3＝-6 cm”的意义是“蜗牛在-6cm位置”会产生疑义，教师应不失时机地复习负数的有关知识，解释“蜗牛在右边-6cm位置”与“蜗牛在左边6cm位置”是等价的。
（2）本环节的设计理念是学生通过观察思考，亲身经历感受乘法法则的发现过程，并在合作交流中互相补充，完善结论.但在实际过程中，学生对结论的表述有困难，或者表达不准确，不全面，对于这些问题，教师绝不能求全责备，而应循循善诱，顺势引导，帮助学生尽可能简练准确的表述，也不要担心时间不足而代替学生直接表述法则.
（3）展示两组算式时，注意板书艺术，把算式竖排，并对齐书写，这样易于学生观察特点，发现规律.
第三环节：分析法则，掌握实质
活动5 ：
填空
1.（—5）×（—3）同号相乘
（—5）×（—3）=+（ ）______得正
5×3=15把绝对值相乘
2.（—7）×4__________
（—7）×4=—（ ）___________
7×4=28__________
（—7）×4=__________
归纳：有理数相乘，先确定积的_____ ，再确定积的 _____________.
活动意图：通过设置活动5让学生去探索，从新的角度去认识乘法，并用课件向学生展示问题，引导学生理解法则的实质。在本环节留给学生充分探索交流的时间和空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，让学生经过自主探索、合作交流从深层次理解法则，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯的记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。对学生及时进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，且关注学生的情感体验。
教学要求与效果：（１）教科书中没有这个环节的要求，但在教学中应该设计这个环节，确实让学生体验经历验证过程。
（２）本环节的重点是验证乘法法则的正确性而不是运用乘法法则计算，所以在验证过程中，既要用乘法法则计算，又要加法法则计算，真正体现验证的作用和过程。
（３）在用乘法法则计算时，要注意其运算步骤与加法运算一样，都是先确定结果的符号，再进行绝对值的运算.另外还应注意：法则中的“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘而言的，”不可以运用到加法运算中去。
第四环节：解决问题，综合运用
例1 计算
（-3）×9 （2） （-！/2)×2 （3）（-！/3)×（-3） （4）（-2/3)×（-3/2）
注意：乘积是１的两个数互为倒数．一个数同+1相乘，得原数，一个数同-1相乘，得原数的相反数。
例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-60C，攀登3km后，气温有什么变化？
问题：实际生活中，还存在其他类似的例子吗，说出来和大家一起分享吧！
思考：用“＞”“＜”“＝”号填空。
（1）如果a＞0，b＞0， 那么a·b____0.
（2）如果a＞0 b＜0, 那么a·b____0.
（3）如果a＜0, b＜0 , 那么a·b____0 .
（4）如果a=0, b≠0, 那么a·b____0（
例3.计算
⑴（－４）×５×（－０.２５）； ⑵（－3÷5）×（－5÷6）×（－2）；
结论：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.只要有一个数为零，积就为零。
活动意图：为培养学生发散思维和规范解题的习惯，引导学生运用有理数的乘法法则解决两个例题，且明确倒数的定义在有理数范围内仍有意义。最后用问题；“实际生活中，还存在其他类似的例子吗，说出来和大家一起分享吧！”再次激起学生的求知欲望和主人翁的学习姿态。本环节通过让学生独立思考、分组讨论，进一步培养学生的合作意识，使学生有效的理解本节课的难点。
教学要求与效果：（1）例题讲解板书时，要注意格式归范，一开始对每一步运算应注明理由，运算熟练后，可不要求书写每一步的理由；
（2）在计算完例１的⑶⑷小题后，引出有理数的互为倒数的概念的同时，要注意复习互为相反数的概念，避免产生混淆错误，并注意本节课不讨论如何求倒数的问题；
（３）例3讲解之后，要启发学生完成＂议一议＂的内容，鼓励学生通过对例２的运算结果观察分析，用自己的语言表达所发现的规律，学生有困难时，教师可设置如下一组算式让学生计算后观察发现规律，而不应代替学生完成这个任务.
（－１）×２×３×４＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×３×４＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×（－３）×４＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×（－３）×（－４）＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×（－３）×（－４）×０＝＿＿＿＿＿.
通过对以上算式的计算和观察，学生不难得出结论：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.只要有一个数为零，积就为零.当然这段语言，不需要让学习背诵，只要理解会用即可.
第五环节：体验成功，享受快乐
活动6
1.抢答题
（1）、翻牌游戏
老师任意摸两张扑克牌，学生说出它的积，规定：红色为正，黑色为负。
（2）、计算
①6×（-9） ②（-4）×6 ③（-6）×（-1）
④（-6）×0 ⑤(–)×(–) ⑥(-1/3)×18
（3）、写出下列各数的倒数。
1，-1，1/3, -1/3, 5, -5, 2/3, -2/3.
2、商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与原价销售同样数量的商品相比，销售额有什麽变化？
活动意图：对有理数乘法法则的巩固和运用，练习和提高。抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并让学生在抢答中体验成功，享受快乐。同时让学生通过本环节进一步理解有理数乘法法则，并在实际问题中进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。
教学要求与效果：学生刚开始训练时注意板书格式，要注意格式归范，一开始对每一步运算应注明理由，运算熟练后，可不要求书写每一步的理由；
第六环节：总结收获，畅谈体会
1、今天这节课我学到的新知识是________
2、今天这节课我学到的数学思想或解决问题的方法是_______________________
3、今天这节课给我留下印象最深的是_______
4、今天这节课留给我的疑惑还有__________
活动意图：在课堂临近尾声时，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价，让学生充分发表自己的感受，并相互补充。及时有效的回顾小结，进一步明确本节课的主要内容、思想和方法，同时培养学生的归纳能力和语言表达能力，以及善于反思的好习惯。让学生品尝收获的喜悦，坚定今后学习数学的信心。
活动注意事项：学生小结时，可能会有语言表达障碍或表达不流畅，但只要不影响运算的正确性，则不必强调准确记忆，而应鼓励学生大胆发言，同时教师可用准确的语言适时的加以复述.
第七环节：布置作业，巩固深化
一、数学小日记 日期_________ 今天数学课的课题：__________________
所涉及的重要的数学知识______________理解最好的地方______________________
不明白或还需要进一步理解的地方______
所学的内容能够应用在而常生活中，举例说明_____________________________________
二、必做题
1、计算.
（1）（-8）×（-7） (2) 12×(-5) （3）2．9×（-0．4） （4）-30．5×0．2
（5）100×（-0．001） (6)-4．8×(-1．2） （7）（–72）×（+1）
2、小欣到知慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口有一些写着整数的数字按纽，此时传来了一个机器人的声音“按出两个数字，积等于8”，请问小欣有多少种按法？你能一 一写出来吗？（不管顺序）
选做题
1、（+3）×（3–7）× ×
2、小丽收集了9个可乐瓶盖，她把9个瓶盖都盖口朝上排放成一行，她每次都任意翻动两个瓶盖（盖口朝上的翻成朝下，盖口朝下的翻成朝上），问她能否经过若干次翻动后，所有的瓶盖都盖口朝下？
活动意图：新课程强调发展学生的数学交流能力，用小日记给学生提供一种表达数学思想和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。必做题和选做题，体现分层教学，让“不同的人在数学得到不同的发展”，从而让学生巩固本节所学知识，并能解决实际问题。
活动注意事项：对必做题１的计算，应要求学生对每一步的理由要写出来，以巩固有理数的乘法法则，以后的计算可省去理由.。对选做题2注意提醒学生做题的技巧。
五、教学反思
在教学过程中，我始终：以观察为起点，以问题为主线，以能力培养为核心的宗旨：遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；遵循由已知到未知、由浅入深、由易到难的认知规律，采用诱思探究教学法，通过课件和师生的双边活动，使学生的知识和能力得到提高。通过创设、引导、渗透、归纳等活动随时搜集和评价学生的学习情况，及时反馈调节，查漏补缺，从而更好的促进学生全面、持续、和谐的发展。主要体现在：
1.创造性的使用教材
本节的问题情境教科书提供的是水位的上升，为了激发孩子们的兴趣，.我选用的是蜗牛的爬行，在教学中我们也可以采用其他的问题情境引入课题，例如利用数轴引入，或利用飞机的上升和下降引入，或利用收入和支出引入，总之，根据自己的学生所熟悉的问题，选择一种情境引入都可以.
2.相信学生的探索能力
本节课的内容适合学生探索，只要教师适当引导，学生具有能力探索出有理数的乘法法则的，不需要教师代替，也不能代替.
3.合理使用多媒体教学手段可以弥补课时的不足，但绝不能代替必要的板书.
知识拓展
1.确定下列各题中有理数a与b的符号，其中|a|＞|b|
(1)已知a+b>0,a×b>0;
(2)已知a+b>0,a×b<0;
(3)已知a+b<0,a×b>0;
(4)已知a+b<0,a×b<0.
答案：（1）a>0,b>0; (2)a>0,b<0; (3)a<0,b<0; (4)a<0,b>0.
课件9张PPT。七年级数学(上)和老师一起学数学!走进课堂 放飞梦想7.有理数的乘法（第二课时）创设问题，情景导入：活动1（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：□×○和○×□，有什么发现？
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：（□×○）×◇和□×（○×◇），又有什么发现？
（3）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：□×（○+◇）和□×○+□×◇），又有什么发现？
（4）通过计算积的比较，猜想乘法运算律在有理数范围内是否适用。活动2
（1）有理数加法法则和乘法法则各
是什么？
（2）如何进行有理数乘法运算？乘法运算符号如何规定？
（3）在小学学过哪些运算律？ 符号表达，知识升华活动3下列等式成立吗?为什么?
(1) (-765)×4=4×(-765);
(2) [7×(-8)] 3=7 ×[(-8) ×3];
(3) (-5) ×[1/2+(-1/3)]= (-5) ×1/2+(-5 )×(-1/3) .如何用字母来表示乘法运算律？有理数乘法的交换律：ab=ba
有理数乘法的结合律：（ab）c=a（bc）
有理数乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac (2) (-8) ×(-6) ×(-0.5) ×整体感知，双边互动活动4 例1计算：
(1) (-0.25)×(－ )×(-4)
例３，计算：
⑴（－5÷6＋3÷8）×（－24）
⑵（－7）×（－4÷3）×5÷14例2计算
(-24)×(- + + )课堂小结，知识归纳 活动5 1、今天这节课我学到的新知识是________
2、今天这节课我学到的数学思想或解决问题
的方法是_______________________
3、今天这节课给我留下印象最深的是_______
4、今天这节课留给我的疑惑还有__________归纳：⑴运算律的语言表述；
⑵运算律的符号表示；
⑶运算律的作用。布置作业 课外延伸一、数学小日记 日期_________
今天数学课的课题：__________________
所涉及的重要的数学知识______________
理解最好的地方____________________
不明白或还需要进一步理解的地方______
所学的内容能够应用在日常生活中，举例说明____________________________________ 二、必做题 课后习题 ） (8)（–三、选做题：谢 谢第二章 有理数及其运算
7. 有理数的乘法（二）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过四则运算的五条运算律，并初步体验到了运算律可以简化运算，具备了对非负有理数运用运算律进行简便运算的意识和技能。在本章的第四节的第二课时又熟悉了有理数的加法交换律与加法的结合律，并经历了它们的探索活动过程，具有了探索学习有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律的基本技能基础，尤其是上节课有理数的乘法法则更是重要的知识基础。
学生的活动经验基础：学生在探究有理数加法的交换律、结合律的活动过程中，已经有了切身的体验，积累了经验，丰富了阅历，并体会到了运算律对有理数加法的简化作用，这不仅在探索方法上提供了经验基础，而且从情趣意识、求知欲望上也为本节可增添了兴趣基础。另外上节课学生在有理数乘法法则的训练过程中曾经出现的问题和解决修正的过程，也是本节课学习的有用经验。
二、学习任务分析
教科书在学生已掌握了有理数加法、减法、乘法运算的基础上，提出了本节课的具体学习任务：探索发现有理数长法的运算律，会运用运算律简化运算过程。本节课的教学目标是：
经历探索有理数的乘法运算律的过程，发展观察、归纳、猜想、验证等能力。
学会运用乘法运算律简化计算的方法，并会用文字语言和符号语言表述乘法运算律。
在合作学习过程中，发展合作能力和交流能力。
三、教学策略
对于认知的主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用诱思探究式教学法并采用多媒体等现代教学手段。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、自主探索、合作交流、动手实践”的氛围中愉快地学习，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人.
四、教学过程设计
本节课设计了六个环节：第一环节：创设问题，情景导入；第二环节：符号表达，知识升华；第三环节：整体感知，双边互动；第四环节：课堂小结，知识归纳；第五环节：布置作业，课外延伸。
第一环节：创设问题，情景导入
活动1（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：□×○和○×□，有什么发现？
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：（□×○）×◇和□×（○×◇），又有什么发现？
（3）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：□×（○+◇）和□×○+□×◇），又有什么发现？
（4）通过计算积的比较，猜想乘法运算律在有理数范围内是否适用。
活动2（1）有理数加法法则和乘法法则各是什么？
（2）如何进行有理数乘法运算？乘法运算符号如何规定？ （3）在小学学过哪些运算律？
活动目的：活动1问题（1）中的材料，与学生以前知识有关，容易吸引学生的学习注意力。问题（2）、问题（3）紧接着问题（1），让学生进行讨论。复习巩固有理数的乘法法则，训练学生的运算技能，通过比较结果，探究猜想乘法交换律、结合律、分配律在有理数范围内使用的结论，从而引入本节课的课题：乘法运算律在有理数运算中的应用。在前三个问题的基础上，设计活动2的主要目的是引导学生认识学习进行猜想并归纳，培养学生的数学交流水平和简单的抽象建模能力。
活动的注意事项：在以上的活动中，学生在计算过程中肯定会有一些错误，教师应事先有所预料，可采取分组竞赛的方式进行活动以激发兴趣和提高运算准确性和述度，同时教师应有针对性的巡视，对有困难的学生加以指导和帮助，并对学生的表现给出正面评价。学生经过正确计算后，自然会发现计算结果分别相等。此时，教师应出示相等的算式，最好用投影展示：□×○=○×□，（□×○）×◇=□×（○×◇），□×（○+◇）=□×○+□×◇）这样便于学生观察猜想，乘法的运算律在有理数范围内适用。在活动中让学生分组讨论，思考，交流后回答问题。
第二环节：符号表达，知识升华
活动3（１）用投影片展示一组等式，请同学们判定等式成立的依据是哪条运算律，并口述对应运算律的内容。
下列等式成立吗?为什么?
(1) (-765)×4=4×(-765);
(2) [7×(-8)] 3=7 ×[(-8) ×3];
(3) (-5) ×[1/2+(-1/3)]= (-5) ×1/2+(-5 )×(-1/3) .
（２）思考：如何用字母来表示乘法运算律。
有理数乘法的交换律：ab=ba
有理数乘法的结合律：（ab）c=a（bc）
有理数乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac
活动目的：这个环节的设计目的，一方面是让学生在具体等式中熟悉运算律，并再一次叙述运算律的内容，从而加深印象，明确应用；另一方面是让学生用符号语言来表达运算律。事实上，运算律是经过对具体算式的探索，猜想发现的一般化的表示形式，它有多种表达方法（文字语言、符号语言、图形语言），其中符号语言方法，更能简捷深刻地揭示问题的共性，有助于对一般问题的认识，而且为数学交流提供了有效途径，特别能有效地发展学生的符号感及运用符号解决问题的能力，进行推理判断的能力。
活动的注意事项：运算律的文字语言叙述一般问题不大，而符号语言的表达学生会有困难，教师应有充分的预见性，并切实帮助学生正确的得到运算律的符号表达，至于学生采用那些字母，是否小写等等问题，教师不应求全责备，只要正确，就要鼓励，最后教师可将结论统一，用投影片展示规范的符号表达。学生在表述出现语言障碍，教师应设法给予帮助，但主要应由学生通过回忆、讨论、交流、修正、补充自己完成，而不能由教师代替。实践证明，只要相信学生，并适当引导，学生是能够完成任务的。学生独立完成例题，教师给予明确答复：有理数相乘时，积的符号由因数中负因数的个数决定，“奇负偶正”
第三环节：整体感知，双边互动
活动4分组讨论，得出结论，有理数乘法仍满足交换律，结合律和分配律。
(出示例题)
例1计算：
(1) (-0.25)×(－)×(-4)
(-8) ×(-6) ×(-0.5) ×
例2计算
(-24)×(-++)
例３，计算：
⑴（－5÷6＋3÷8）×（－24）
⑵ （－7）×（－4÷3）×5÷14
用两种方法计算，并比较哪种方法较简便。
讨论：积的符号与因数中负因数的个数的关系。
教科书“随堂练习”。
１、计算： ⑴ ０×（－5÷6） ； ⑵３×（－1÷3）；
⑶（－３）×０.３ ； ⑷（－1÷6）×（－6÷7）；
２、计算：⑴（－3÷4）×（－８）； ⑵３０×［（－1÷2）－（1÷3）］；
⑶ （０.2５－2÷3）×（－３６）； ⑷８×（－4÷5）×1÷16
活动目的：师生互动，将知识所学进行拓展延伸。得出积的符号与负因个数的关系。以讨论回顾的形式口头表达乘法运算律，一方面达到训练学生语言表达能力的目的，另一方面达到理解乘法运算律的目的，并为本课时下一环节的实施作准备。对有理数乘法法则的巩固和提高运算技能，对运算律的运用使计算简便。
活动的注意事项：例题讲解时，需对两种解法进行板书，以比较两种解法的过程，体现运算律可简化计算的作用，提高学生合理使用运算律的意识。另外对体现环节的练习题不宜补充复杂的计算题，因为有理数运算重点是对运算法则和运算律的理解，所以切记因为小数、分数的繁杂运算冲淡学生的主题，况且对于复杂的计算，我们提倡使用计算器，而不能过分讲究运算技巧，最后还应关注学生在计算过程中的情感态度，培养学生认真细心的良好习惯。：
第四环节：课堂小结，知识归纳
活动5由学生进行课堂小结；⑴运算律的语言表述；⑵运算律的符号表示；⑶运算律的作用；
教师扩展：（方法归纳）
本节课我们不仅要正确运用有理数乘法法则来进行运算，更要注意符号的确定对有理数乘法的意义，使运算更简便，使计算更准确。多个有理数相乘时，积的符号由因数中负因数的个数决定，“奇负偶正”。 在用运算律进行简化计算时，要仔细审题，看能否用运算律简便而准确，有时将式进行适当变形，有时用逆向分配律，运用技巧解决复杂计算问题。
活动目的：培养学生的口头表达能力，提高学生的课堂主人翁精神和积极参与意识。梳理本课所学的知识，同已有知识建立联系
活动的注意事项：学生在小结过程中，可能会有畏难情绪，教师要鼓励学生积极参与，并给予适时恰当的评价，特别要关注平时表现不积极不勇跃的同学，多给他们以帮助，鼓励和发言的机会，提高他们的自信。
第五环节：布置作业，课外延伸。
活动6
（一）数学小日记 日期_________
今天数学课的课题：__________________
所涉及的重要的数学知识______________
理解最好的地方____________________
不明白或还需要进一步理解的地方______
所学的内容能够应用在日常生活中，举例说明____________________________________
(二)必做题：教科书第７９页知识技能１，联系拓广１、２。
(三)选做题：1.登山队员攀登珠穆朗玛峰，在海拔3000m时，气温为-20℃，已知每登高1000m，气温降低6℃，当海拔为5000m和8000m时，气温分别是多少？
2．某班分小组举行知识竞赛，评分标准是：答对一道题加10分，答错一道题扣10分，不答不得分．已知每个小组的基本分为100分，有一个小组共答20道题，其中答对了10道题，不答的有2道题，结合你学过的有理数运算的知识，求该小组最后的得分是多少．
活动目的：复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能。学生巩固、提高、发展。
活动注意事项：联系拓广的第１题是乘法法则反过来思考，一方面培养学生逆向思维能力，从而进一步巩固乘法法则。另一方面是训练学生文字表达能力，一定要认真批阅这个作业，并及时反馈，纠正不当说法；第２题是训练学生符号语言表达能力，同样要关注。
四、教学反思
１、要关注学生对有理数运算法则和运算律的理解水平，对法则和运算的学习评价，不应单纯考查记忆和具体计算，而应对运算的评价重点放在学生对算理的理解上，考察学生能否根据实际问题的特点选择合理简便的算法，
２、本节习题中联系与拓广中两题带有“＊”号，仅仅是面向学有余力有特殊数学学习需求的学生，并不要求所有学生都去完成它。在实际情况中也正说明这一点，收回的作业，学生的解答和理解有很大的差异，既增添批改的难度，又出现一些思维上的负面影响，所以对今后的作业布置，一定要区别对待，有所选择。
３、本节课的设计中，教师是以组作者，引导者的身份出现在每一个环节，在这个过程中培养了学生观察、归纳、验证的能力。并通过用自己的语言描述运算律，培养了学生的语言表达能力，用符号的语言描述运算律，发展了学生的符号感。在学习活动中，学生获得了成功的体验，增强了自信。
4、有理数乘法的教学，是教学中的重点。学生也能很快融会贯通，只是计算中还存在着一些问题，练习过程中我一一指正，并提出要求，针对学生加减运算中的薄弱环节，在乘法中加入加减运算的练习，让学生在练习中自己总结经验，牢记结论，做到在简单的运算中不失分。在教学过程中，我深深感到基本计算能力薄弱，导致所学知识掌握不牢，每道题目都要进行详细的解答和板书，从而浪费了很多时间，加强计算能力的培养，有利于加强学生解题的正确性，提高学生的自信心。在教学设计上，一节课很难练习多个题目，容量总是提高不起来，导致学生的视野狭窄，由于学生的自觉性很差，不可能自己去找题目做，因而熟练程度很低，我感觉只有加强课后练习和辅导，才会在一定程度上提高学生的视野，扩大他们的知识面。这样的教学方法有利于培养学生的分类讨论的能力。应该把推导的过程留给学生，教师只是起到引导学生进行思维的作用，不要代替学生思维和推导。
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：有理数的乘法（1） 编写人：初一数学组
一、学习目标：
经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力。
会进行有理数的乘法运算，能准确进行有理数乘法计算。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容及解决策略
学法指导
一、探究学习：
1、在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题，请根据日常生活经验，回答下列问题：
（1）如果水位每天上升4cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
（2）如果水位每天上升4cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
（3）如果水位每天下降4cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
（4）如果水位每天下降4cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
我们规定水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负；你能用正数或负数表示上述问题吗？你算的结果与经验一致吗？
2、 填写书49页“议一议”
你发现：一个因数减小1时，积怎样变化？
3、两个有理数相乘，积的符号怎样确定？积的绝对值怎样确定？小组讨论，总结、归纳得出有理数乘法法则。
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与0相乘都得0。
例1、计算 （1）（- 4）×5； （2）（- 5） ×（-7）
（3）－5×12 （4）－×
4、我们已经学会了两个有理数相乘，那多个有理数相乘又如何运算呢？
（－2）×3×4×5×6=
（－2）×（－3）×4×5×6=
（－2）×（－3）×（－4）×5×6=
（－2）×（－3）×（－4）×（－5）×6=
（－2）×（－3）×（－4）×（－5）×（－6）=
观察结果：你发现规律了吗？
总结、归纳得：
几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数来确定。当负因数有 个时，积为负；当负因数有 个时，积为正；
几个有理数相乘，有一个因数为 时，积就为0。
例2、计算：
（1） 3×××4 （2） 15×××0
二知识巩固
1．填空
_______×（-2）=-6 ； （-3）×______=9 ；______×(-5)=0
2.下列说法中正确的是（ ）
A.同号两数相乘,符号不变
B.异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号
C.两数相乘,积为正数,那么这两个数都为正数
D.两数相乘,积为负数,那么这两个数异号
3. 两个有理数，它们的和为正数，积也为正数，那么这两个有理数 （ ）
A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 符号不能确定
4. 如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数 （ ）
A.符号相反 B.符号相反且绝对值相等
C.符号相反且负数的绝对值大 D.符号相反且正数的绝对值大
5.若ab=0，则( )
A. a=0 B. b=0 C. a=0或b=0 D. a=0且b=0
6．判断
① 同号两数相乘，取原来的符号，并把绝对值相乘。 （ ）
② 两数相乘积为正，则这两个因数都为正。 （ ）
③ 两数相乘积为负，则这两个因数都为负。 （ ）
④ 一个数乘（-1），便得这个数的相反数。 （ ）
?
?正确理解上升与下降表示的具体含义。列式解答
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
注：计算时，先定符号，再把绝对值相乘，切勿与加法混淆。
?
?
?
同级运算，从左到右依次计算。?
?
?
?
?
?
?
?
?
认真观察
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
当堂检测
计算
5×（-4）= ； （-0.25）×0= ；
（-8）×（-5）= ； （-1.25）×（-8）= 。?
2. 两个有理数a,b满足下列条件,试判断a,b的正负。
A. a＋b＞0，ab＞0 a 0 , b 0
B. a＋b＜0，ab＞0 a 0 , b 0
3.若a﹥0，b﹤0，c﹤0，则ab﹢c为（ ）
A.正数 B.负数 C.零 D.无法确定
4.计算
（1） × （2）6× （3）－×
（4）×16 （5） 3×××4 （6） 15×××0
（7） －8×[―] （8）5×―×
5.若三个有理数的乘积为负数，则在这三个有理数中，有 个负数。
思考：规定一种新的运算：a△b＝a×b－a.如，3△4＝3×4－3
（1）计算－5△6＝ ；
（2）比较大小：△4 4△
作业布置
学用通： 有理数的乘法（1）
?
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：有理数的乘法（2） 编写人：初一数学组
一、学习目标：
经历探索有理数乘法运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力。
能准确运用乘法运算律简化计算。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容及解决策略
学法指导
一、一起来探索
1、计算：(1)(－6)×(－7)= (－7)×(－6)=
(2)[(－3)×(－5)]×2 = (－3)×[(－5)×2]=
(3)(－4)×(－3＋5)= (－4)×(－3)＋(－4)×5=
思考：在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律还成立吗？请你换一些数试一试。
2.有理数乘法运算
交换律 结合律
分配律
练习:（用两种方法计算，比较哪种比较简便）
（1）8×(－ )×(－0.125)
思考：比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法运算量小？
二、问题讲解
问题1..计算
(1)8× (2) (—4)×(— ) (3) (— )×(—)
参照课本50页：互为倒数的意义______________________________________
倒数等于本身的数是 ;绝对值等于本身的数是 ;相反数等于本身的数是 . (这个知识点一定要牢记)
问题2：计算
（1）（—4）×5×（—0.25） （2）
（3）()×（—36)
三、知识巩固
1．运用运算律填空．
（1）－2×(－3)＝－3×（_____）．
（2）[－3×2]×（－4）＝－3×[（______）×（______）]．
（3）－5×[－2＋（－3）]＝－5×（_____）＋（_____）×（－3）
2.若a×b<0 ,必有 ( )
A a<0 ,b>0 B a>0 ,b<0 C a,b同号 D a,b异号
3.运用运算律计算：
(1) (2)100×(-3)×(-5)×0.01
(3) （+-）×24
【小结】1、两个数相乘，交换因数的位置，积相等，ab=ba；
2、三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，（ab）c=a(bc)；
3、一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，a(b+c)=ab+bc；
?
?
?
用字母表示?
?
?
?
方法一：同级运算，从左到右?
?方法二：乘法运算律
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
辨别清楚倒数，绝对值与相反数
?
?
?
?思考：怎么计算更简便
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?认真思考，仔细解答
?
?
?
?
?
?
?注意：用简便方法计算
?
?
?
?熟记乘法运算律?
当堂检测
1.计算：（先确定符号，再算绝对值）
（1） (2)（+-）×12
（3）（--）×12 （4）（-5）×8×（-0.4）×（-1.25）
（5）（-5）×6×（-）× （6）()×××)
2. 已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是1，求：3x—［(a＋b)＋cd］的值
3.思考： 定义一种运算符号△的意义：a△b=ab—1，
求：2△(—3)和2△［(—3)—5］的值分别是多少？
作业布置
学用通： 有理数的乘法（2）
?
拓展训练
1.如果一个数的绝对值与这个数的商等于－1，则这个数是（ ）
A.正数 B.负数 C.非正 D.非负
2.下列说法错误的是（ ）
A.正数的倒数是正数 B.负数的倒数是负数
C.任何一个有理数a的倒数等于 D.乘积为－1的两个有理数互为负倒数
3．计算：
（1）××÷ （2） ÷
4．若，，请判断b的符号。
5．若a、b是有理数，且ab≠0，试求的值.
课件11张PPT。北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算宜昌市第五中学 胡青 余红军北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法知识引入（－12）÷（－3）＝被除数＝除数×商那么：－12＝（－3 ） × ？4在小学里我们知道除法是乘法的逆运算？我们知道只有：（－3）× ＝－12北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法思考归纳从以上算式，你能归纳出有理数的除法
有什么特点与规律吗？－3－2530两个有理数相除，同号得正，异号得负，
并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0
注意：0不能作除数。北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法例题学习北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法例题学习（1）（－15）÷（－3）（4）（－12）÷（－ ）÷（－100）（3）（－0.75）÷0.25例1.计算：北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法例题学习（1）（－15）÷（－3）（2）12÷（－ ）例1.计算：（3）（－0.75）÷0.25解：（3）原式＝－（ 0.75 ÷ 0.25 ）＝－3解：（1）原式＝+（15÷3）＝5北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法例题学习例1.计算：北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法探究发现（1）1÷（－ ）与1×（－ ）（2）0.8÷（－ ）与0.8×（－ ）（3）（－ ）÷（－ ）与
（－ ）×（－60 ）比较下列各组数计算结果：15北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法例题自学例2：计算：北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法课内小结有理数的除法法则两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0
注意：0不能作除数。除以一个数等于乘以这个数的倒数法则1法则2北
师
大
版
七
年
级
上
册
有
理
数
的
除
法作业布置请完成课后的随堂练习和习题2.12第二章 有理数及其运算
8．有理数的除法
宜昌市第五中学 胡青 余红军
－、 学生起点分析
学生的知识技能基础：在小学时，学生已熟知非负数的乘法与除法运算：因数×因数＝积，当已知积和其中一个因数时，要求另一个因数，便是除法运算。如图所示：
而且也熟悉乘法与除法互为逆运算，同时也知晓“除一个数等于乘以它的倒数的运算”的法则。前几节学过的有理数乘法法则以及运算律、倒数的概念等等，也是本节课学习的重要基础.
学生的活动经验基础：前几节课采用“做一做、想一想、议一议”即探索、猜想、验证的手段，更是本节课继续学习的研究方法。学生也就不难理解本节课将有理数的除法转化为有理数乘法来归纳出有理数的除法法则。
二、学习任务分析
根据乘法与除法互为逆运算的关系来探索发现有理数除法的两条运算法则，会选择运用有理数的除法法则进行有理数的除法运算。
本节课的教学目标：
1.理解有理数除法的法则，体会除法与乘法的关系。
2.会进行有理数的除法运算。
3.会求有理数的倒数。
三、教学过程设计
本节课设计了七个环节：第一环节：知识引入；第二环节：思考归纳；第三环节：例题学习；第四环节：探究发现；第五环节：例题自学；第六环节：课内小结；第七环节：作业布置；
第一环节：知识引入
活动内容：（1）前面我们学习了“有理数的乘法”，那么自然会想到有理数有除法吗？如何作有理数的除法呢？开门见山，直接引出本节知识的核心。投影显示：
（－12）÷（－3）＝？
（2）回忆小学里乘法与除法互为逆运算，并提问：被除数、除数、商之间的关系：
学生回答：被除数＝除数×商
所以我们只需找到－12＝（－3）×？就能找到商是多少。学生很容易猜想到：
－12＝（－3）×4
活动目的：利用乘法与除法互为逆运算关系，将有理数的除法转化为有理数的乘法来解决，为下一环节的学习作好准备.
活动的注意事项：在学习过程中，一定要抓住被除数＝除数×商，来猜想：
（－12）÷（－3）＝4.
第二环节：思考归纳：
活动内容：（1）以提问的形式，让学生“猜想”出以下除法的运算结果：
①（－18）÷6＝ ；②＝ ；
③（－27）÷（－9）＝ ；④0÷（－2）＝ 。
（2）在活动（1）的基础，请同学们想一想，通过观察以上算式，看看商的符号及商的绝对值与被除数和除数的符号及绝对值之间有何关系？从中归纳猜想出一般规律，并用自己的语言叙述规律.
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0
注意：0不能作除数。
活动目的：从特例中进行观察、比较发现并归纳猜想想出有理数的除法法则.
活动的注意事项：鼓励学生要进行大胆地猜想，并能善于用比较发现的方法来归纳出有规律性的结论。在活动中教师可以根据实情安排一点时间和空间让学生讨论，并类比乘法法则，得出除法法则：要先确定结果的符号，再确定结果的绝对值。0不能作除数的规定，总之，除法的运算法则要由学生归纳得出，教师适当补充和修正。
第三环节：例题学习
活动内容：（1）用投影片展示教科书本节中的
例1：计算：⑴（－15）÷（－3）； （2）12÷（－）；
⑶（－0.75）÷0.25 ； ⑷（－12）÷（－）÷（－100）.
活动目的：对有理数除法法则的理解和运用，题中的第（4）题是为了得到多个数相除商的符号判定方法设计的.
活动的注意事项：（1）例题讲解前，可让学生自己先试着做一做，然后老师加以引导，书写过程要体现除法法则的应用步骤：先确定商的符号，再把它们的绝对值相除，最后写出计算结果.
（2）例题中第（4）题的讲解时，方法一，可按顺序依次两个数相除进行；方法二：可以类比多个数相乘确定符号的方法进行，从而转化成非负数相除的情形.
第四环节：探究发现.
活动内容：（1）做一做（用投影片展示）
计算： ⑴1÷（－） 与 1×（－）；
⑵0.8÷（－） 与 0.8×（－）；
⑶（－）÷（－）与 （－）×（－60）.
（2）计算出结果后，请同学们比较每一组小题中两个结果，从中发现了什么特点，由此你联想到你们所学的什么知识呢？并试着用语言叙述其中的规律：
除以一个数等于乘以这个数的倒数
活动目的：活动⑴一方面是除法法则一的进一步理解与巩固，以达到较为熟练的目的，另一方面主要是为活动⑵提供探究发现作好铺垫，活动⑵是让学生通过观察每一小题的结果，发现规律，并思考得出除法的另一个法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；
活动的注意事项：（1）活动⑵）中要让学生从探究中产生联想并发现这就和小学就已熟知除法法则：“除以一个数等于乘以这个数的倒数”有着同样的规律.
第五环节：例题自学
活动内容：（1）有了利用有理数的除法法则一来学习本节中的例1中的除法运算的基础，可以让学生自己尝试完成例题2的学习：
例2：计算：
（1）（﹣18）÷（﹣）； （2）16÷（﹣）÷（﹣）
（2）教师可以不必对例2进行讲解，只需强调仿例1的过程来完成计算过程的书写.同样例题2中的（2）也可仿例1中的（4）小题中出出多个数的除法运算时的两种处理方法。
活动目的：培养学生敢于尝试，主动学习的精神，并能比较有理数的除法的两种法则的特点，并在今后的应用中注意两种法则的选取有一个心理准备.
活动的注意事项：教师在总结有理数运算法则的应用时，要根据题目特点，恰当选择有理数除法法则进行计算.实质上有理数的除法法则二，意图将除法运算转化为我们熟知的乘法运算来完成，也突出了数学学习过程中转化思想。
第六环节：课内小结：
活动内容：（1）由提问的方式进行课堂小结，请同学们叙述除法的两个法则。
（2）教师可以指明进行有理数除法时，要根据题目特点，恰当选择有理数除法法则进行计算.并要求在学习过程中注意对运用法则的理解与掌握.
活动目的：让学生对本节课的知识有一个完整而清晰的认识。并逐步让学生养成在学习过程中善于总结归纳的好习惯。
第七环节：作业布置：
活动内容：教科书本节课后的随堂练习及习题2.12.
活动目的；复习巩固有理数的除法法则，并能较熟练地运用法则进行有理数的除法计算。
活动注意事项：对习题2.12中知识技能的第1题的完成要求学生注意仿本节中的例1或是例2的过程来书写，以巩固对有理数的除法法则；第2题，可要求学生根据本节课的所学得出求有理数的倒数的方法。
四、教学反思
1、正是由于乘法与除法互为逆运算关系：所以在探索除法的过程中，我们可以引导学生用“被除数＝除数×商”的关系来猜想、观察、探究有理数的除法法则。在小学学过的“除以一个数等于乘以一个数的倒数”的法则在有理数的除法中依然适用。让学生理解数的范围扩大后，有些知识依然适用，.在前几节课对运算法则及运算律的语言表达过程中也积累了一些数学语言，从而可对本节课除法法则的归纳进行类比学习.
本节课的学习依托于学生的认识发展水平和已有的知识经验基础上，本节课从联想、类比、猜想、转化等几个方面，向学生提供了充分的数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握有理数的除法法则，并在活动中获得了一定的数学思想与方法.在教学过程中要关注学生数学学习的态度与思想，从而鼓励学生大胆探究、敢于猜想并尝试，并在学习过程培养学生的严谨的学习习惯。
除法有相应的交换律、结合律、分配律吗
试卷上小明做错了一道题，但小明很是纳闷，不知道为什么错了。他是这样做的：
解：原式=
=
=
=
你发现他错在哪里了吗？
原来尽管有理数的除法可以转化为乘法，但除法没有相应的交换律、结合律、分配律。
，但。千万不能出错哦。请你帮小明给出正确解答。
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：有理数的除法 编写人：初一数学组
一、学习目标：
知道有理数除法的法则，体会除法与乘法的关系。
会进行有理数的除法运算。
会求有理数的倒数。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容及解决策略
学法指导
一、复习引入
1、说出下列各数对应的倒数：1、－、－（－4.5）、|－|
2、现实生活中，一周内的每天某时的气温之和可能是正数，可能是0，也可能是负数，如盐城市区某一周上午8时的气温记录如下：
周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六
－30c －30c －20c －3°c 0°c －2°c －1°c
问：这周每天上午8时的平均气温是多少？
二、探索新知：
1.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（-12）÷（-3）=﹖
由（-3）×4=-12，得（-12）÷（-3）= .(除法是乘法的逆运算)
那么：（-18）÷6= ， 5÷（--）= ，
（-27）÷（-9）= ， 0÷（-2）= 。
观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？
两个有理数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 。
0除以任何非0的数都得 。（注意：0不能作除数）
例1：（—15）÷（—3）
=+（15÷3）
=5
计算：（1）12÷（—） （2）（—0.75）÷0.25
（3）（—12）÷（—）÷(—100)
2.因为： （－14）÷7=－（14÷7）=—2 ①
又因为： （－14）×=－2 ②
所以：（－14）÷7=
通过以上分析，总结有理数除法法则。
有理数除法法则：
除以一个数等于乘 （除数不为0）
用字母表示为：a÷b= 。（注意：这表明除法可以转化为乘法来进行）
例2：（—18）÷（—） 计算：16÷（—）÷（—）
＝（—18）×
＝
三 知识巩固：
1、下列说法中，不正确的是 （ ）
A.一个数与它的倒数之积为1； B.一个数与它的相反数之商为-1；
C.两数商为-1，则这两个数互为相反数； D.两数积为1，则这两个数互为倒数；
2、下列说法中错误的是 （ ）
A.互为倒数的两个数同号； B.零没有倒数；
C.零没有相反数； D.零除以任意非零数商为0
3、如果两个有 3、两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（ ）
A.一定是负数； B.一定是正数；
C.等于0； D.以上都不是；
4、1.4的倒数是 ； 若a,b互为倒数，则2ab= ；
5、若 若
6、计算：
（1）（-27）÷9； （2）-0.125÷；
（3）（-0.91）÷（-0.13）；（4）0÷（-）；
（5）（-23）÷（-3）÷； （6）1.25÷（-0.5）÷（-）；
（7）（-45）÷[（-）÷（-）]；
?
你会解答吗？让我们一起来探索吧！
?
?
?
?
?
?
?
法则1?
?
?
认真观察运算顺序
类比有理数乘法运算，计算有理数的除法时，可以先确定结果的符号，再将绝对值相除。
?
?
?
?
??
?认真观察①②式，你有什么发现吗？
?
?
?
法则2?
?
?
?
?
?
?除法可以转化为乘法来进行
?
?
?
?
??
当堂检测
1、若ab＜0，则a÷b的值是（ ）
A、大于0 B、小于0 C、大于或等于0 D、小于或等于0
2、下列说法正确的是（ ）
A、任何数都有倒数 B、-1的倒数是-1
C、一个数的倒数必是分数 D、一个数的倒数必小于1
3、倒数等于它本身的数是 ；绝对值等于它本身的数是 ；
相反数等于它本身的数是 。
4、下列计算正确吗？为什么？
3÷0.25 ÷0.25 改正：
= 3÷（0.25 ÷0.25)
= 3÷1=3
5、计算：
(1) （）÷6 （2）0÷（-0.12）
(3)(-) ÷（-3） （4）（-378）÷（-7）÷（-9）
(5) (-18)÷(-12)÷(-) (6) （-6）÷（-4）÷（-）
6、一天，小红与小丽利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是-1℃，小丽此时在山脚测得温度是5℃。已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.8℃，这个山峰的高度大约是多少米？
作业布置
学用通： 有理数的除法
§2.8有理数的乘法（1）
教学目标
1．使学生在了解有理数乘法的意义的基础上，掌握有理数乘法法则，并初步掌握有理数乘法法则的合理性；
2．培养学生观察、归纳、概括及运算能力．
教学重点和难点
重点：有理数乘法的运算．
难点：有理数乘法中的符号法则．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
①．计算(-2)+(-2)+(-2)．
②．有理数包括哪些数？小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的？(非负数)
③．有理数加减运算中，关键问题是什么？和小学运算中最主要的不同点是什么？(符号问题)
④．根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减，运算的关键是确定符号问题，你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么？(负数问题，符号的确定)
2、学生设疑问题
? 水库的水位每小时上升3厘米，2小时上升了多少厘米？
解：3×2=6(厘米)．??????????????????????????????????????????????????????????????????? ①
答：上升了6厘米．
问题2? 水库的水位平均每小时上升-3厘米，2小时上升多少厘米？
解：(-3)×2=-6(厘米)．?????????????????????????????????????????????????????????????? ②
答：上升-6厘米(即下降6厘米)．
引导学生比较①，②得出：把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数．
这是一条很重要的结论，应用此结论，3×(-2)=？(-3)×(-2)=？(学生答)
引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0．
继而教师强调指出：
“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”．
用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比，由于介入了负数，使乘法较小学当然复杂多了，但并不难，关键仍然是乘法的符号法则：“同号得正，异号得负”，符号一旦确定，就归结为小学的乘法了．
因此，在进行有理数乘法时更需时时强调：先定符号后定值．
二．解疑合探
例：某一物体温度每小时上升a度，现在温度是0度．
(1)t小时后温度是多少？
(2)当a，t分别是下列各数时的结果：
①a=3，t=2；②a=-3，t=2；
②a=3，t=-2；④a=-3，t=-2；
教师引导学生检验一下(2)中各结果是否合乎实际．
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）
四．运用拓展
课堂练习
1．口答：(1)6×(-9)；? (2)(-6)×(-9)；? (3)(-6)×9； (4)(-6)×1；
(5)(-6)×(-1)；? (6) 6×(-1)；? (7)(-6)×0；? (8)0×(-6)；
2．口答：(1)1×(-5)；???????? (2)(-1)×(-5)；????????? (3)+(-5)；
(4)-(-5)；??????????? (5)1×a；?????? ???? (6)(-1)×a．
这一组题做完后让学生自己总结：一个数乘以1都等于它本身；一个数乘以-1都等于它的相反数．+(-5)可以看成是1×(-5)，-(-5)可以看成是(-1)×(-5)．同时教师强调指出，a可以是正数，也可以是负数或0；-a未必是负数，也可以是正数或0．
3．当a，b是下列各数值时，填写空格中计算的积与和：
4．填空：(1)1×(-6)=______；(2)1+(-6)=_______；
(3)(-1)×6=________；(4)(-1)+6=______；
(5)(-1)×(-6)=______；(6)(-1)+(-6)=_____；
(9)|-7|×|-3|=_______；(10)(-7)×(-3)=______.
5．判断下列方程的解是正数还是负数或0：
(1)4x=-16；? (2)-3x=18；? (3)-9x=-36；? (4)-5x=0．
小结
今天主要学习了有理数乘法法则，大家要牢记，两个负数相乘得正数，简单地说：“负负得正”．
作业：P66 1、2
板书设计
§2.8有理数的乘法（1）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
§2.8有理数的乘法（2）
教学目标
1．使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则；
2．掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算；
3．培养学生观察、归纳、概括及运算能力．
教学重点和难点
重点：乘法的符号法则和乘法的运算律．
难点：积的符号的确定．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习引入
①．叙述有理数乘法法则．
②．计算(五分钟训练)：
(1)(-2)×3；? (2)(-2)×(-3)；? (3)4×(-1.5)；? (4)(-5)×(-2.4)；
(5)29×(-21)；? (6)(-2.5)×16；? (7) 97×0×(-6)；
(17)1×2×3×4×(-5)；? (18)1×2×3×(-4)×(-5)；
(19)1×2×(-3)×(-4)×(-5)；? (20)1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)；(21)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)．
二．解疑合探
1．几个有理数相乘的积的符号法则
引导学生观察上面各题的计算结果，找一找积的符号与什么有关？
(17)，(19)，(21)等题积为负数，负因数的个数是奇数个；(18)，(20)等题积为正数，负因数个数是偶数个．
是不是规律？再做几题试试：
(1)3×(-5)；? (2)3×(-5)×(-2)；? (3)3×(-5)×(-2)×(-4)；
(4)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)；(5)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)×(-6)．
同样的结论：当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正．
再看两题：
(1)(-2)×(-3)×0×(-4)；? (2)2×0×(-3)×(-4)．
结果都是0．引导学生由以上计算归纳出几个有理数相乘时积的符号法则：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．
继而教师强调指出，这样以后进行有理数乘法运算时必须先根据负因数个数确定积的符号后，再把绝对值相乘，即先定符号后定值．
注意：第一个因数是负数时，可省略括号．
三．质疑再探：
例?计算：(1) 8+5×(-4)；? (2)(-3)×(-7)-9×(-6)．
解：(1)? 8+5×(-4)
=8+(-20)=-12；????????????????????????????????? (先乘后加)
(2)? (-3)×(-7)-9×(-6)
=21-(-54)=75．?????????????????????????????????? (先乘后减)
通过例题教师小结：在有理数乘法中，首先要掌握积的符号法则，当符号确定后又归结到小学数学的乘法运算上，四则运算顺序也同小学一样，先进行第二级运算，再进行第一级运算，若有括号先算括号里的式子．
四．运用拓展
课堂练习1
(1)判断下列积的符号(口答)：①(-2)×3×4×(-1)；? ②(-5)×(-6)×3×(-2)；
③(-2)×(-2)×(-2)；? ④(-3)×(-3)×(-3)×(-3)．③1+0×(-1)-(-1)×(-1)-(-1)×0×(-1)．
2．乘法运算律:在做练习时我们看到如果像小学一样能利用乘法的交换律和结合
计算：
(1)5×(-6)；(4)(-6)×5；www.xkb1.com
(2)［3×(-4)］×(-5)；? (3)3×［(-4)×(-5)］；
(4)5×［3+(-7)］；? (5)5×3+5×(-7)．
课堂练习2 计算(能简便的尽量简便)：
(5)(-23)×(-48)×216×0×(-2)；? (6)(-9)×(-48)+(-9)×48；
(7) 24×(-17)+24×(-9)．
小结 教师指导学生看书，精读多个有理数乘法的法则及乘法运算律，并强调运算过程中应该注意的问题．
板书设计
§2.8有理数的乘法（2）
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例4、例5
（二）观察发现 （四）课堂练习
六、教学后记
乘方素材
1.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条。
2．蟑螂的生命力很顽强，它繁衍后代的方法为下一代的数目永远是上一代数目的5倍，也就是说如果蟑螂第一代有5只，则下一代（第二代）就会有25只。
3.18世纪初俄国马格尼茨的《算术》一书中有一“卖马”问题：某人卖马一匹，得钱156卢布。但是买主买到马以后又懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱。于是卖主向买主提出了另一种计算马价的方案，说：“如果你嫌马太贵了，那么就只买马蹄上的钉子好了，马就白送给你了。每个马蹄铁上有6枚钉子。第一枚钉子只卖1/4戈比，第二枚卖半个戈比，第三枚卖1个戈比，后面每个钉子的价格依此类推。”买主以为买这些钉子总共也花不了10个卢布，还能白得一匹好马，于是欣然同意了。结果买主一算帐才明白上了当。请问买主在这笔交易中要亏损多少？（1卢布=100戈比）
第二章 有理数及其运算
9．有理数的乘方（一）
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过非负有理数的乘方运算，并且知道a×a记作 a2，读作a的平方或a的二次方,前几节课，学生已掌握了有理数的乘法法则，具备了进一步学习有理数的乘法运算的知识技能基础.
学生的活动经验基础：在以往的学习过程中，学生经历了不同类型的数学活动，积累了较为丰富的经验，合作学习的能力和探究学习的意识都有明显的进步，尤其是语言表达能力的提高，为本节课的学习奠定了重要的基础.
学习任务分析
新版教科书在学生熟练掌握了有理数的乘法运算的基础上，尤其是在学生具备了一定的学习能力和探究方法的基础上，提出了本节课的具体学习任务，理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的概念，学会有理数乘方的运算，本节课的教学目标是：
在现实背景中，感受有理数乘方的必要性，理解有理数乘方的意义；
掌握有理数乘方的概念，能进行有理数的乘方运算；
3、经历有理数乘方的符号法则的探究过程，领悟乘方运算符号的确定法则。
教学过程设计
本节课设计了六个环节：第一环节：引入情境，导入新课；第二环节：定义乘方，熟悉
概念；第三环节：例题练习，乘方运算；第四环节：随堂演练，符号法则；第五环节：联系拓广，发散思维；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。
第一环节：引入情境，导入新课
活动内容：观察教科书给出的图片，阅读理解教科书提出的问题，弄清题意，计算每一次分裂后细胞的个数，五小时经过十次分裂后细胞的个数.
活动目的：感受现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题，主动尝试从数学的角度运用所学知识解决实际问题，并在解决问题的过程中体验到乘法运算的必要性和优越性，同时体会细胞分裂的述度非常快，从而引出本节课的学习课题：有理数的乘方.
活动的注意事项：在活动中需要运用乘法运算计算五小时一个细胞能分裂成多少个细胞，这个过程不要一次完成，而应让学生仔细分析，逐步完成，并依次类推，如果一次分裂成2个，第2次分裂成2×2个，第三次分裂成2×2×2个.因为五小时要分裂10次，所以第十次分裂成2×2×2………×2×2个.得到这个结果时要指出两点：一是让学生感受细胞分裂的速度非常快的事实.二是要指出这种表示方法很复杂，为了简便，可将它写成210，表示10个2相乘，培养学生的符号感，同时指出这就是乘法运算，从而引出本节课的学习内容：有理数的乘方.
第二环节：定义乘方，熟悉概念
活动内容：1.归纳多个相同因数相乘的符号表示法，定义乘方运算的概念。
2．通过练习熟悉乘方运算的有关概念.
填空：
（1）（-2）10的底数是_______，指数是________，读作_________
(2)(-3)12表示______个_______相乘,读作_________,
(3)( 1/3)8的指数是________,底数是________读作_______,
(4)3.65的指数是_________,底数是________,读作_______,xm 表示____个_____相乘,指数是______,底数是_______,读作_________.
把下列各式写成乘方的形式：
(1)6×6×6； (2)2.1×2.1;
(3)(－3)(－3)(－3)(－3)；
(4) .
活动目的: 培养学生的归纳抽象能力,建立符号感,理解符号所表示的数量关系和变化规律,学习新知识,认识乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果.还要让学生明白：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是，通常指数为1时省略不写。
活动的注意事项: 教科书在给出乘方运算的 概念后,有关练习放在随堂练习的第一题中.为了及时消化新知识,要完成活动中的填空练习及乘方与乘法的相互转换,真正弄清楚幂的读法和写法，区分幂的指数和底数.
第三环节：例题练习，乘方运算
活动内容：教科书例1，例2分别计算：
例1：① 53 ；② （-3）4；③ （-1/2）3.
例2：①； ② ；③.
活动目的：例题讲解是为了熟悉有理数的乘方运算，并规范幂的书写格式。
活动的注意事项：例题讲解时要让学生明确有理数的乘方运算是由有理数的乘法来进行的，例2指明当底数是负数或分数时，书写时一定要用括号把底数括起来，再把指数写在右上角.如（-3）4 不能写成-34，（-1/2）3不能写成-1/23.要引导学生不断地回顾幂的意义.
第四环节：课堂演练，符号法则
活动内容：计算：
（4）﹣（﹣3）2；（5）﹣（﹣2）3。
活动目的：学生独立完成，检验知识是否掌握。
活动的注意事项：学生练习，教师一方面要引导学生不断地回顾幂的意义.熟练有理数的乘方运算.另一方面要指出题目的特点.鼓励学生尽可能多地从运算结果中观察、发现正数幂的符号特点，负数幂的符号特点等等.切忌教师自己给出结果并让学生死记硬背的作法.正数的任何次方都是正数,负数的偶数次的幂是正数,
负数的奇数次的幂是负数.
第五个环节：联系拓广，发散思维
活动内容：1.
2.
活动目的：第1题 可让学生感悟逆向思维。一个数的平方是16，学生很容易认为这个数是4，而忽略-4；第2题主要是引导学生认识到2n表示偶数，2n+1表示奇数。从而体会到-1的偶次方为1.奇次方为-1.
活动的注意事项：教师切忌直接给出结果，并要求学生对这些结论死记硬背.
第六个环节：课堂小结
活动内容：用提问的方式由学生完成课堂小结，如：“本节课同学们学到了哪些知识？”“乘方运算与四则运算有何联系？”
活动目的：培养学生的交流能力.小结能力，激励学生展示自我，认识自我，建立自信.
活动的注意事项：教师要尊重学生的个体差异.尊重学生在小结过程中所表现出的不同水平，对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照和帮助，尽量给他们以发言的机会，鼓励他们主动参与小结，发表看法，要肯定他们的点滴进步，以增强他们的兴趣和信心，而不能每次都由优等生进行课堂小结.
第七环节：布置作业
活动内容：习题2.13，知识技能1、2、数学理解1，问题解决1、2.
活动目的：复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
活动的注意事项：对知识技能第2题的计算，学生时常会产生如下误区：（1）混淆乘方与乘法的概念，如把73当作7×3来计算；（2）运算中出现符号错误.如（-6）3=216.为此，应要求学生把解答过程写出来，不要直接写出结果.如按乘方的定义，将乘方运算先转为乘法运算再进行计算.并注意乘方运算符号法则的运用对于习题2.13的联系拓广，可让学有余力的学生思考，不要求全体学生完成.
教学反思
从学生的作业情况反馈的信息表明，教学设计中缺乏负数乘方与乘方的相反数的比较，使得学生在阅读上和计算中产生了混淆，造成了错误，因此在今后的教学设计中应作适当调整.如设计一个（-2）4和-24列表辨析，帮助学生区别负数乘方与乘方的相反数这两个概念.
（-2）4
-24
写法
有括号
无括号
读法
负2的4次方
2的4次方的相反数
意义
4个（-2）相乘
即（-2）×（-2）×（-2）×（-2）
4个2相乘的积的相反数
即-（2×2×2×2）
结果
16
-16
另外，对那些在数学学习上有特殊需求的学生，可在联系拓广中适当补充一两个有思维难度的题目，以满足他们的学习需求，如“试比较有理数a与a2的大小”,像这样的题,一方面是字母表示了数,另一方面需要分类讨论,这对学生而言,无疑是一个挑战,实践证明,这种做法很有意义.
课件16张PPT。第二章 有理数及其运算第9节 有理数的乘方（一） 某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个。现有1个细胞，经过5小时能分裂成几个？ 你知道吗?一次二次三次细胞分裂示意图２×２×２个2个2×2个思考：
分裂5小时会有多少个细胞？5小时要分裂10次，所以共有细胞： 2×2×2…×2×2=1024个10个22×2×2×…×2思考： a×a×a×......×a 相乘应如何表示？
10个2=210想一想：n个aan2×2×2…×2×2有简单的表示方法吗?
10个2乘方:就是求n个相同因数a的积的运算.1、乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 an幂指数底数在an中，a叫作底数，n叫做指数，an叫作幂。一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。读法：
an可以读作a的n次方，也可读作a的n次幂. 填空： （1）（-2）10的底数是___，指数是 ____，读作_________
(2)(-3) 12表示______个_______相乘,读作_________,
(3)(-1/3) 8的指数是________,底数______ 读作_______,
(4)3.6 5 的指数是_________,底数是________,读作_______,
（5）x m 表示____个_____相乘,指数是______,底数是_______,读作_________. 熟悉乘方把下列各式写成乘方的形式：（1）6×6×6 =
（2）2.1×2.1=
（3）（-3）（-3）（-3）（-3）=
（4） × × × × =提示：底数是负数或分数时，必须加上括号。熟悉乘方1、53 2、(-3)4 3、( )3如（-3）4 不能写成-34，
（ ）3不能写成 3 解：1、53=5×5×5=125
2、(-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81
3、（ ）3=（ ）×（ ）×（ ）= 例1：计算当底数是负数或分数时，书写时一定要用括号把底数括起来. 例2：计算
（1） ；（2） ；（3）
4例题讲解解：（1）=-（-8）=8；（2）=-16；（3）=计算
① （-3）3；② (-1.5)2; ③(-1/7)2
?﹣（﹣3）2；?﹣（﹣2）3练一练！
我们可以把有理数乘方运算的符号法则总结如下 :
正数的任何次方都是正数,
负数的偶数次的幂是正数,
负数的奇数次的幂是负数.
通过上述练习，想一想乘方运算的符号如何确定？一个数的平方为16，这个数可能是几?一个数的平方可能是0吗？
有没有一个数的立方是8？有没有一个数的立方是-8想一想：解：4和-4的平方是16 ，
0 的平方是 0，
2 的立方是 8，
-2的立方是 -8. 设n为正整数，计算：
（1）、 （-1）2n ；（2）、 （-1）2n+1试一试：解：（1）、（-1）2n =1
（2）、（-1）2n+1=-12n为偶数，2n+1为奇数81、你能说一说本节课学到了哪些知识？
2、有理数乘方运算的符号法则是怎样叙述的？
3、在有理数乘方运算中，你感觉需要注意哪些问题？ 说一说：教科书习题 2.13，
知识技能1、2、
数学理解1，
问题解决1、2.作业：第二章 有理数及其运算
9．有理数的乘方（二）
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在上一节课刚刚学习了有理数乘方的有关概念，法则等知识，对有理数乘方的符号表示，运算方法，符号判定比较熟悉，具备了进一步学习有理数乘方运算的知识技能基础，并且通过初中数学的学习，对运算数学知识解决实际问题有了一定的主动性，掌握了初步的估算方法，这对本节课的学习奠定了良好的基础.
学生的活动经验基础：较大的数据在报刊杂志上时常出现，而学生对此却缺乏经验，但是经过计算不难得出一张纸对折20次的厚度.将大数与身边熟悉的事物进行比较，从而得到启示，这个过程的实施，学生具有丰富的经验，比如折纸操作，测量厚度，估算高度，分析讨论，猜测验证等等，这对于本节课的学习非常有用.
学习任务分析
教科书在学生掌握了有理数乘方的概念和运算的基础上，提出了本节课的具体学习任务；通过师生折纸的共同活动，体验当底数大于1时，乘方的运算结果增大的很快.并进一步熟练有理数乘方的运算的技能.本节课的教学目标是：
通过实例感受有理数的乘方运算，当底数大于1时，幂增大的很快；
2、进一步熟练掌握有理数的乘方运算.
教学过程设计
本节课设计了五个环节：第一环节：回顾复习，引入新课；第二环节：折纸活动，感悟乘方；第三环节：随堂演练，巩固乘方；第四环节：拓展应用，发散思维；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.
第一环节：回顾复习，引入新课
活动内容：
复习回顾：
填表：
底数
-1
2
10
指数
4
幂
3
5
(-4)3
（0.3）4
2．判断：(对的画“√”，错的画“×”。)
(1) 32 = 3×2 = 6; ( )
(2) (-2)3 = (-3)2; ( )
(3) -32 = (-3)2; ( )
例2.计算：
102，103，104；②（-10）2，（-10）3，（-10）4.
(2)从以上特例的计算结果中，归纳乘方运算的符号法则；
（3）问题：0的任何次幂等于多少？1的任何次幂等于多少？以10为底数的幂有何特点？
活动目的：活动（1）的目的除了继续练习乘方基概念的技能外，主要是为活动（2）和活动（3）提供特例以便于归纳；活动（2）活动（3）一方面是为了归纳得到有理数乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.以及0的任何次幂等于0，1的任何次幂等于1，10的n次幂等于1的后面有n个0，另一方面，更重要的是培养学生的观察能力，归纳能力.
活动的注意事项：教师对例2的讲解一方面要引导学生不断地回顾幂的意义.熟练有理数的乘方运算.另一方面要指出题目的特点.鼓励学生尽可能多地从运算结果中观察、发现正数幂的符号特点，负数幂的符号特点，并总结以10不底数的幂的特点，等等.切忌教师自己给出结果并让学生死记硬背的作法.
第二个环节：折纸活动，感受乘方
问题情景：珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度是8848米。 把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰?
活动内容：1.师生共同参与折纸活动，一边折，一边思考以下问题：纸的厚度为0.1mm ,对折一次后,厚度为2*0.1mm,对折两次后,厚度为多少毫米?
假设对折20次后,厚度为多少毫米?
若每层楼高度为3米,这张纸对折20次后约有多少层楼高?
假设对折30次，其厚度能超过珠穆朗玛峰吗？
通过活动,你从中得到了什么启示?
活动目的:培养学生积极参与课堂教学的意识,提高动手能力,猜想能力,估算能力.加深对乘方意义的理解,进一步体会：当指数不断增加时,底数为2的幂的增长速度相当快；积累经验:当一张纸对折20次后,其厚度比30层楼还高,为本册第六章的学习打基础.
活动的注意事项：老师要与学生共同参与折纸活动，一起讨论，并尽可能利用上节细胞分裂的结果去发现一张纸对折10次后的厚度是1张纸的厚度的1024倍，可得102.4mm,对后10次的对折,应让学生先估算猜测后再计算验证.
活动内容：2.手工拉面是我国的传统面食,制作时,拉面师傅将一团和好的面,揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，每次对折称为一扣。
问连续拉扣6次后能拉出多少根细面条？
拉扣
列式
数量（根）
简记
第1次
2
2
第2次
2*2
4
第3次
2*2*2
8
第4次
2*2*2*2
16
第5次
2*2*2*2*2
32
第6次
2*2*2*2*2*2
64
活动目的:继续体会当指数不断增加时,底数大于1 的幂的增长速度相当快,同时让学生感悟数学知识的生活运用之多。
第三环节：随堂演练，巩固乘方
活动内容：教科书随堂练习。
①-（3/2）2；②-（-3/2）2；③-53；④-4/32.
（3）巩固练习：
⒈ 填空
（1）310的意义是 个3相乘.
（2） 平方等于它本身的数是 .立方等于它本身的数是 .
（3） 一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 .
（4）(－2)6中指数是 ，底数是 .
（5）平方等于1/64的数是 ，立方等于1/64 的数是 .
2.计算：
⑴ (－1/3 )3 ； ⑵ －32×23； ⑶ (－3)2×(－2)3
⑷ －2×32； ⑸ (－2×3)2； ⑹ (－2)14×(－1/2)15；
⑺ －(－2)4; ⑻ (－1)2001； ⑼ －23＋(－3)2；
⑽ (－2)2 · (－3)2.
活动目的：随堂演练的目的一方面是进一步熟悉乘方运算，另一方面是为了区分一些易于混淆的表示法，例如-32、（-3）2、-（-3）2 它们意义不同，-32表示32的相反数，底数是3；（-3）2的底数是-3；-（-3）2表示（-3）2的相反数，底数是-3；（-2/3）3与-22/3有区别：（-2/3）3的底数是-2/3，是乘方运算，而-23/3的分子是乘方运算，底数是2，整体是混合运算，随堂练习的目的是巩固课堂知识，是例题讲解的继续.
活动的注意事项：例题讲解要先分析，再计算，要把每一个题的读法及含义分析透彻.
讲明运算顺序和运算依据，再板书格式，另外要特别强调.在乘方运算中，当底数是负数或分数时，一定要把整个负数或分数用小括号括起来.随堂练习的题目与例题相类似，要引导学生认真计算，及时纠正学生在计算中出现的错误，并明确错误的原因，掌握算理.这里要特别注意，不要补充不必要的繁难计算题.
第四环节：拓展应用，发散思维。
活动内容：1.讲述或阅读教科书第87页读一读栏目“棋盘上的学问”中的第一自然段后，提出问题：棋盘里的米有多少呢？
2.解决问题：
棋盘上的米究竟有多少?
第2格有_______粒米,
第3格有_______粒米,
第4格有_______粒米,
… … … …
第64格有_______粒米，
共有_______粒米.
假设10000粒米为1斤，100斤为1袋，估计有-------袋
活动目的：通过故事的趣味性，吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，让学生自己想办法，如采用估测，或查阅资料等解决问题.同时引入新课：本节课我们来学习解决这类问题的方法，并从中获得启示.
活动的注意事项：故事的叙述要绘声绘色，特别是要把棋盘上放米的方法讲清楚，让学生听明白，使学生产生疑问：小小棋盘上真得有那么多米吗？这些米究竟会有多少呢？这样才能调动学生参与本节课活动的积极性，才能促使学生课后主动地去解决这些问题.
第五环节：课堂小结
活动内容：请同学们谈一下本节课的收获和感想.
1.乘方的意义
2.当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快
3.乘方的运算
活动目的：提高学生的课堂参与意识，发展学生的课堂小节能力，语言表达交流能力.为学生提供展示自我，凸显个性的机会.
活动的注意事项：教师一方面应积极鼓励学生参与，特别是为学习有困难的学生创设发言机会，以提高他们的兴趣和自信，另一方面要把握课堂小结的准确性和全面性，对学生的小节做出适当的补充和修正.
第六环节：布置作业
活动内容：教科书习题2.14 知识技能1计算,问题解决1.
活动目的：复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能和解决问题的能力.
活动注意事项：对知识技能1计算，要向学生明确提出书写要求，即不能直接写结果，而要把演算步骤过程写出来并明确算理，对问题解决1应让学生由此感受到当底数小于1时，乘方运算的结果减少的速度很快.
教学反思
本节课的教学可不必拘泥于教科书的设计，可以创造性地使用教材，例如可把折纸活动设计成猜一猜，让学生先凭借以往的经验和知识进行猜测，以激发学生的求知欲，极大地调动学生学习的积极性，然后再指导学生用实践来验证，通过动手折纸找规律，寻找结论.
例题的讲解和分析也可以让学生先去做，在做的过程中发现问题，再着手解决问题，当学生做题产生了不同的答案后，教师再来分析错误的原因，并让学生经历了错误过程的同时又经历了改正错误的过程，印象应该更深刻.
本节课题的引入若能配上栩栩如生的动画，把学生吸引到数学王国中，激发学生的兴趣效果会更好.
棋盘上究竟有多少米
教科书上“读一读:棋盘上的学问”，棋盘上究竟有多少米，你算过吗？
我们知道，按照大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要粒米，通过计算器计算可得答案为18 446 744 073 709 551 615粒米。下面我们可以通过估算解决这个问题：
100粒大米大约2.5克，那么1斤米大约20000粒，1吨米大约40000000粒，因此18 446 744 073 709 551 615粒米大约461168601800吨。如果1袋米100斤，那么461168601800吨就有9223372036000袋大米。
现在你明白为什么大臣会说“就怕您的国库里没有这么多米”了吧。
课件17张PPT。第二章 有理数及其运算第9节 有理数的乘方（二） 1、填表：(-1)325-4340.31042、判断：(对的画“√”，错的画“×”。)(1) 32 = 3×2 = 6; ( )(2) (-2)3 = (-3)2; ( )(3) -32 = (-3)2; ( )×××复习例3：计算
（1）10 2 ， 103 ， 10 4 ；
（2）(-10）2 ，（-10）3 ，（-10）4 你发现了什么规律?解:（1）102=10×10=100
103=10×10×10×10=1000
104=10×10×10×10=10000
（2)（-10）2 =（-10）× （-10）=100
（-10）3=（-10）× （-10）×（-10）=-1000
（-10）4=（-10）× （-10）×（-10）×（-10）=10000探究：1.底数为10的幂的特点：
10的n次幂等于1的后面有n个0.2.有理数乘方运算的符号法则 :
正数的任何次幂都是正数,
负数的偶数次幂是正数,
负数的奇数次幂是负数. 珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度是8848米。
把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰?≈ ≈ 折纸与楼高(1)纸的厚度为0.1mm ,对折一次后,厚度为2*0.1mm,对折两次后,厚度为多少毫米?
(2)假设对折20次后,厚度为多少毫米?
(3)若每层楼高度为3米,这张纸对折20次后约有多少层楼高?
(3)假设对折30次，其厚度能否超过珠穆朗玛峰 ？
(5)通过活动,你从中得到了什么启示? 折纸与楼高对折2次厚度为_______mm,
对折3次厚度为_______mm,
对折4次厚度为_______mm,
… … … …
对折20次厚度为_______mm.
折纸与楼高 对折20次后厚度为0.1×220mm 对折20次后大约有35层楼高 当指数不断增加时,底数大于1 的幂的增长速度相当快 。 手工拉面是我国的传统面食,制作时,拉面师傅将一团和好的面,揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，每次对折称为一扣。做一做连续拉扣6次后能拉出多少根细面条？简记22 ×22 ×2 ×22 ×2 × 2×222232421248162 ×2 × 2×2×2322 ×2 × 2×2×2×2642526先填表，再观察所列式子，有什么发现？做一做随堂练习计算：
①-（3/2）2； ②-（-3/2）2；
③-53； ④-4/32.巩固练习 ⒈ 填空
（1）310的意义是 个3相乘.
（2） 平方等于它本身的数是 .
立方等于它本身的数是 .
（3） 一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 .
（4）(－2)6中指数是 ，底数是 .
（5）平方等于1/64的数是 ，立方等于1/64 的数是 .探究：读一读书本上的“棋盘上的学问”你认为国王的国库里有这么多米吗？棋盘上的米究竟有多少?
第2格有_______粒米,
第3格有_______粒米,
第4格有_______粒米,
… … … …
第64格有_______粒米，
共有_______粒米.
假设10000粒米为1斤，100斤为1袋，估计有
——————袋探究：棋盘上的学问课堂小结1.乘方的意义
2.当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快
3 .乘方的运算教科书习题2.14
知识技能1;
问题解决1. 作业学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.9.1有理数的乘方》 第1课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
理解乘方的意义，会进行乘方的简单运算
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一、情境导入： (1) 一根绳子对折一次并剪开是（ ）根
(2) 一根绳子对折二次并剪开是（ ）根
(3) 一根绳子对折三次并剪开是（ ）根
(4) 一根绳子对折四次并剪开是（ ）根
(5) 一根绳子对折五次并剪开是（ ）根
二、合作探究
①概念探究
(1)22读作什么？它表示什么？23呢？
那么 2×2×2×2可以写成什么形式？
222222可以写成什么形式？
(2) 如果将上题中2换成任意数a,则a a a ……a可表示成什么形式？ 读作
(3) 叫做乘方，乘方运算的结果叫 。
(4) 所以2，7也可以看作是乘方运算的结果,2还可以读作：“2的6次幂”；7可以读作：“7的3次幂”
其中2 ，7 叫做 ，6 ，3叫做 。
(5)
三、例题分析
例1计算
（1） 2 （2）7
（3） （－3 ） （4）（－4）
例2计算
（1）（）
（2）（）
（3）（－）
从例题中，你发现了什么规律？
正数的任何次幂都是 ；
负数的奇次幂是
负数的偶次幂是 。
例3计算
①-（-2）3 ②-24 ③-
想一想
① （－1），（－），（－）是正数还是负数？
②（－1）10的底数是什么？－1 10的底数是什么？
二者的区别在什么地方？
③ 负数的幂的符号如何确定？
三、展示交流
填一填：
①（－2）6读作 ，表示 ，其中指数为 ，底数为 ；
②－26读作 ，表示 ，其中指数为 ，底数为 ；
③ 34= ； 43= ； （）5= ； 73= ；
④（－1）101= ；（－1）100= ；
（－）4= ；（－）5= ；
四、提炼总结
通过这节课的学习，你有哪些收获?
①乘方的定义.
②会进行乘方的计算.
③发现那些规律: .
用生活中常见的事实引入新课，贴近生活。
乘方是一种特殊的乘法运算。幂是乘方运算的结果。
当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数。如例1，
例2.到目前为止。我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算。
弄清楚“－”的含义。
一定要抓住定义哦。
当 堂 检 测
1、 填空题
（1) 在74中，底数是 ________，指数是________
（2）在（－）5中，底数是 ________，指数是________
（3）(－3)3的意义是_________,
（4）－33的意义是___________.
（5）一个数的平方数是16，这个数是 ？一个数的平方可能是0吗？
（6）1的任何次幂等于_______
2计算、(1)(－1)31 (2)－ 150
(3)05 (4)－72.
3、59页习题2.13第二题
① ② ③
④ ⑤ ⑥
思考：1、解答题
（1）计算两组算式：①（3×4）2与32×42；
②（－2×7）3与（－2）3×73；结果是否相等？
（2）想一想，（ab）4应等于什么？
（3）猜一猜，当n为正整数时,(ab)n应等于什么？
2、若（a+1）2+=0,求(a+b)29+a30的值。
作 业 布 置
《学用通》.
学 案
年级：七年级 科目：数学 章节：《2.9.2有理数的乘方》 第2课时 编写人：周峰、石宏、梁丽蓉
一、学习目标：
进一步熟练进行乘方的运算，处理好幂的符号。
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容
学法指导
一、复习回顾
计算
①-（-2）3 ②-24 ③-
④（） ⑤（） ⑥（－）
二、合作探究
认真计算并观察结果，你能发现什么规律？
⑴ ①102 ②103
③104 ④105
⑵ ① (－１０)２ ② （－１０）３
③ （－１０）４ ④（－１０）５
你发现的规律有哪些？并把它写下来：
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
三、猜想 猜想
⒈有一张厚度是0.1mm的纸，将它对折1次后，厚度2×01.mm.
⑴对折2次后，厚度为_______毫米？
⑵假设对折20次，厚度为_____________毫米？
⒉你见过拉面师傅拉面条吗？拉面师傅将一根粗面条拉长、两头捏合，再拉长、捏合，重复这样，就拉成许多根细面条了，据报道，在一次比赛中，某拉面师傅用1㎏面粉拉出约209万根面条，你知道怎样得出这个结果吗？
四、课堂小练
61页 随堂练习
1.计算⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
习题2.14
1.计算 ⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
不要在负号上出问题哦。
点清楚0的个数。
从正数幂的特点和负数幂的特点考虑。
先想一想再算一算
计算认真，比比谁算得又快又准。
当 堂 检 测
1、 填空题
底数为正数时，乘方计算的结果始终是 ，
底数为负数时，乘方计算的结果可能为正，也可能为负，与指数有关，当指数为 数时，结果为 ，当指数为 数时，结果为 。
2计算（－2）3 （－2）4 （－1）10 ， －110 ，
（－1）7 －17 （－5）3 ， －53 ，
（－）4 ， －（）4 ， （－10）4 ， －104 ，
（－10）5 ， －105 ，
3.1m长的木棒，第一次减去一半，第2次减去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的木棒有多长？
4.思考课本62页3题。
作 业 布 置
《学用通》.
有理数的乘方
创新训练
1．在-|-4|，-（-4），（-4），-4，最大的数是 （ ）
A.-|-4| B.-（-4） C.（-4） D.-4
2．设a<0，则下列说法中正确的是 （ ）
A.a的偶次方的偶次方是负数 B.a的奇次方的偶次方是负数
C.a的奇次方的奇次方是负数 D.a的偶次方的奇次方是负数
3．如果a≠0，那么下列各式中一定成立的是 （ ）
A.-a>0 B.a-a>0 C.a-a>0 D.（-a）>0
4．已知A=a+a+a+…+a，若a=1，则A等于多少？若a=-1，则A等于多少？
5．已知|a-1|+（b+2）=0，求（a+b）的值.
答案：1．B 2．C 3．D 4．2002，O
5． ,则,故(a+b) =(1-2)=(-1)=-1.
§2.9有理数的除法
教学目标
1．使学生理解有理数倒数的意义；
2．使学生掌握有理数的除法法则，能够熟练地进行除法运算；
3．培养学生观察、归纳、概括及运算能力．
教学重点和难点
重点：有理数除法法则．
难点：(1)商的符号的确定．
(2)0不能作除数的理解．
教学方法：三疑三探教学
教学过程
一、设疑自探
1、复习
①．叙述有理数乘法法则．
②．叙述有理数乘法的运算律．
③．计算：(1)3×(-2)；? (2)-3×5；? (3)(-2)×(-5)．
2、设疑
因为3×(-2)=-6，所以3x=-6时，可以解得x=-2；
同样-3×5=-15，解简易方程-3x=-15，得x=5．
在找x的值时，就是求一个数乘以3等于-6；或者是找一个数，使它乘以-3等于-15．已知一个因数的积，求另一个因数，就是在小学学过的除法，除法是乘法的逆运算．
二．解疑合探
1．有埋数的倒数
0没有倒数，(0不能作除数，分母是0没有意义等概念在小学里是反复强调的．)
提问：怎样求一个数的倒数？
答：整数可以看成分母是1的分数，求分数的倒数是把这个数的分母与分子颠倒一下即可；求一个小数的倒数，可以先把这个小数化成分
数再求倒数．
什么性质
所以我们说：乘积为1的两个数互为倒数，这个定义对有理数仍然适用．
这里a≠0，同小学一样，在有理数范围内，0不能作除数，或者说0为分母时分数无意义．
2．有理数除法法则
利用有理数倒数的概念，我们进一步学习有理数除法．
因为(-2)×(-4)=8，所以8÷(-4)=-2．
由此，我们可以看出小学学过的除法法则仍适用于有理数除法，即
除以一个数等于乘以这个数的倒数．
0不能作除数．
3．有理数除法的符号法则
观察上面的练习，引导学生总结出有理数除法的商的符号法则：
两数相除，同号得正，异号得负．
掌握符号法则，有的题就不必再将除数化成倒数再去乘了，可以确定符号后直接相除，这就是第二个有理数除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不为0的数，都得0．（分母≠0).利用除法法则可以化简分数．
三．质疑再探：例计算：(-7)÷3-20÷3(-7-20)÷3=(-27)÷3=-9．
小结
1．指导学生看书，重点是除法法则．
2．引导学生归纳有理数除法的一般步骤：(1)确定商的符号；(2)把除数化为它的倒数；(3)利用乘法计算结果．
作业：P71 1、2、5
练习设计 习题2.12 1、2、3、4、5、6题
板书设计
§2.9有理数的除法
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例题
（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
八、教学后记
课件275张PPT。授课对象：七年级(7)班全体学生授课教师：苏 勇2019年1月9日星期三1.有理数
2.数轴
3.绝对值
4.有理数的加法(一)
4.有理数的加法(二)
5.有理数的减法
6.有理数的加减混合运算(一)
6.有理数的加减混合运算(二)
6.有理数的加减混合运算(三)目录第二章 有理数及其运算 7.有理数的乘法(一)
7.有理数的乘法(二)
8.有理数的除法
9.有理数的乘方(一)
9.有理数的乘方(二)
10.科学记数法
11.有理数的混合运算
12.用计算器进行运算
回顾与思考目录第二章 有理数及其运算学过的数表示猎人打到老鹰的只数——有了整数. 二人分一只西瓜，用数如何表示半只西瓜——有了分数.用数如何表示10元5角3分——有了小数.瓦罐没有东西了——有了0情境导入用小学学过的数，你能表示下列温度计的读数吗？情境导入用小学学过的数，你能表示吐鲁番的海拔高度吗？0情境导入用小学学过的数，你能表示每对的最后得分吗？情境导入情境导入第二章 有理数及其运算1 有理数哲觉中学 苏勇“零上温度与零下温度”、“高于海平面与低于海平面”、“比0高的得分与比0底的得分”等都是具有相反意义的量.为了表示具有相反意义的量，我们可把其中一个量规定为正的，用正数来表示而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示.你能举出生活中一些具有相反意义的量吗？探索新知在正数前面加上“—”号的数叫做负数.如-3，-8，-2.5等.负数都比0小.0既不是正数也不是负数.它是正数和负数的分界.带有“—”的数一定是负数吗？不一定探索新知现在，你能解决前面提出的问题了吗？5oC-5oC你能吗现在，你能解决前面提出的问题了吗？吐鲁番海拔-155米你能吗现在，你能解决前面提出的问题了吗？如果答对题所得的分用正数表示，那么每个代表队答题得分的情况如下表： -30+80你能吗例题讲解1、(1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分，那么扣20分记作什么？
(2)东、西为两个相反方向，如果-4米表示一 个物体向西运动4米 ，那么+2米表示什么？原地不动记为什么？
(3)某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨，那么运出3.8吨应记作什么？巩固练习2、某厂计划每天生产零件800个，第一天生产零件850个，第二天生产零件800个，第三天生产零件750个，你能正、负数表示该厂每天的超产量吗？解：第一天超产零件是50个.
第二天超产零件是0个.
第三天超产零件是－50个关键：以800个零件为正、负数的标准(分界限)巩固练习我们把正整数、0和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数.整数和分数统称为有理数.注意：
有限小数和无限循环小数可以化成分数，故属于分数.探索新知你能将学过的数进行分类吗？ 整数正整数零负整数负分数分数有理数正分数探索新知把下列各数填入相应的集合中：正数集合：｛ … ｝
负数集合：｛ … ｝
整数集合：｛ … ｝
分数集合：｛ … ｝巩固练习归纳小结3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限.1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量.课本第26页，习题2.1，知识技能，2,3.作业布置 作业谢 谢 ！温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？ 5 ℃ 0 ℃ -10 ℃ 情境导入 在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.37.5-3-4.8东西汽车站柳树杨树槐树电线杆0情境导入由上述两问题你得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗?情境导入第二章 有理数及其运算2 数轴 哲觉中学 苏勇 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.请思考：+3，-4，0分别在数轴的什么位置? -1.5呢？探索新知01数轴的画法23-1-2-3(1)取原点(origin)；(2)规定正方向,通常取向右为正方向；(3)选取适当的长度为单位长度.探索新知下列各图表示数轴是否正确?为什么?考考你点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位长度，在向左移动1个单位长度，此时A点所表示的是什么数?考考你0123-1-2-3-44-1.51|4任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.在数轴上表示下列各数3-4000探索新知解：点A表示-2；点B表示2；点D表示-1.点C表示0；例1 指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数.例题讲解指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示的有理数.并用“<”将它们连接起来.巩固练习例2 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：解：例题讲解数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？越 来 越 大探索新知结论:数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大; 正数大于0,负数小于0,正数大于负数.探索新知比较下列每组数的大小，并说明理由. ⑴-2 和 +6；
⑵0和 -1.8； ⑶ -3/2和 -4 ；
解:(1) -2﹤+6
(2) 0﹥-1.8
(3)-3/2﹥-4考考你归纳小结本节课你学到了什么?课本第29页，习题2.2，知识技能，2，3(2)(4)(6).作业布置作业谢 谢小红和她的同学共买了6袋标注质量为450g的食品，她们对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果(用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标注质量的克数)如下：
-25，+10，-20，+30，+15，-40.
哪袋食品的质量更标准？为什么？你怎样判断的？依据是什么？情境导入第二章 有理数及其运算3 绝对值哲觉中学 苏勇如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数.也称这两个数互为相反数.特别地，0的相反数是0.
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.3与-3有什么相同点与不相同点？它们在数轴上的位置有什么关系？5与-5呢？探索新知注意：
(1)“只有”是指除符号不同外，其余完全相同.如-3与2不互为相反数.
(2)相反数是成对出现的，不能单独存在.如不能说5是相反数，而应说5是-5的相反数.探索新知观察下图,回答问题:-3所对应的点与原点的距离是33所对应的点与原点的距离是35所对应的点与原点的距离是5探索新知在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.一个数a的绝对值记作│a│ 例如：大象在数轴上+5点，距离原点5个单位长度.那么，两只小狗呢?即+5的绝对值等于5，记作│+5│ ＝5.│+3│ ＝3， │-3│ ＝3.探索新知下面的说法是否正确？请将错误的改正过来.
(1)有理数的绝对值一定比0大；
(2)有理数的相反数一定比0小；
(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.巩固练习求下列各组数的绝对值,你发现了什么?
(1)4,-4； (2)0.1,-0.1； (3)1/3,-1/3.互为相反数的两个数的绝对值相等.探索新知例1 求下列各数的绝对值：例题讲解一个数的绝对值与这个数有什么关系?求绝对值法则：
正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0. 求一个数的绝对值时，应先判断这个数是正数、负数或0，再根据以上法则进行求解.探索新知某日上午，出租车司机小李在南北走向的商业大道上运营，如果规定向北为正，向南为负，出租车的行车里程如下(单位：km)：
-17，-4，+13，-10，-12，+3，-13，+15，+20.
若每千米耗油0.2升，则这天上午该出租车共耗油多少升？你能吗绝对值的性质：探索新知1、绝对值等于10的数是 .
2、 ，求x，y的值.
3、已知 ，求a+b的值.
即学即用(1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小；
-1.5， -3， -1， -5；
(2)求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小；
(3)你发现了什么？做一做探索新知(1) - 5 ＜ - 3 ＜- 1.5 ＜ - 1(3) 由以上知：
两个负数比较大小,绝对值大的反而小.1 ＜ 1.5 ＜3 ＜5解:-5-3-1.5-1探索新知解法一：(利用绝对值比较两个负数的大小)试一试例2 比较下列每组数的大小:例题讲解试一试例2 比较下列每组数的大小:例题讲解解法二:(利用数轴比较两个负数的大小)如图因为-5在-1左边,所以 -5﹤-1；比较两个负数大小的步骤
(1)分别求出两个负数的绝对值；
(2)比较两个绝对值的大小；
(3)绝对值大的反而小.你会比较两个负数的大小了吗？探索新知在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值. 正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的相反数;
0 的绝对值是 0.
互为相反数的两个数的绝对值相等.会用绝对值比较两个负数的大小：
两个负数，绝对值大的反而小.这节课你学到了什么？归纳小结作 业课本第32页，习题2.3，知识技能，2,3(2)(4).作业布置谢 谢！ 一位同学在一条东西方向的跑道上按下列方式行走，你能确定各种方式下他现在的位置位于出发点的哪个方向，与原来出发的位置相距多少米吗？若向东记为正，向西记为负，你能用算式表示出来吗？
(1)先向东走了20米，后向东走了30米；
(2)先向东走了20米，后向西走了30米；
(3)先向东走了20米，后原地不动；
(4)先向西走了20米，后向东走了30米；
(5)先向西走了20米，后向西走了30米；
(6)先原地不动，后向西走了20米；
(7)一直原地不动.20+30=50
20+(-30)=-10
20+0=20
-20+30=10
-20+(-30)=-50
0+(-20)=-20
0+0=0情境导入第二章 有理数及其运算4 有理数的加法(一)哲觉中学 苏勇20+30=50
20+(-30)=-10
20+0=20
-20+30=10
-20+(-30)=-50
0+(-20)=-20
0+0=0请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗？和的符号怎样确定？和的绝对值怎样确定？探索新知1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3.一个数同零相加，仍得这个数.有理数加法法则探索新知你知道怎样进行有理数的加法运算了吗？首先判断两加数是同号还是异号，然后根据法则确定和的符号及绝对值.探索新知例1.计算下列各题：
(1) 180+(-10)；(2) (-10)+(-1)；(3) 5+(-5)；(4) 0+(-2). 在进行有理数的运算时，负数必须加括号，负数是第一个数时可不加.例题讲解1.口答下列算式的结果.
(1) (+4)+(+3)；?? (2) (-4)+(-3)；????
(3) (+4)+(-3)；??? (4) (+3)+(-4)；
(5) (+4)+(-4)；?? (6) (-3)+0；?????
(7) 0+(+2)；?????? (8) 0+0．
2.计算.
(1) (-25)+(-7)；??? (2) (-13)+5；? ?
(3) (-23)+0； (4) 45+(-45).巩固练习试确定a+b，a+c，b+c的符号.a 0 b c你能吗归纳小结两个有理数相加.首先观察判断加法类型，再确定和的符号，最后求和的绝对值. 即“一观察，二确定，三求和”.归纳小结课本第36页，习题2.4，知识技能，1(2)(4)(6)(8)、2.作业作业布置再见1、叙述有理数的加法法则．1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3.一个数同零相加，仍得这个数.复习导入3、小学学过的加法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围？2、计算并比较每组的两个算式的结果：
(1)(-8)+(-9)，(-9)+(-8)；
(2) 4 +(-7), (-7) + 4；
(3)[2+(-3)]+(-8), 2+[(-3)+(-8)]；
(4) [10+(-10)]+(-5),10+[(-10)+(-5)].复习导入第二章 有理数及其运算4 有理数的加法(二)哲觉中学 苏勇加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置和不变.
加法结合律：有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.加法交换律： a+b=b+a
加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 你能用字母表示加法交换律和加法结合律吗？探索新知解:例2 计算：31 +(-28)+ 28 + 6931 +(-28)+ 28 + 69=31 + 69 + [(-28)+ 28 ]=100+0=100 此题你是抓住数的什么特点使计算简化的？依据是什么？探索新知常用的规律一般地，
1、互为相反数的两数可先相加.
2、能凑整的数可先凑整相加.
3、分母相同的数可先相加.
4、正数或负数可分别结合在一起相加. 探索新知运用以上规律进行计算的具体做法为：先根据加法交换律将先相加的数交换后写在一起，然后根据加法结合律用括号将先相加的数括起来.
交换加数的位置时，必须连同数字前面的符号一起交换.注意！探索新知例题讲解解法一：这10听罐头的总质量为
444+459+454+459+454++454+449+454++459+464=4550(克)例题讲解巩固练习有5筐蔬菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：+3， -6，-4，+2, -1, 总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？考考你1、通过具体有理数的计算，把加法运算律从非负数范围扩大到有理数的范围.
2、掌握加法运算律的法则及公式，并适当的运用运算律进行简化计算.
3、有理数加法解决实际问题，体会求简意识.本节课你学到了什么?归纳小结作业课本第38页，习题2.5，知识技能， 1(2)(4)(6)(8)、4. 作业布置谢 谢！全国主要城市天气预报 2001/4/9? 北京专业气象台乌鲁木齐的温差怎么计算呢？4-(-3)=?这该怎样计算呢？情境导入第二章 有理数及其运算5 有理数的减法哲觉中学 苏勇4-(-3)=?您能赋予它实际生活的意义吗？小明在东西走向的公路上先向东走4米，再向西走-3米，则小明共向东走的距离可表示为[4-(-3)]米.这个问题还可以怎样理解？这又该怎样去列式计算？小明在东西走向的公路上先向东走4米，再向东走3米(即向西走-3米)，则小明共向东走的距离可表示为(4+3)米.探索新知你发现了什么？4 - (-3) = 4 + 3这个等式有什么特点？从等式中同学们对减法运算有什么认识？算式左边是减法运算；算式右边是加法运算；减法运算可以转化为加法运算.你会进行减法运算了吗？探索新知减去一个数，等于加上这个数的相反数注意：减法在运算时有 2 个要素要发生变化. a–b=a+(–b)这里可以a，b是正，也可以是负，也可以为0.探索新知下列括号内各应填什么数？
（1）（-2）-（-3）=（-2）+（ ）；
（2） 0 - （-4）= 0 +（ ）；
（3）（-6）- 3 =（-6）+（ ）；
（4） 1-（+39）= 1 +（ ）试一试例1 计算下列各题：
(1) 9-(-5)；(2) (-3)-1；(3) 0-8；(4) (-5)-0. (2) (-3)-1 =(-3)+(-1) =-4；解：(1) 9-(-5) =9+5=14；减去7等于加上7的相反数-7. (3) 0-8 = 0+(-8)= -8; (4) (-5)-0= -5+0= -5.减去(-5)等于加上 -5 的相反数5.减去-8等于加上-8的相反数8.例题讲解巩固练习例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是8 844 m，吐鲁番盆地的海拔高度是-155 m. 两处高度相差多少米？解：8844 - (155)
=8844+155
=8999（m）
因此，两处高度相差8999 m.例题讲解例题讲解1、下面等式正确的是（ ）
A、a-b=(-a)+ b； B、a-(-b)=（-a）+(-b)；
C、(-a)-(-b)=(-a)+(-b)； D、a-(-b)=a+b.
2、下列说法中下正确的是（ ）
A.两个数的差一定小于被减数；
B、若两个数的差为0，则这两数必相等；
C、零减去一个数一定得负数；
D、一个负数减去一个负数结果仍是负数.巩固练习1.有理数的减法运算法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数
a-b=a+(-b)
2.今天我们归纳得出了有理数减法法则.这样有理数的减法只需将减数变成它的相反数，把减法转化为加法（注意被减数是永远不变的）.从而有理数的加法和减法这两种互逆的运算可用加法统一起来.课堂小结：归纳小结课本第42页，习题2.6，知识技能，1(1)(3)(5)，3(1)(2).作业：作业布置同学们，再见！1．叙述有理数加法法则．有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3.一个数同零相加，仍得这个数.2．叙述有理数减法法则．有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.复习导入3．叙述加法的运算律．加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置和不变.
加法结合律：有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.有理数的加减混合运算，怎么运算呢？复习导入第二章 有理数及其运算 6 有理数的加减混合运算（一）哲觉中学 苏勇 不要忘了，小学的运算知识、方法同样可以运用哦！有理数的加减混合运算，可以根据运算顺序从左往右依次计算，其中每两个数间的运算根据加法或减法的法则进行.探索新知例1 计算：例题讲解巩固练习有理数的加减混合运算，可以根据运算顺序从左往右依次计算，其中每两个数间的运算根据加法或减法的法则进行.课堂小结归纳小结作业课本第44页，习题2.7，知识技能，1(1)(3). 作业布置回顾与思考谢谢怎样进行有理数的加减混合运算？复习导入第二章 有理数及其运算 6 有理数的加减混合运算（二）哲觉中学 苏勇探索新知解法一：根据上升用加法，下降用减法.解法二：用正负号表示上升和下降.比较以上两种算法，你发现了什么？探索新知有理数的加减混合运算，可以根据减法法则统一成加法运算.因此在进行加减混合运算时可运用加法交换律和加法结合律简化运算. 4.5-3.2+1.1-1.4=4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)，说明了什么？探索新知 在进行有理数的加法运算时，可以将“+（）”省略，写成省略加号及括号的形式. 如4.5-3.2+1.1-1.4表示4.5，-3.2，1.1，-1.4四个数的和.读作“正4.5，负3.2，正1.1，负1.4的和”或“4.5减3.2加1.1减1.4”. 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)=4.5-3.2+1.1-1.4，又说明了什么？探索新知有理数的加减混合运算的步骤第一步：运用减法法则将有理数的加减混合运算统一成加法运算.
第二步：将得到的加法运算写成省略
“+（）”的形式.
第三步：运用加法交换律、加法结合律简便运算.探索新知运用加法交换律交换加数的位置时，必须连同数字前面的符号一起交换.
运用加法结合律时，必须用括号括起来.注意！探索新知例题讲解巩固练习试一试加减法混合运算可以统一成加法；
加法运算可以写成省略括号的形式；
在运用交换律交换加数的位置时，一定要把加数前面的符号一起进行交换．课堂小结归纳小结 布置作业课本第46页，习题2.8，知识技能，1(2)(4). 作业布置同学们，再见！梳理知识1．有理数加减混合运算的步骤（1）把算式中的减法都转化为加法；
（2）省略“+（）”；
（3）适当使用运算律简化运算.(把加减运算统一为加法)(利用运算律进行结合)复习导入第二章 有理数及其运算 6 有理数的加减混合运算（三）哲觉中学 苏勇探索新知(1)本周哪一天河流的水位最高?哪一天最低?它们位于警戒水位之上还是之下?与警戒水位的距离分别为多少米?首先计算每天的实际水位与警戒水位的距离. 星期二的水位最高，星期一的水位最低，与警戒水位距离分别为1.01m，0.2m.探索新知(2) 与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？本周末河流水位上升了.探索新知(3) 完成下面的本周水位记录表.探索新知(3) 完成下面的本周水位记录表.探索新知(4) 以警戒水位为0点，用折线统计图表示本周的水位情况.·········描点连线探索新知实地考察考考你1.光明中学七(1)班学生的平均身高是160 cm.
(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位：cm).试完成下表.(2)谁最高?谁最矮?
(3)最高与最矮的学生身高相差多少?162160-6+516311厘米小山最高，小亮最矮.巩固练习点拨解答巩固练习3.小明父亲上星期买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元） ①周三收盘时，每股 元。②本周内最高价每股 元，
最低价值每股 元.④以上周六买进27元为0元，用折线统计图表示出该周股票的涨跌情况.34.535.529 注： ①正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降.
②周六、周日休市.+4+6.5+7.5+8.5+5③完成下表巩固练习 会用数学去解决生活中的变化现象，对于几次连续的变化情况可以用有理数的加减法去解决. 很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决，根据需要可以“人为”地规定零点. 我们可以借助表格和折线统计图形象直观的反映事物的变化情况. 生活中处处有数学, 只要我们去观察研究归纳小结我感受到数学是一门十分有用的科学，它能帮助我们分析、解决许多生活中实际问题.归纳小结 作业课本第48页，习题2.9，知识技能，1(4)(5)(6).作业布置谢 谢！甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm,4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少?情境导入如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么4天后，甲水库水位的变化量为3×4=12 (cm)；乙水库水位变化量为 (-3)×4.可(-3)×4该怎样运算呢？情境导入第二章 有理数及其运算 7.有理数的乘法（一）哲觉中学 苏勇两个有理数相乘有几种情况？正数乘以正数
正数乘以负数
负数乘以正数
负数乘以负数探索新知计算下列各题，你是怎样计算的.
(-3)×4＝ ＿ ，
(-3)×3＝ ＿ ，
(-3)×2＝ ＿ ，
(-3)×1＝ ＿ ，
(-3)×0＝ ＿ .根据乘法的意义，即相同加数作为被乘数，相同加数的个数作为乘数.探索新知观察以上算式，你能发现什么规律?第一个因数不变，当第二个因数减少1时，积增大3.探索新知探索新知观察每个式子中的两个因数及积的符号,你能得到什么结论?观察每个式子中的两个因数及积的绝对值,你能得到什么结论?积的绝对值等于各因数绝对值的乘积.探索新知有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数同0相乘，都得0.先确定符号,再确定绝对值!结论例1 计算：例题讲解如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.0没有倒数.探索新知 互为相反数的两个数以及互为倒数的两个数的符号分别是怎样的？ 互为相反数的两个数的符号相反，互为倒数的两数的符号相同. 互为相反数的两个数以及互为倒数的两个数各有什么特点？ 互为相反数的两个数的和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0；互为倒数的两数的积为1.即若c、d互为倒数，则c×d=1. 相反数是本身的数是什么？倒数是本身的数是什么？ 相反数是本身的数是0，倒数是本身的数1或-1.探索新知例题讲解计算下列各式，你能从中找出符号的规律吗？120
-120
120
-120
120
-120
0探索新知在积的各个因数中,有一个负号，积为负；有两个负号，积为正；有三个负号，积为负；有四个负号，积为正；有零，积为零；几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时， 积为负；当负因数有偶数个时， 积为正；有一个因数为0时，积就为0.探索新知巩固练习归纳小结本节课你有什么感受和收获？课本第51页，习题2.10，知识技能，1(2)(4)(6)(8).作业布置布置作业谢 谢1、叙述有理数的乘法法则．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数同0相乘，都得0.复习导入2、小学学过的乘法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围？第二章 有理数及其运算 7.有理数的乘法（二）哲觉中学 苏勇做一做乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；
乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；
乘法对加法的结合律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 探索新知你能用字母表示乘法运算律吗?乘法交换律：ab = ba
乘法结合律：(ab)c = a(bc)
乘法对加法的分配律：a(b+c) = ab+ac注意
1.运用乘法分配律时，必须用括号外的项乘以括号内的每一项.相乘时，每一项都必须带符号相乘.
2.有时为了提高运算的速度和准确性，可将乘法分配律逆用.即ab+ac = a(b+c) 探索新知例题讲解巩固练习归纳小结本节课你学到了什么?课本第54页，习题2.11，知识技能，1(2)(4)(6)(8). 布置作业作业布置谢 谢情境导入已知两个因数的积和其中一个因数，要求另一个因数，应该用什么运算进行计算呢？你会吗？第二章 有理数及其运算 9 有理数的除法哲觉中学 苏勇探索新知(-12)÷(-3)=被除数=除数×商那么：-12=(-3) ×？4除法是乘法的逆运算？我们知道只有：(-3) × =-12.探索新知-3-2530观察上面的算式及计算结果，你能归纳出商的符号及商的绝对值与被除数和除数有何关系吗？ 探索新知有理数的除法法则１
两个有理数相除，同号得正，异号得负，
并把绝对值相除.
0除以任何非0的数都得0.
注意：0不能作除数.例题讲解探索新知你发现了什么？除以一个数等于乘以这个数的倒数例题讲解例2：计算：巩固练习归纳小结有理数的除法法则两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何非0的数都得0
注意：0不能作除数.除以一个数等于乘以这个数的倒数.法则1法则2 两个有理数相除，若能整除，一般用法则一，若不能整除，则用法则二作业布置课本第56页，习题 2.12，知识技能，1(5)(6)(7)(8).作业：谢 谢！情境导入 某种细胞每过30 min便由1个分裂成2个. 经过5h，这种细胞由1个分裂成多少个？情境导入一次二次三次细胞分裂示意图２×２×２个2个2×2个分裂5h，分裂几次？会有多少个细胞？情境导入第二章 有理数及其运算 9 有理数的乘方（一） 哲觉中学 苏勇探索新知这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.a 叫做底数，n叫做指数， an 读作“a的n次幂”( 或“a的n次方”).探索新知注意a2 通常读作“a的平方”， a3 通常读作“a的立方”.
一个数可以看作它本身的1次方，指数为1通常省略不写.
当底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数.指数要写得小些.巩固练习1.填空：
(1) (-2)10 的底数是___，指数是 ____，读作_________；
(2) (-3)12 表示______个_______相乘，读作_________；
(3) (-1/3)8 的指数是________，底数______ ，读作_______；
(4) 3.65 的指数是_________，底数是________，读作_______；
(5) xm 表示____个_____相乘，指数是______，底数是_______，读作_________. 巩固练习2.把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么.例题讲解 当底数是负数或分数时，书写时一定要用括号把底数括起来. 例题讲解巩固练习归纳小结本节课同学们学到了哪些知识？
乘方运算与四则运算有何联系？小结作业布置课本第59页，习题 2.13，知识技能，2(4)(5)(6).作业：探索新知谢 谢！情境导入 什么是有理数的乘方 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）. 情境导入1、填表：(-1)325-4340.31042、判断：(对的画“√”，错的画“×”.)32 = 3×2 = 6； （ ）
(-2)3 = (-3)2； （ ）
-32 = (-3)2； （ ）×××第二章 有理数及其运算 9 有理数的乘方（二） 哲觉中学 苏勇例题讲解例3 计算：
(1) 102，103，10 4；105；
(2) (-10)2，(-10)3， (-10)4， (-10)5.你发现了什么规律?解: (1) 102=100， 103=1 000，
104=10 000， 105=100 000；
(2) (-10)2 =100， (-10)3=-1 000，
(-10)4=10 000， (-10)5=-100 000.探索新知1.底数为10的幂的特点：
10的n次幂等于1的后面有n个0.2.有理数乘方运算的符号法则 :
正数的任何次幂都是正数,
负数的偶数次幂是正数,
负数的奇数次幂是负数.探索新知 有一张厚度是0.1 mm的 纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1 mm.
(1)对折2次后，厚度为多少毫米?
(2)假设对折20次，厚度为多少毫米?
(3)若每层楼平均高度为3m，这张纸对折20次后约有多少层楼高?
(4)通过活动，你从中得到了什么启示?探索新知对折2次厚度为_______mm，
对折3次厚度为_______mm，
对折4次厚度为_______mm，
… … … …
对折20次厚度为_______mm.
探索新知当指数不断增加时，底数大于1 的幂的增长速度相当快 . 对折20次后，厚度为0.1×220 mm. 对折20次后，大约有35层楼高.探索新知 手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，每次对折称为一拉扣.探索新知连续拉扣6次后，能拉出多少根细面条？简记22 ×22 ×2 ×22 ×2 × 2×222232421248162 ×2 × 2×2×2322 ×2 × 2×2×2×2642526巩固练习⒈ 填空
（1）310的意义是 个3相乘.
（2） 平方等于它本身的数是 .
立方等于它本身的数是 .
（3） 一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 .
（4）(-2)6中指数是 ，底数是 .
（5）平方等于1/64的数是 ，立方等于1/64 的数是 .巩固练习归纳小结谈谈你的收获.作业布置 作业课本第61页，习题2.14，知识技能，1(4)(5)(6). 谢 谢情境导入情境导入情境导入情境导入观察上面几幅图中的数据，你发现了什么？ 这些数据都比较大，读写起来很不方便！情境导入 = 100 = 10 000 = 1 000 000= 100 000 000 以10为底的幂，10的指数n与运算结果中的0的个数相同，即比结果的整数位数少1.105104103102情境导入1 370 000 000= 1.37 × 1 000 000 000 = 1.37 × 109 情境导入6 400 000= 6.4 × 1 000 000 = 6.4 × 106 情境导入300 000 000= 3 × 100 000 000 = 3 × 108 第二章 有理数及其运算10 科 学 记 数 法 哲觉中学 苏勇探索新知 一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n 的形式，其中1 ≤ a ≤ 10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.含有记数单位“千”“万”“亿”等的数用科学记数法表示时，必须先将它还原为原数，再用科学记数法表示；
用科学记数法表示负数时，符号照写，将后面的正数用科学记数法表示即可.探索新知科学计数法中的a怎样确定， n怎样确定? 210000000小数点原来的位置小数点后来的位置小数点向左移动了8次n=整数位数-1，a为大于等于1且小于10 的数.巩固练习1、用科学记数法表示下列各数：
①32 000
②384 000 000
③94100.00
④-810 000
⑤10 000 000
⑥-223 000
⑦二千三百四十六万
⑧一亿五千万3.2×1043.84×108-8.1×1059.41×104150 000 000=1.5×1081×107=10723 460 000=2.346×107-2.23×105探索新知下列科学记数法表示的数的原数是什么？
①1×105
②4×103
③8.5×106
④7.04×102
⑤3.96×108
⑥3.6×103 100000400085000007043960000003600把用科学记数法表示的数还原为原数时，还原后的数的整数位数比n大1，当a的数位不够时，剩下的用0补足.归纳小结谈谈你的收获.作业布置 作业课本第64页，习题2.15，知识技能，1、2. 探索新知谢谢各位，
再见！复习导入1、有理数的运算有哪些？
2、学过哪些运算律？第二章 有理数及其运算 11 有理数的混合运算哲觉中学 苏勇探索新知有理数的混合运算的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，必须先算括号里面的. 例题讲解巩固练习巩固练习归纳小结课堂小结有理数的混合运算的顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，必须先算括号里面的.作业布置作业：课本第67页，习题2.16，知识技能，1(2)(4)(6)(8).回顾与思考谢谢复习导入你认为直接运算简便吗？你有什么办法来提高运算效率？第二章 有理数及其运算 12 用计算器进行运算哲觉中学 苏勇探索新知你熟悉计算器吗？探索新知常用功能键开启计算器.清除全部数据结果和运算符. 清除当前数据结果和运算符. 运算键与其它键配合执行第二功能.…探索新知探索新知一般按书写顺序依次按键.
若输入负数，则先输入(-)，再输入它的绝对值.
若输入分数，则先输入分子，再输入 ，最后输入分母.
若输入幂，则先输入底数，再输入 ，最后输入指数.使用计算器进行计算时的按键顺序是怎样的？例题讲解巩固练习巩固练习
事实上,因为12345679×9=111111111,
所以输入5,就得到结果555 555 555你能解释为什么吗?
如果输入的数字是5,则得到结果555 555 555
如果输入的数字是2,则得到结果222 222 222
如果输入的数字是7,则得到结果777 777 777归纳小结本节课同学们学习了什么内容？
有什么收获？
课堂小结作业布置课本第71页，习题2.17，知识技能，1. 作业!谢谢大家！回顾与思考第二章 有理数及其运算哲觉中学 苏勇回顾与思考1、有理数的两种分类梳理重点知识回顾与思考2、数轴梳理重点知识规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.回顾与思考3、相反数梳理重点知识只有符号不同的两个数互为相反数.
0的相反数是0.
a的相反数是 -a.
如果a与b互为相反数，那么a+b=0.回顾与思考4、绝对值梳理重点知识从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离. 数 a 的绝对值记为 |a|.
正数的绝对值是它本身；
0的绝对值是0；
负数的绝对值是它的相反数.回顾与思考5、有理数的大小比较梳理重点知识回顾与思考6、有理数的运算梳理重点知识（1）加法：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同0相加，仍得这个数.（2）减法：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.回顾与思考6、有理数的运算梳理重点知识加法四结合
1.凑整结合法 ；
2.同号结合法；
3.两个相反数结合法；
4.同分母或易通分的分数结合法.回顾与思考7、有理数的乘法梳理重点知识两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数与0相乘，积仍为0. 当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，积就为零.乘积为1的两个有理数互为倒数.回顾与思考8、有理数的除法梳理重点知识有理数除法法则一:两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除.0除以任何数等于0.0不能做除数.有理数除法法则二:除以一个数等于乘以这个数的倒数.回顾与思考9、有理数的乘方梳理重点知识求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.有理数的乘方运算法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.回顾与思考10、有理数的混合运算梳理重点知识运算顺序：
1）有括号，先算括号里面的；
2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
3）对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算.回顾与思考乘法交换律，结合律
在有理数运算中，有时利用运算律可以简化计算．回顾与思考乘法对加法的分配律．回顾与思考先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算.回顾与思考例4 已知|x|=3，|y|=2，且x ∴x=±3，y=±2
∵ x ∴x不能为3
∴x=-3，y=2 或 x=-3，y=-2
∴x+y=-3+2=-1 或 x+y=-3-2=-5.回顾与思考解：∵a + b ＜0，b+c＞0，c—a＞0
∴原式= -(a+b)+(b+c)-(c-a)
= -a-b+b+c-c+a
= 0回顾与思考例6 计算：回顾与思考解：（1）（2）（3）回顾与思考1、把下列各数填在相应的大括号内：
1，-0.1，-789，25，0，-20，-3.14.
正整数集 ｛ …｝
负整数集 ｛ …｝
正分数集 ｛ …｝
负分数集 ｛ …｝
正有理数集｛ …｝
负有理数集｛ …｝
回顾与思考2、若|x|－|y|=0，则（ ）
A. x=y B. x=-y
C. x=y=0 D. x=y或x=-y3、有理数a，b在数轴上对应位置如图所示，
则a+b的值为（ ） A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 大于aDB回顾与思考 A.负数 B.正数
C.非正数 D.非负数C4、若 | 2a |=-2a，则a一定是（ ）5、已知 | 2a+4 |+ | 3 -b |=0，则a+b=（ ）1回顾与思考 6、填一填：
1）绝对值小于2的整数有_____；
2）绝对值等于它本身的数有________；
3）绝对值不大于3的负整数有________；
4）数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为 . 回顾与思考8、已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a+b＜0，将四个数a，b，-a，-b按从小到大的顺序排列.7、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 |a| - |a+b| + |c-a| + |b+c|.回顾与思考9、南京出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶，如果规定向东为正，向西为负.则行车里程(单位:千米)为: 15，-2， 5， -1， -10， -3，-2，12，4，-5.
你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时，他距离出车的出发点有多远?回顾与思考回顾与思考11.一口井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬.第一次往上爬了0.5米后，又往后滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次往上爬了0.48米. 问蜗牛有没有爬出井口？再见课件79张PPT。数学·新课标（BS）第二章第二章 |过关测试数学·新课标（BS）整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 正有理数 正整数 正分数 零 负有理数 负整数 负分数 知识归类第二章 |过关测试数学·新课标（BS）2．数轴：(1)数轴的概念：规定了_______、_______、____________的直线，叫数轴；
(2)数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，零用______表示，正有理数用__________的点表示，负有理数用____________的点表示．
3．相反数：(1)概念：如果两个数只有_______不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是____．原点正方向单位长度原点原点右边原点左边符号0第二章 |过关测试数学·新课标（BS）(2)几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点_______，并且与原点的距离_______．
4．绝对值：(1)概念：在数轴上，一个数所对应的点与________的距离叫做该数的绝对值；
(2)绝对值的求法：正数的绝对值是它________，负数的绝对值是它的___________，0的相反数是____；
5．有理数的加法两侧相等原点本身相反数0第二章 |过关测试数学·新课标（BS）(1)法则：同号两数相加，取________的符号，并把绝对值_______；异号两数相加，绝对值相等时和为____，绝对值不相等时，取绝对值较____的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同____相加，仍得这个数．
(2)运算律：①交换律：a＋b＝_______；②结合律：(a＋b)＋c＝___________．
6．有理数的减法
(1)法则：减去一个数等于加上这个数的__________；
(2)字母表示：a－b＝a＋__________．相同相加0大0b＋aa＋(b＋c)相反数(－b)第二章 |过关测试数学·新课标（BS）7．有理数的乘法
(1)法则：两数相乘，同号得____，异号得____，并把绝对值_______；任何数与0相乘仍得____；
(2)推广：几个不为0的有理数相乘，积的符号由________的个数决定，当________有奇数个时，积为____，当________有偶数个时，积为____；
(3)倒数：乘积为 1 的两个有理数互为倒数，如－2与____、____与____；正负相乘0负因数负因数负负因数正第二章 |过关测试数学·新课标（BS）(4)运算律：①交换律：a·b＝_______；②结合律：(a·b)·c＝__________；③乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝___________．
8．有理数的除法
(1)法则一：两数相除，同号得____，异号得____，并把绝对值_______ ；0除以任何不等于0的数都得____；
(2)法则二：除以一个数等于乘以这个数的________．
9．有理数的乘方b·aa·(b·c)ab＋ac正负相除0倒数第二章 |过关测试数学·新课标（BS）(1)意义：一般地，求n个相同因数a的________的运算叫做乘方；即＝an，其中乘方的结果叫做____，a叫做_______，n叫做________；
(2)乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是________，负数的奇数次幂是______，负数的偶数次幂是________．
10．有理数的混合运算的运算顺序
先算_______，再算________，最后算________；如果有括号，就先算______________．乘积幂底数指数正数负数正数乘方乘除加减括号里面的第二章 |过关测试数学·新课标（BS）11．科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中____≤a＜____，n是_________，这种记数方法叫做科学记数法．110正整数第二章 |过关测试考点攻略数学·新课标（BS）?考点一 用正数和负数表示具有相反意义的量例1 规定正常水位为0米，高于正常水位0.2米记作＋0.2米，则下列说法错误的是( )
A．高于正常水位3米记作＋3米
B．低于正常水位5米记作－5米
C．＋6米表示水深为6米 D．－1米表示比正常水位低1米[答案] C第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点二 有理数及其分类 第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）[解析] 以前学过的数除0以外都是正数，正数前面加上“－”就是负数，然后再看它们是整数还是分数．第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点三 数轴 例3 [2010·盐城] 实数a、b在数轴上对应点的位置如图2－1所示，则a________b(填“＜”、“＞”或“＝”) .第二章 |过关测试数学·新课标（BS）[答案] ＜[解析] 由图可知，实数a、b都是负数，且表示数a的点在表示数b的点的左边，所以a＜b.第二章 |过关测试数学·新课标（BS）例4 有理数a、b在数轴上的位置如图2－2所示，试化简|a－1|－|b－a|.解：|a－1|－|b－a|＝a－1＋(b－a)＝a－1＋b－a＝b－1.第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点四 相反数和绝对值 例5 绝对值等于3的数有________个，它们分别是________，它们表示的是一对________数．[答案] 2 3、－3 相反[解析] 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此，绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点五 有理数的大小比较 [答案] (1)＞ (2)＜ (3)＞第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点六 数轴与有理数运算 第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点七 有理数的混合运算 第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点八 有理数运算的应用 例9 某粮食加工厂刚加工了10箱袋装大米，每箱20袋，每袋800克．其中有一箱因为灌装机出现故障，每袋少了50克．厂长责令质检员只能称一次，就要查出是哪一袋出现问题．质检员小明思考了一下，他将10个箱子从1到10作了编号，然后从1号箱子中取出1袋大米，从2号箱子中取出2袋大米，依此类推．这样一共取了55袋大米，将它们一起称量，称得质量为43800克，随后就找出了是哪一箱．你能明白其中的道理吗？第二章 |过关测试数学·新课标（BS）解： 55袋大米的标准质量应为800×55＝44000(克)，但是实际质量是43800克，少了200克．因为是每袋中少了50克，200÷50＝4，所以就是4号箱子中的大米不足．第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点九 绝对值的计算与应用例10 某出租车周日下午以钟楼为出发点，在东西方向的大街上行驶，规定向东为正，向西为负，行驶里程按照先后顺序记录如下(单位：km)：
＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10.
(1)最后出租车离开钟楼多远？在钟楼的什么方向？
(2)若每千米的收费价格是2.4元，该出租车周日下午的营业额是多少？第二章 |过关测试数学·新课标（BS）解：(1)＋9－3－5＋4－8＋6－3－6－4＋10＝0，故该出租车正好在钟楼；
(2)2.4×(|＋9|＋|－3|＋|－5|＋|＋4|＋|－8|＋|＋6|＋|－3|＋|－6|＋|－4|＋|＋10|)＝2.4×58＝139.2(元)．
即该出租车周日下午的营业额是139.2元．第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）?考点十 科学记数法 例11 用科学记数法表示80 000 000×90 000 000的计算结果．解：80 000 000×90 000 000＝7 200 000 000 000 000＝7.2×1015.[解析] 先计算出80 000 000×90 000 000的结果，再用科学记数法表示出来．第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试试卷讲练数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）针对第6题训练[答案] D第二章 |过关测试数学·新课标（BS）针对第7题训练1．计算(－1)2＋(－1)3＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2[答案] C2．计算－(－1)2012的结果是( )
A．1 B．－1 C．2012 D．－2012[答案] B第二章 |过关测试数学·新课标（BS）针对第15题训练1．中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，即用“数字牌”做24点游戏，抽出的四张牌分别表示2、－3、－4、6(每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除运算)．请写出一个算式，使结果为24：__________________________．[答案] 2×6＋(－3)×(－4)第二章 |过关测试数学·新课标（BS）2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4可作运算：(1＋2＋3)×4＝24.(注意上述运算与4×(2＋3＋1)应视为相同方法的运算)．现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：______________________.[答案] ① 3×[4＋10＋(－6)] ②[(10－4)－3×(－6)]第二章 |过关测试数学·新课标（BS）针对第16题训练[答案] -1第二章 |过关测试数学·新课标（BS）2．若(a－2)2＋|b＋3|＝0，则(a＋b)2012的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．2012
3．若|x－3|＋|y＋2|＝0，则|x|＋|y|等于( )
A．5 B．1 C．2 D．0[答案] B[答案] A第二章 |过关测试数学·新课标（BS）针对第18题(1)训练 第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）针对第18题训练第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）针对第24题训练1．计算下列各题并总结出规律．
1＋2＋3＋…＋2010＋2011＋2012.第二章 |过关测试数学·新课标（BS）第二章 |过关测试数学·新课标（BS）解：原式＝(1＋2012)＋(2＋2011)＋…＋(1006＋1007)＝2013＋2013＋…＋20131006
＝2013×1006＝2025078.
2．观察以下各式：
1＝12，
1＋3＝22，
1＋3＋5＝32，
1＋3＋5＋7＝42，
…第二章 |过关测试数学·新课标（BS）(1)你能运用上述规律求1＋3＋5＋…＋2013的值吗？
(2)求1＋3＋5＋…＋(2n－1)的值．[答案] (1)10072 (2)n2数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)试卷讲练数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)针对第4题训练1．将如图JD1－1正方体的相邻两面上各画分成九个一样的小正方形，并分别标上O、×两符号．若下列有一图形为此正方体的展开图，则此图为( )数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)[解析] C 由已知图可得，O、×两符号的上下位置不同，故可排除A、B；又注意到O、×两符号之间的空行有3列，故选C.数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)2．如图JD1－3是一个正方体的平面展开图，这个正方体是( )数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)[解析] D 由展开图的知识可知四个小方块与阴影面是对面，故A错误；由于在一个方向能看到三个面必定能看到有阴影的一面，故C错误；由于左右两块阴影部分为四分之一正方形面积，所以两个阴影部分不可能并排在一起，故B错误．数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)针对第10题训练1．已知a是有理数，且|a|＝－a，则有理数a在数轴上的对应点在( )
A．原点的左边
B．原点的右边
C．原点或原点的左边
D．原点或原点的右边[答案] C数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)2．若x的相反数是3，|y|＝5，则x＋y的值为( )
A．－8 B．2
C．8或－2 D．－8或2[解析] D 首先根据相反数，绝对值的概念分别求出x、y的值，然后代入x＋y，即可得出结果. 数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)针对第16题训练1．如果用“*”定义一种新运算：a*b＝a2＋b，那么(－8)*7＝____________．
2．如果定义运算符号“?”为a?b＝a＋b＋ab－1，那么3?2的值为( )
A．11 B．12 C．9 D．10
[答案] 71[答案] D数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)3．现定义一种新运算：a?b＝ab＋a－b，如1?3＝1×3＋1－3＝1.
(1)求[(－2)?5]?6的值；
(2)新定义的运算满足交换律吗？试举例说明．数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)解：(1)因为a?b＝ab＋a－b，代入这种新运算，
所以(－2)?5＝(－2)×5－2－5＝－17.
所以(－17)?6＝(－17)×6－17－6＝－125.
故[(－2)?5]?6的值为－125.
(2)因为新运算a?b＝ab＋a－b，所以b?a＝ba＋b－a，所以a?b≠b?a，
故新定义的运算不满足交换律．
例如：2?1＝2＋2－1＝3，1?2＝2＋1－2＝1，显然2?1≠1?2.数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)针对第21题训练1．如图JD1－5表示一个由相同小立方块搭成的几何体从上面看的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体从正面看的形状图为( )[变式拓展] 数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)[解析] C 从上面看的形状图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得从正面看的形状图有3列，从左到右每列中小正方形的个数分别是4，3，2.数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)2．如图JD1－7是一个由一些相同的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，请你画出从正面和左面看的形状图．数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)[解析] 由已知条件可知，从上面看有4列，每列小正方数形数目分别为1，2，3，2，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2.据此可画出图形．数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)解：数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)3．如图JD1－9，是一个由小立方块所搭几何体从上面看的形状图．正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请你画出从正面和左面看得到的形状图．[解析] 由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，3，2，从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，2.据此可画出图形．数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)解：根据分析可画出图形：数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)针对第23题训练1．在一条笔直的东西走向的马路上，有少年宫、学校、超市、医院四家公共场所．已知少年宫在学校东300米，超市在学校西200米，医院在学校东500米．
(1)你能利用所学过的数轴知识描述它们的位置吗？
(2)小明放学后要去医院看望生病住院的奶奶，他从学校出发向西走了200米，又向西走了－700米，你说他能到医院吗？数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)[解析] (1)把学校的位置记作0米，向东为正，向西为负，即可用数轴表示；(2)通过计算，根据计算结果即可求得．数学·新课标（BS）阶段综合测试一(月考)解：(1)(2)(－200)＋700＝500米，则他在学校的东500米，他能到医院．课件40张PPT。数学·课标版（BS）第二章复习第二章复习知识归纳数学·课标版（BS）整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 正有理数 正整数 正分数 零 负整数 负分数负有理数 第二章复习数学·课标版（BS）2．数轴
(1)数轴的概念：规定了_____、_______、___________的直线，叫数轴；
(2)数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，零用_____表示，正有理数用_________的点表示，负有理数用_________的点表示．
3．相反数
(1)概念：如果两个数只有_____不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是_____.
(2)几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点_____，并且与原点的距离_______.原点正方向单位长度原点原点右边原点左边符号0两侧相等第二章复习数学·课标版（BS）原点 本身 相反数 0 相同 相加 0 大 0 b＋a a＋(b＋c) 第二章复习数学·课标版（BS）相反数 (－b) 正 负 相乘 0 负因数 负 正 负因数 负因数 b·a a·(b·c) ab＋ac 正 负 相除 0 倒数 乘积 幂 底数 指数 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）正数 负数 正数 乘方 乘除 加减 括号里面的 1 10 正整数 第二章复习考点攻略数学·课标版（BS）?考点一 用正数和负数表示具有相反意义的量 C 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点二 有理数及其分类 13，＋6 －2 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点三 数轴 ＜ 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点四 相反数和绝对值 相反 23、－3第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点五 有理数的大小比较＞＜＞第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点六 数轴与有理数运算 A 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点七 有理数的混合运算 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点八 有理数运算的应用 第二章复习数学·课标版（BS）?考点九 绝对值的计算与应用 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）?考点十 科学记数法 第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习试卷讲练数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）针对第6题训练D 第二章复习数学·课标版（BS）针对第7题训练CB第二章复习数学·课标版（BS）针对第15题训练第二章复习数学·课标版（BS）① 3×[4＋10＋(－6)] ②[(10－4)－3×(－6)]
(答案不惟一)第二章复习数学·课标版（BS）针对第16题训练－1 B A 第二章复习数学·课标版（BS）针对第18(1)题训练第二章复习数学·课标版（BS）针对第18(2)题训练第一章复习数学·课标版（BS）针对第24题训练第二章复习数学·课标版（BS）第二章复习数学·课标版（BS）第二章 有理数及其运算检测题
【本试卷满分100分，测试时间90分钟】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下面每组中的两个数互为相反数的是（ ）
A.－和5 B.－2. 5和2
C.8和－（－8） D.和0.333
2.有理数在数轴上表示的点如图所示，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的是 （ ）
A. B.
C. D. =8
4.计算的值是（ ）
A.0 B. C. D.
5.如果和互为相反数，且，那么的倒数是（ ）
A. B. C. D.
6.下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；
②异号两数相乘，积取负号；
③互为相反数的两数相乘，积一定为负；
④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.气象部门测定发现：高度每增加1 km，气温约下降5 ℃．现在地面气温是15 ℃，那么
4 km高空的气温是（ ）
A.5 ℃ B.0 ℃ C.－5 ℃ D.－15 ℃
8.在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.无数个
9.计算等于（ ）
A.－1 B.1 C.－4 D.4
10.若规定“!”是一种数学运算符号，且则的值为（ ）
A. B.99! C.9 900 D.2!
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.若规定，则的值为 .
12.绝对值小于4的所有整数的和是 ．
13.如图所示，在数轴上将表示－1的点向右移动3个单位后，对应点表示的数是_________.
14.测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差（g）如下表．检验时，通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负．请你选出最接近标准质量的球，是 号．
号码
1
2
3
4
5
误差（g）
0.1
0.2
15.某次数学测验共20道选择题，规则是：选对一道得5分，选错一道得－1分，不选得零分，王明同学的卷面成绩是：选对16道题，选错2道题，有2道题未做，他的得分是 .
16.讲究卫生要勤洗手，人的一只手上大约有28 000万个看不见的细菌，用科学记数法表示两只手上约有 个细菌．
17.某年级举办足球循环赛，规则是：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得－1分，某班比赛结果是胜3场平2场输4场，则该班得 分．
18.如图是一个数值转换机的示意图，若输入的值为3，的值为－2，则输出的结果为 ．
三、解答题（共46分）
19.（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
20.（5分）已知：，，且，求的值.
21．（5分）若＞0，＜0，＞，用“＜”号连接，，，－，请结合数轴解答．
22．（6分）某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
－5
+7
－3
+4
+10
－9
－25
（1）本周三生产了多少辆摩托车？
（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？
23．（6分）为节约用水，某市对居民用水规定如下：大户（家庭人口4人及4人以上者）每月用水15 m3以内的，小户（家庭人口3人及3人以下者）每月用水10 m3以内的，按每立方米收取0.8元的水费；超过上述用量的，超过部分每立方米水费加倍收取．某用户5口人，本月实际用水25 m3，则这户本月应交水费多少元?
24．（6分）李强靠勤工俭学的收入维持上大学费用，表中是李强某一周的收支情况表，记收入为正，支出为负（单位：元）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入
+15
+18
0
+16
0
+25
+24
支出
10
14
13
8
10
14
15
（1）到这个周末，李强有多少节余？
（2）照这个情况估计，李强一个月（按30天计算）能有多少节余？
（3）按以上的支出水平，李强一个月（按30天计算）至少有多少收入才能维持正常开支？
25.（6分）观察下列各式：
……
猜想：
（1） ；
（2）如果为正整数，那么 .
第二章 有理数及其运算检测题参考答案
一、选择题
1.B 解析：只有符号不同的两个数是互为相反数，B项中B项正确.
2.D 解析：由数轴可知，所以
其在数轴上的对应点如图所示，
则，选D.
3.B 解析：，A错;，C错;，D错.只有B是正确的.
4.B 解析：
5.A 解析：因为和互为相反数，所以，故的倒数是.
6.B 解析： ①错误，如，符号改变; ③错误，如0×0，积为0；②④正确.
7.C 解析：.
8.C 解析：一个数的立方等于本身的数有1，，0，共3个.
9.C 解析： .
10.C 解析：根据题意可得：100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1，
∴ =100×99=9 900，故选C．
二、填空题
11. 解析：.
12.0 解析：绝对值小于4的所有整数是，其和为.
13.2 解析：.
14.1 解析：误差绝对值越小的越接近标准质量.
15.78分 解析：（分）.
16.
17.7 解析：（分）.
18.5 解析：将代入得.
三、解答题
19.解：（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
20.解：因为，所以.因为，所以.
又因为，所以.
所以或.
21.解：因为＜0，所以.
将，，，－在数轴上表示如图所示：
故，即.
22.分析：（1）明确增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数，依题意列式，再根据有理数的加减法法则计算；
（2）首先求出总生产量，然后和计划生产量比较即可得到结论；
（3）根据表格可以知道产量最多的一天和产量最少的一天各自的产量，然后相减即可得到结论．
解：（1）本周三生产的摩托车为：（辆）.
（2）本周总生产量为（辆），
计划生产量为：300×7=2 100（辆），2 100－2 079=21（辆），
所以本周总生产量与计划生产量相比减少21辆.
或者由，
可知本周总生产量与计划生产量相比减少21辆.
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了（辆），
即产量最多的一天比产量最少的一天多生产了35辆．
23.解：因为该用户是大户，所以应交水费（元）.
答：这户本月应交水费28元.
24.分析：（1）七天的收入总和减去支出总和即可；
（2）首先计算出平均一天的节余，然后乘30即可；
（3）计算出这7天支出的平均数，即可作为一个月中每天的支出，乘30即可求得．
解：（1）由题意可得：（元）.
（2）由题意得：14÷7×30=60（元）.
（3）根据题意得：10+14+13+8+10+14+15=84，
84÷7×30=360（元）．
答：（1）到这个周末，李强有14元节余.
（2）照这个情况估计，李强一个月（按30天计算）能有60元节余.
（3）按以上的支出水平，李强一个月（按30天计算）至少有360元收入才能维持正常开支.
25.解：（1）.
（2）.
章节测试（2.1~2.7）
（时间：45分钟 总分：100分）
一、填空题（3×10=30）
1、一艘潜艇正在—50m处执行任务，其正上方10m有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处的高度是_________；
2、若，则 ；若______；
3、绝对值小于4的所有非负整数是 ；
4、点A在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点右侧，若将A向左移动4个单位长度，此时点A所表示的数是_________，若点B所表示的数是A点开始时所表示的相反数，作同样的移动以后，点B表示的数是_________；
5、观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：
1，—2，3，—4，________，________，_________；
6、若，则=______； ；
7、计算： ；= ；
8、若 ，则= ；
9、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有 个．
–6 –4 –3 –2 1 0 1 2 3 5 6
10、小明与小刚规定了一种新运算*：若a、b是有理数，则a*b = 。小明计算出2*5= - 4，请你帮小刚计算2*（-5）=
二．选择题（3×10=30）
1、在数轴上，原点两旁与原点等距离的两点所表示的数的关系是（ ）
A、相等 B、互为相反数
C、互为倒数 D、不能确定
2、一个正数的绝对值小于另一个负数的绝对值，则两数和一定是 （ ）
A、正数 B、负数
C、零 D、不能确定和的符号
3、一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（ ）
A、24.70千克 B、25.30千克
C、25.51千克 D、24.80千克
4、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）
A、7 B、—7
C、0 D、5
5、下列说法中正确的是（ ）
A、最小的整数是0
B、有理数分为正数和负数
C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D、互为相反数的两个数的绝对值相等
6、下列各式运算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、若a、b为有理数，a>0，b<0，且│a│<│b│，那么a，b，—a，—b的大小关系是（ ）
A、b C、b8、某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）
1000，—1200，1100，—800，1400，该运动员共跑的路程为（ ）
A、1500m B、5500m
C、4500m D、3700m
9、学校、家、书店依次座落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20m，书店在家北边100m，张明同学从家里出发，向北走了50m，接着又向北走了—70m，此时张明的位置在（ ）
A、在家 B、学校
C、书店 D、不在上述地方
10、若| a |=3，| b |=5，a与b异号，则| a—b |的值为（ ）
A、2 B、-2
C、8 D、2或8
三、解答题：
1、在数轴上表示下列各数：0，–2.5，，–2，+5，，并比较它们的大小.（5分）
2、计算：0.47－4－（－1.53）－1 （5分）
3、将—8，—6，—4，—2，0，2，4，6，8这9个数分别填入下图中，使得每行的3个
数，每列的3个数，斜对角的3个数相加均为0.（5分）
4、下表是某中学七年级5名学生的体重情况：（8分）
姓名
小颖
小明
小刚
小京
小宁
体重（千克）
34
45
体重与平均体重的差
－7
＋3
－4
0
（1）完成上表.
（2）谁最重？谁最轻？
（3）最重的与最轻的相差多少？
5、某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
－5
+7
－3
+4
+10
－9
－25
（1）本周三生产了多少辆摩托车？
（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？（8分）
6、某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15、—2、+5、—1、+10、—3、—2、+12、+4、—5、+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：—17、+9、—2、+8、+6、+9、—5、—1、+4、—7、—8.
（1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工两小组各耗油多少升？（9分）
章节测试（2.8~2.12）
（时间：45分钟 总分：100分）
一、填空题：（3×10=30）
1、在－(—2)，－|—2|，(—2)2，—22四个数中，负数有_________个
2、如果x<0，且x2=25，那么x= _________
3、计算
4、________
5、在中，指数是 ，底数是 。
6、 ； ．
7、如果a、b互为倒数，那么 ．
8、下面一列数，观察后找规律，并填上适当的数。1，—2，4，—8， ， ， ………
9、若│χ+3∣+（y—2）=0，则 = ．
10、计算：=_________。
二、选择题：（3×10=30）
1、下面说法正确的是（ ）
A、和互为倒数 B、和互为倒数
C、0.1和10互为倒数 D、0的倒数是0
2、 的意义是( )
A、3个相乘 B、3个相加
C、 乘以3 D、 的相反数
3、下列计算正确的是( )
A、 B、
C、 D、
4、下列各组的两个数中,运算后结果相等的是( )
A、和 B、 和
C、 和 D、和
5、ab<0,下列各式成立的是（ ）
A、a=b B、aC、06、一个数的倒数是它本身的数是( )
A、1 B、—1
C、±1 D、0
7、下列计算结果等于1的是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、若，则的大小关系是 ( )．
A、 B、
C、 D、
9、的值是 ( )
A、 B、
C、或 D、3或1
10、设n是正整数，则的值是 ( )
A、0或1 B、1或2
C、0或2 D、0，1或2
三、解答题：
计算：（每小题4分，共16分）
（1） （2）
（3）
（4）
2、某冷冻厂的一个冷库的温度为℃，现有一批食品需要在℃冷藏，如果每小时降温4℃，问几小时能降到所要求的温度？（6分）
3、某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1道题加10分，答错1道题扣10分，每个队的基本分为100分，有一个代表队答对了12道题，答错了5道题，请问这个队最后得多少分？（6分）
4、32－12＝8×1； 52－32＝8×2； 72－52＝8×3； 92－72＝8×4……
观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律，并用这个规律计算20012－19992的值．（6分）
5、某商场举行庆“十一”优惠销售活动，采取“满一百送二十，并且连环增送”的酬宾方式，即顾客每花钱满100元（100元既可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计）就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券，依次类推。有一天，一位顾客一次就花了14000元钱，那么他还可以购回多少钱的物品？相当于几折销售？（6分）
数学吧
——漫谈算术数与有理数
学习了负数之后，所研究的数的范围，就由算术数(正整数、正分数和零)扩充到了有理数.那么随着数的集合的扩充，数的性质是否也随着发生变化了呢?这是一个值得大家认真思考的问题.
同学们可能已经发现，算术数的有些性质，在有理数集合内被“完整”地保留下来.如数0和1的运算性质：“任何数同0相加仍得这个数；任何数同1相乘仍得这个数”，在有理数集合中仍然成立；加法和乘法的运算律在有理数中也仍然使用，并且有理数的四则运算的法则都是通过算术数的四则运算的法则加以规定的.但是大家一定要注意到，并不是算术数集合的所有性质都可以原封不动地搬到有理数集合中使用.也就是说，有些算术数所具备的性质，在有理数集合中不一定成立；反之，算术数所不具备的性质，在有理数集合中却能够成立.下面我们从几个具体的方面加以说明.
1．零的意义不再表示“没有”．
在小学学习自然数时，曾经学过，自然数是数物体的个数而得到的．如从一只羊，两个苹果，三棵树，…，十个手指头等数具体物体的过程中，逐渐抽象产生出自然数1，2，3，…，10，….后来为了计算的需要和表示没有物体，就想出了用“零”来代替，记作0，这是在小学算术中，我们对“零”的认识．在生活语言中，也常有类似的情况，如有人说：“张三的话等于零”，意思是指张三说了不起作用，和没说一个样.但是在有理数集合中，“0”不再表示“没有”了.例如，某地海拔高度是0米，是指这一地点与海平面的高度一样高，而不是指这个地点没有高度.类似的例子，同学们自己也能够举出一些！
2．零不再是最小的数了．
在算术数中，0是最小的一个数，0以外的其它数都比0大.而在有理数集合中，却既没有最大的数，也没有最小的数. 0不再是最小的有理数，比0小的有理数有无数多个，所有的负数都小于0．
3．关于减法运算的封闭性．
在算术数中，我们知道，任意两个算术数的和、积、商(除数不得为0)仍然还是算术数.因此，我们就说算术数关于加法、乘法和除法具有封闭性.然而，算术数关于减法却不具有封闭性.如2－3，小学同学都会说，这“不够减的”或“减不着”.原因就是，被减数2小于减数3，在算术数中找不到这样一个数，它与3的和等于2.因此，在算术数中，进行减法运算有一个限定：被减数一定要不小于减数，这时差才存在(是个算术数)，否则减法将无法进行.在有理数集合中，这个限定被取消了，任何两个有理数都能相减，并且差还是一个有理数，当被减数大于减数时，差是正数；当被减数等于减数时，差是0；当被减数小于减数时，差是负数.有理数关于加法、减法、乘法、除法(除数不得为零)和乘方运算都具有封闭性.
4．减法统一为加法．
对于算术数而言，加法与减法是相互对立的：加法和减法互为逆运算，二者有各自不同的运算法则.在有理数集合中，加法和减法也互为逆运算，但根据有理数减法法则，便把有理数的减法转化为加法进行，从而使加、减这两种运算统一为一种运算.有理数加法和减法二者之间的这种既相互对立又相互统一的关系，正是数学中充满辩证法的一个生动事例.
趣谈数轴
数轴，一根不起眼的直线，它确有无穷的法力.你看：千千万万、形形色色的有理数一旦回到数轴上，就变得规规矩矩、井然有序，从左向右依次按从小到大排成一队，谁也不能站错位.如果将数轴看成一个庄园，那么可以说在这个庄园里有三个部落：正数、零、负数。正数人丁兴旺，谁也数不清它们究竟有多少；零孑然一身，名副其实的孤苦“0”丁；负数虽然出现比较晚，但它的后代并不比正数逊色.尽管正数和负数家族十分兴旺，但它们并不欺负无依无靠的“0”，将庄园中最好的位置（原点）让给了它.值得注意的是：所有的有理数都可以在数轴上各自找到唯一的栖身之处，但数轴这个大庄园里不全部是有理数，还有无理数，在以后的学习中会学到.
速算天才有一次，爱因斯坦生病，躺在床上。他的一位朋友去看他，顺便出个题目给他消遣，那道算题是2974×2926＝？ 不料他刚说出口，爱因斯坦就算好了。原来后者注意到74与36之和刚巧是100，因此可以利用一种速算法：29×30＝87074×2＝（50＋24）（50—24）＝1924，把1924附在870之后，便得到了最后的答数8701924。 1846年，发现海王星的伟大天文学家亚当斯博士曾经向一个10岁的小男孩亨利·斯塔福德发问：“你心算一下，365，365，365，365，365，365乘以365，365，365，365，365，365是多少？”这个孩子咬着手指，转动着眼珠，不到一分钟，他给出了正确的答案：133，491，850，208，566，925，016，658，299，941，583，225。齐拉·科尔伯恩是另一位善算的奇才，他是美国佛蒙德州一个农民的儿子。当他8岁时，有人要他心算一下，816的16次方是多少？他毫不犹豫地回答说，这个答数是：281，474，976，710，656。这使得考场里的学者们拍案赞叹。 这些心算奇迹究竟是怎样实现的？这些孩子到底使用了什么方法？历史上都缺乏报道。许多人都认为，这种天赋只是少数人所独有的，其他人根本学不会，也用不着去学。此种看法未免太偏面了，有点近于武断。我们并不否认，好多速算天才后来沦为普通人，但也不能据此而得出错误的结论。 解放后的新中国，出过不少速算奇才。尤其是近几年，有不少青少年速算奇才，有的还写了专门讲速算方法的小书；有的则被港澳及国外报刊誉为“超级活电脑”。我国是一个有10亿人口的大国，人口资源十分丰富，有速算奇才的人一定为数不少，这样的人才绝不能任其埋没。把这样的成人和儿童集中起来，对他们进行生理与心理的实验研究，应该说是一件非常有意义的工作。
课件24张PPT。一、建构知识网络1、有理数的两种分类： 正整数
整数 0
有理数 负整数
正分数
分数
负分数二、梳理重点知识2、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.只有符号不同的两个数互为相反数.
0的相反数是0.
a的相反数是 －a.
如果a与b互为相反数，那么a+b=0.3、相反数：
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数
的点离开原点的距离. 数 a 的绝对值记为 | a |.
正数的绝对值是它本身；
0的绝对值是0；
负数的绝对值是它的相反数.4、绝对值：5、有理数的大小比较：（1）加法：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较
大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。（2）减法：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。6、有理数的运算：（4）这些数从小到大，用“＜”号连接起来:
．（2）3.75的相反数是 ，绝对值是 ，倒数
是 ．（3）这些数用数轴上的点表示后，与原点距离最远的
数是_____．（1）在这些数中，整数有 个，负分数有 个，
绝对值最小的数是 ．例1、给出下列各数：3203.75 -3.75-6三、剖析典型例题（1）写出在数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数；答：4.3和-4.3答：-1和-9（2）写出在数轴上和表示-5的点距离等于4个单位的点所表示的数；（3）若将第2题中所得到的左边的点向右移动1.5个单位，右边的点向左移动2.5个单位，则各表示什么数？例2、 答：各表示-7.5和-3.5例3、
已知|x|=3，|y|=2，且x ∴x=±3，y=±2
∵ x ∴x不能为3
∴x=-3，y=2 或 x=-3，y=-2
∴x+y=-3+2=-1 或 x+y=-3-2=-5.化简：| a + b | + | b + c | — | c – a |.例4、
数a，b，c在数轴上对应位置如图，解：∵a + b ＜0，b+c＞0，c—a＞0
∴原式= -（a+b）+（b+c）-（c-a）
= -a-b+b+c-c+a
= 0例5、计算：解：（1）（2）（3）加法四结合:1.凑整结合法 ；
2.同号结合法；
3.两个相反数结合法；
4.同分母或易通分的分数结合法.小结 例6、 小明父亲上星期买进某公司股票1000股，每股
27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元） ①周三收盘时，每股 元。②本周内最高价每股 元，
最低价值每股 元。④以上周六买进27元为0元，用折线统计图表示出该周股票的涨跌情况。34.535.531 注： ①正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降。 ②周六、周日休市。+4+6.5+7.5+8.5+5③完成下表1、把下列各数填在相应的大括号内：
1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，
正整数集｛ …｝
负整数集｛ …｝
正分数集｛ …｝
负分数集｛ …｝
正有理数集｛ …｝
负有理数集｛ …｝
四、综合应用 2、填一填：
1）绝对值小于2的整数有________;
2）绝对值等于它本身的数有___________;
3）绝对值不大于3的负整数有__________;
4）数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上
表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为 . 3、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 |a|— | a+b | + | c-a | + | b + c |.4、已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a+b＜0，将四个数a，b，—a，—b按从小到大的顺序排列.5、计算：
（1）-（-12）-（-25）-18+（-10）
( 2 )
( 3 ) 6、南京出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶,你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时,他距离出车的出发点有多远?五、课堂小结 在数轴上到一个已知点的距离相等的点通常
有两个.用数学可以去解决生活中的变化现象，对于几次连续的变化情况可以用有理数的加减法去解决.要学会分类讨论，运用分类思想.探究一六、拓展延伸 一口井,水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬。第一次往上爬了0.5米后，又往后滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次往上爬了0.48米.
问蜗牛有没有爬出井口？探究二感受 数学是一门十分有用的科学，它能帮助我们分析、解决许多生活中实际问题。 课件18张PPT。一、说一说同学们还记得我们上节课复习的知识点吗？看看谁记得牢，说得多？1、若|x|－|y|=0，则（ ）
A. x=y B. x=－y
C. x=y=0 D. x=y或x=－y2、有理数a，b在数轴上对应位置如图所示，
则a+b的值为（ ） A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 大于aDB二、比一比 A.负数 B.正数
C.非正数 D.非负数C3、若 | 2a |= — 2a，则a一定是（ ）4、已知 | 2a+4 |+ | 3 -b |=0，则a+b=（ ）
15、已知a、b在数轴上如图所示，请比较a、b、-a、-b的大小。b＜—a ＜a ＜ —b1、有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝
对值相乘。
任何数与0相乘，积仍为0.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，积就为零.乘积为1的两个有理数互为倒数.三、想一想有理数除法法则一:两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0除以任何数等于0。0不能做除数。有理数除法法则二:除以一个数等于乘以这个数的倒数。2、有理数的除法求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作:＝幂指数底数3、有理数的乘方正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.乘方运算的法则：它们的意义不相同!(-2)4 与 -24 相同吗？ 运算顺序：1）有括号，先算括号里面的；
2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
3）对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。4、有理数的混合运算小结：在有理数运算中，有时利用
运算律可以简化计算．例1、解：四、做一做乘法交换律,结合律
乘法对加法的分配律．例2、解：例3、计算：
（1）11+（－22）－3×（－11）解：原式 =11+(－22) –( - 33 )
=11+（－22）+33
=22先乘除,后加减注意符号！解：例先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 计算：
（1）
（2）（3）
（4）五、练一练有理数的运算是一切计算的基础，失
去了这个基础学习中会遇到很多困难。六、议一议利用有理数运算解决实际问题，重
在“算法”，即计算的方法。
某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃，若该地地面温度为21 ℃，高空某处温度为－39 ℃，求此处的高度是多少千米？七、拓展延伸 解： 1×｛［21－（－39）］÷6｝
=1×（60÷6）
=10（千米）
因此：此处的高度是10千米．再见《有理数》一章中数学思想方法大盘点
数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学的精髓，是解题的指导思想，更能使人受益终身.《有理数》中常用的数学思想方法有：
数形结合的思想方法
数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来，分析、研究、解决问题的一种思想方法，是数学中最常用的方法.我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.数形结合，相得益彰.利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简.用数轴上的点表示有理数，就是简单的数形结合思想的体现.用数轴上的点表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及比较有理数的大小等，更具有直观性.
数a在数轴上的位置如图1所示，试把a，a的相反数、a的倒数和a的倒数的
绝对值按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
分析：首先在数轴上找到a的相反数、a的倒数和a的倒数的绝对值的位置，然后利
用数轴比较它们的大小.
解：因为a的相反数是-a，a的倒数是，a的倒数的绝对值是||，由图1可知：
-1＜a＜0，所以0＜-a＜1，＜-1，||＞1.所以＜a＜-a＜||.
分类讨论的思想方法
某些数学问题，涉及到的概念、法则、性质、公式是分类给出的，或在解答过程中，
条件或结论不惟一时，会产生几种可能性，就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论.这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想，其作用是考察学生思维的周密性，使其克服思维的片面性，防止漏解.在《有理数》一章中研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号法则等，都是将有理数分成正数、负数、零三类分别研究的.分类必须遵循下列两条原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）分类要做到不重复、不遗漏.例如，把有理数分为正数和负数两类就错了，错误原因是漏掉了零.
例2 比较3a和-3a的大小.
分析：由于题中没有给出a的取值范围，故需分三种情况来进行讨论.
解：（1）当a＞0时，3a＞0，-3a0，∴3a＞-3a；
（2）当a=0时，3a =0，-3a =0，∴ 3a =-3a；
（3）当a＜0时，3a＜0，-3a＞0，∴3a＜-3a.
三、逆向思考的思想方法
本章中的运算法则均以等式的形式出现，对于这些法则，不仅要会正向应用，而且还要能够逆向运用.
例3 计算：（-2）2006+（-2）2007=（ ）.
A、-24013 B、-2 C、-22006 D、22006
分析：本题乍一看很难下手，但又一想，（-2）2007=（-2）2006+1=（-2）2006×（-2），即逆用乘方的概念，而（-2）2006+ （-2）2006×（-2），再逆用乘法对加法的分配律，即可求解.
解：原式=（-2）2006+ （-2）2006×（-2）=（-2）2006×（1-2）=-（-2）2006，选C.
方程的思想方法
方程思想是指把一个数学问题通过适当的途径转化为方程（组），从而使问题得到解決的数学思想方法。它在探索解题思路时经常使用，尤其对解決与数量有关的数学问题时行之有效.
例4 （浙江省 绍兴市中考题）在等式的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立.则第一个方格内的数是___________.
分析：设这个数为x，则它的相反数是-x，代入得：3x-2（-x）＝15，即3x+2x＝15，5x＝15，解得x＝3.因此第一个方格内的数是3.
五、转化的思想方法
所谓转化思想，就是把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的
问题，具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”.一言以蔽之，数学解题过程的实质就是转化过程.通过《有理数》一章的学习，我们知道，有理数实质就是比小学学过的数多了一类数——负数.任何一个非零有理数都是由符号和绝对值两部分构成的，有理数的各种运算都是先确定符号再计算绝对值.而符号确定以后，绝对值的计算就是小学学过的数的计算.又如，有理数的减法是转化为有理数的加法来进行计算的，有理数的除法是转化为有理数的乘法来进行计算的.
例5 比较与的大小.
分析：因为==1-，==1-，所以要比较它们的大小，应转化为比较和的大小.
解：用求差法.
-=（1-）-（1-）=-
=-＞0.
∴＞.
六、实验、观察、猜想、论证的思想方法
实验、观察、猜想、论证是解決数学问题的重要思想方法。实验是基础，在实验中要注意分析和观察规律；观察是关键，在观察中要透过现象看本质，从特殊中找出一般；猜想是核心，会推理判断，能归纳猜想，就能有所发现；论证是结果，是对实验、观察、猜想的科学总结.
例6 （江苏省泰州市中考题） 如图2，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律 ．
分析：通过仔细观察分析，寻找规律，充分体现了不完全归纳法在找规律题中的应用.从多角度思考，可得到如下多种解法（到高中阶段你就可以对结论进行证明）：
方法1：（递推法）0+1=12，（0+1）+（1+2）=22，（0+1+2）+（1+2+3）=32，（0+1+2+3）+（1+2+3+4）=42，…[0+1+2+…（n-1）]+（1+2+3+…+n）=n2.
方法2：（拆数法）1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…1+3+5+…（2n-1）=n2.
方法3：（拼图法）将线下n个点拿去，移动后可拼成一个矩形，其宽有（n-1）个点，长为n个点，因此共有n+n（n-1）=n2个点.
方法4：（相加法）第n个正方形直线上方点的总数为1+2+3+…+n-1=，直线下方点的总数为1+2+3+…+n=，故第n个正方形点阵中总点数为+，即n2.因此规律为+= n2.
说明：这是一道设计新颖、具有一定挑战性的问题.其解题思路比较宽，解法较多，但阅卷中发现，许多学生对这类探索题感到比较棘手，得分率较低.希望你再去研究本题的其他解法，与你的同伴交流.
有理数及其运算
回顾与思考（一）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过本章的学习，已经掌握了有理数的有关概念。能运用正、负数表示生活中具有相反意义的量，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，能利用数轴比较有理数的大小．对绝对值的概念以及如何求一个数的绝对值也有了一定的理解，会利用绝对值比较两个负数的大小.此外，通过本章的学习，还掌握了有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则及运算律，并利用其解决了一些问题，具备了利用运算解决一些简单实际问题的经验.
学生活动经验基础：在本章的学习过程中，学生已经经历了一些观察、猜想、探索、发现、比较、分析、综合等数学活动，积累了比较丰富的活动经验。在学习新知的同时发展了一定的抽象、概括能力；在解决问题的同时提高了一定的探究能力；在独立思考的基础上，体验到了合作交流的重要性.同时在本章的学习过程中，学生的语言表达以及发表见解方面都已获得了一些成功的感受，具备了学习本节课所需要的活动经验基础.
二、教学任务分析
本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分主要内容是有理数的有关概念；第二部分主要内容是学习有理数的加减法运算；第三部分主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．本节课主要是针对第一部分和第二部分的内容进行知识梳理和复习.本节课的教学目标是：
1、整理本章知识网络；
2、复习正数与负数，有理数、相反数、绝对值、数轴等概念；
3、复习有理数的加、减运算法则；
4、复习有理数的加减混合运算的运算律；
5、运用有理数及其运算解决实际问题．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节： 第一环节：建构知识网络；第二环节：梳理重点知识；第三环节：剖析典型例题；第四环节：综合应用；第五环节：课堂小结； 第六环节： 拓展延伸。
第一环节：建构知识网络
活动内容: 学生对照课本的章节目录，和教师一起画出全章的知识框架图.
活动目的：帮助学生构建全章知识框架图，让学生对本章知识有一个系统的了解和认识。
活动的实际效果: 学生对全章知识能形成更全面的理解，对本章的知识脉络也能形成更清晰的认识．
第二环节：梳理重点知识
活动内容: 学生以小组竞赛的形式回顾知识点，教师根据学生的回顾将主要知识点罗列在框架图后.
有理数的两种分类；
数轴：（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
（2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
相反数：（1）只有符号不同的两个数互为相反数.
（2）0的相反数是0.
（3）a的相反数是 －a.
（4）如果a与b互为相反数，那么a+b=0.
绝对值：（1）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.
（2）数 a 的绝对值记为 | a |.
（3）正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数.
有理数的大小比较：（1）在数轴上，右边的数总是大于左边的数.
（2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；
（3） 两个正数，绝对值大的大；
（4） 两个负数，绝对值大的反而小．
有理数的加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加， 取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数。
活动目的：通过对知识点的梳理和复习，让学生起到温故而知新的作用.同时，在学生已有的认知基础上对知识点的再复习，能让学生对数学概念有更深层次的理解和认识.
活动的实际效果: 对照本章的知识结构框架图，学生应该能回忆出大部分知识点；以小组竞赛的形式进行这一环节的学习，能很好地调动学生的学习兴趣.
第三环节：剖析典型例题
活动内容: 出示例题，让学生先独立思考，再上台讲解.
例1、给出下列各数：
（1）在这些数中，整数有 个，负分数有 个，绝对值最小的数是 ．
（2）3.75的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ．
（3）这些数用数轴上的点表示后，与原点距离最远的数是_____．
（4）这些数从小到大，用“＜”号连接起来： ．
例2、（1）写出在数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数；
（2）写出在数轴上和表示-5的点距离等于4个单位的点所表示的数；
（3）若将第2题中所得到的左边的点向右移动1.5个单位，右边的点向左移动2.5
个单位，则各表示什么数？
例3、已知|x|=3，|y|=2，且x例4、数a，b，c在数轴上对应位置如图，
化简：| a + b | + | b + c | — | c – a |.
例5、计算
：
例6、 小明父亲上星期买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）
注： ①正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降。 ②周六、周日休市。
（1）周三收盘时，每股 元。
（2）本周内最高价每股 元，最低价值每股 元。
（3）完成下表:
（4）以上周六买进27元为0元，用折线统计图表示出该周股票的涨跌情况.
活动目的：这几道例题都是与所复习的知识点相关的题目，能帮助学生很好地巩固知识并应用知识.在例题的选择上也注重了数学思想方法的渗透，如例2和3中有分类讨论的思想，例4中有数形结合的思想.
活动的实际效果:此环节应在学生独立思考后，教师再请学生上台进行讲解，并分析题中所应用的知识点，其余学生进行补充和点评。在此过程中，教师应给予足够的时间，让学生进行充分的展示和交流，并鼓励学生发表不同观点或给出不同的解法.
第四环节：综合应用
活动内容:
1、把下列各数填在相应的大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，
正整数集｛ …｝
负整数集｛ …｝
正分数集｛ …｝
负分数集｛ …｝
正有理数集｛ …｝
负有理数集｛ …｝
2、填一填：
1）绝对值小于2的整数有________；
2）绝对值等于它本身的数有___________；
3）绝对值不大于3的负整数有__________；
4）数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为 . .
3、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 |a|— | a+b | + | c-a | + | b + c |.
4、已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a+b＜0，将四个数a，b，—a，—b按从小到大的顺序排列.
5、计算：（1）-（-12）-（-25）-18+（-10）；
（2）；
（3）.
6、南京出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶,你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时,他距离出车的出发点有多远?
如果规定向东为正，向西为负，他的行车里程(单位:千米)为：15, -2, 5, -1, -10, -3, -2, 12, 4, -5.
活动目的：让学生通过这一组练习来检测自己的复习效果.
活动的实际效果: 在这一环节，教师要给学生一定的思考的时间，要让学生独立完成，并鼓励学生积极参与和发展见解.要相信学生有能力完成，可以请几名学生上台板演，然后师生共同评价，对出现的问题做出适当处理.总之，教师要当好引导者、合作者的角色，并关注学生完成的质量程度，对本节课教学目标的达成情况要心中有数.
第五环节：课堂小结
活动内容:用提问方式由学生思考完成课堂小结，如“通过本节课的学习，你有何收获？”
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获和感想，学会及时的反思和总结.
活动的实际效果: 让学生在轻松愉快的氛围中畅谈自己的收获及感受，培养语言表达能力和数学概括能力.
第六环节：拓展延伸
活动内容: （学生合作学习）
探究一：
探究二： 一口井,水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬。第一次往上爬了0.5米后，又往后滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次往上爬了0.48米.
问蜗牛有没有爬出井口？
活动目的：通过两个探究题，让学有余力的同学能得到更好的思维锻炼，同时以合作学习的形式让每个学生参与到这一环节，有助于培养学的交流合作意识，提高综合应用的能力及解决实际问题的能力.
活动的实际效果: 绝对值的概念是本章教学时的一个难点，因此，对探究一的思考有助于进一步加深学生对绝对值定义的理解，虽然题目有一定的难度，但是相信学生在互相交流与讨论之中，能正确解答出此题.而探究二是一个有着实际生活背景的题，虽然数据较多，但题目具有一定的趣味性，能吸引学生的兴趣和探究欲.
四、教学反思
在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基本题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。
有理数及其运算
回顾与思考（二）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过本章的学习，已经掌握了有理数的有关概念。能运用正、负数表示生活中具有相反意义的量，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，能利用数轴比较有理数的大小．对绝对值的概念以及如何求一个数的绝对值也有了一定的理解，会利用绝对值比较两个负数的大小.此外，通过本章的学习，还掌握了有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则及运算律，并利用其解决了一些问题，具备了利用运算解决一些简单实际问题的经验.
学生活动经验基础：在本章的学习过程中，学生已经经历了一些观察、猜想、探索、发现、比较、分析、综合等数学活动，积累了比较丰富的活动经验。在学习新知的同时发展了一定的抽象、概括能力；在解决问题的同时提高了一定的探究能力；在独立思考的基础上，体验到了合作交流的重要性.同时在本章的学习过程中，学生的语言表达以及发表见解方面都已获得了一些成功的感受，具备了学习本节课所需要的活动经验基础.
二、教学任务分析
本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分主要内容是有理数的有关概念；第二部分主要内容是学习有理数的加减法运算；第三部分主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．本节课主要是针对第三部分的内容进行知识梳理和复习.本节课的教学目标是：
1、复习有理数的乘、除、乘方的运算法则；
2、复习有理数的混合运算的运算律；
3、运用有理数及其运算解决实际问题．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节： 第一环节：说一说；第二环节：比一比；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：课堂小结； 第六环节： 拓展延伸.
第一环节：说一说
活动内容: 引导学生回顾上一节课的知识点.
教师问：同学们还记得我们上节课复习的知识点吗？看看谁记得牢，说得多？
活动目的：让学生在抢答中巩固本章知识点，培养学生温故知新的习惯.
活动的实际效果: 由于上节课已经帮助学生建构了本章的知识结构图，因此根据此框架 图能很容易回忆起本章的主要知识点，有助于学生更好地从整体理解全章的知识.
第二环节：比一比
活动内容: 巩固练习
1、若|x|－|y|=0，则（ ）
A. x=y B. x=－y
C. x=y=0 D. x=y或x=－y
2、有理数a，b在数轴上对应位置如图所示，
则a+b的值为（ ）
A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 大于a
3、若 | 2a |= — 2a，则a一定是（ ）
A.负数 B.正数
C.非正数 D.非负数
4、已知 | 2a+4 |+ | 3—b |=0，则a+b= .
5、已知a、b在数轴上如图所示，请比较a、b、-a、-b的大小。
活动目的：学生回答，教师作出评价.
活动的实际效果: 这一组练习是针对上一节课学生练习中的几个易错点设计的，如异号两数相加时和的符号的确定，绝对值概念的应用，在数轴上正确表示相反数并比较数的大小.通过这组巩固练习，将再一次加深学生对重点知识的印象，并为下面的复习扫清障碍.
第三环节：想一想
活动内容：让学生对照上节课整理的知识结构框架图，以小组竞赛的形式回顾知识点，教师根据学生的回顾将主要知识点罗列在黑板上.
1、有理数的乘法：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数与0相乘，积仍为0.
（3）当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，
积就为零.
（4）乘积为1的两个有理数互为倒数.
有理数的除法：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除.0除以任何数等于0. 0不能做除数.
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数.
有理数的乘方：
（1）求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
（2）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
4、有理数的混合运算：
（1）有括号，先算括号里面的；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（3）对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。
活动目的：通过对知识点的梳理和复习，让学生起到温故而知新的作用. 同时，在学生已有的认知基础上对知识点的再复习，能让学生对数学概念有更深层次的理解和认识.
活动的实际效果: 对照本章的知识结构框架图，学生应该能回忆出大部分知识点；以小组竞赛的形式进行这一环节的学习，能很好地调动学生的学习兴趣.
第四环节：做一做
活动内容: 出示例题，让学生先独立思考，再上台讲解.
例1、计算：
例2、计算：
例3、计算：
（1）11+（－22）－3×（－11）
（2）
例4、计算：
活动目的：这几道例题都是与所复习的知识点相关的题目，能帮助学生很好地巩固知识并应用知识.在例题的选择上也注重了每道题目各有侧重，如例1是乘法交换律和结合律的应用，例2是乘法分配律的应用，例3是让学生正确运用除法法则，防止部分学生错误运用“除法分配律”，例4则是一道混合运算，让学生进一步清楚混合运算的运算顺序.
活动的实际效果: 此环节应在学生独立思考后，教师再请学生上台进行讲解，并分析题中所应用的知识点，其余学生进行补充和点评。在此过程中，教师应给予足够的时间，让学生进行充分的展示和交流，并鼓励学生发表不同观点或给出不同的解法.
第五环节：练一练
活动内容:
活动目的：让学生通过这一组练习来检测自己的复习效果.
活动的实际效果: 在这一环节，教师要给学生一定的思考的时间，要让学生独立完成，并鼓励学生积极参与和发展见解.要相信学生有能力完成，可以请几名学生上台板演，然后师生共同评价，对出现的问题做出适当处理.总之，教师要当好引导者、合作者的角色，并关注学生完成的质量程度，对本节课教学目标的达成情况要心中有数.
第六环节：议一议
活动内容:用提问方式由学生思考完成课堂小结，如“通过本节课的学习，你有何收获？”
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获和感想，学会及时的反思和总结.
活动的实际效果: 让学生在轻松愉快的氛围中畅谈自己的收获及感受，培养语言表达能力和数学概括能力.
第七环节：拓展延伸
活动内容:（学生合作学习）
某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃，若该地地面温度为21 ℃，高空某处温度为－39 ℃，求此处的高度是多少千米？
活动目的：通过一个探究题，让学有余力的同学能得到更好的思维锻炼，同时以合作学习的形式让每个学生参与到这一环节，有助于培养学的交流合作意识，提高综合应用的能力及解决实际问题的能力.
活动的实际效果: 此题让学生自己解决，并让学生充分表达自己的观点，谈谈自己对题意的理解，让学生养成正确审题的好习惯.
四、教学反思
在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基本题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。
