第十四章 全等三角形单元测试卷（困难）（含解析）

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沪科版初中数学八年级上册第十四章《全等三角形》单元测试卷
考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知≌，，，交边于点不与、重合．、分别平分，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，已知≌，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
如图，≌，，，，相交于点，则的度数是 ( )
A. B. C. D.
如图所示，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，、交于点，若，则的大小是 ( )
A. B. C. D.
如图，，则下列结论：其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
下列说法正确的是( )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形周长和面积都一样
C. 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
D. 全等三角形的边都相等
如图，锐角中，、分别是、边上的点，≌，≌，且，、交于点，若，，则( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片的顶点的坐标为，在纸片中心挖去边长为的正方形，将该纸片以为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后，点和点的坐标分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
下列判断正确的是( )
A. 有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B. 腰长相等的两个等腰三角形全等
C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，，以线段为边在第一象限内作等腰，则过，两点的直线的表达式为( )
A. B. C. D.
已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：≌；；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为 ，过点的直线交轴负半轴于点，且：：在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为______．
如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当______秒时，与全等．
如图，四边形的对角线，相交于点，，，则的值为______．
如图，在中，，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分，交于点，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，点在上，≌，求证：平分．
国昌实验中学八年级合作学习小组的同学学习了全等三角形的概念后，聪明的正宇同学代表本小组给其他小组内的同学出了这样一个问题：在直角坐标系中，点，，，若有一个直角三角形与全等，且它们只有一条公共直角边，这样的直角三角形有几个若有，请写出第三个顶点的坐标．
在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，点是轴上的一个动点，从点出发，沿轴的负半轴方向运动，速度为个单位秒，运动时间为秒，点在轴的负半轴上，且．
求点的坐标；
若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由
点是轴上的一个动点，从点出发，向轴的负半轴运动，速度为个单位秒．若、分别从、两点同时出发，求：为何值时，以、、三点构成的三角形与全等．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，，垂足为点．
求点，的坐标；
求的长；
存在直线上的点，轴上的点，使得以，，为顶点的三角形与全等，请求出所有符合条件的点的坐标．
如图，、相交于点，≌，且，，，，求的度数和的长度．
已知：如图，≌，，，求线段的长．
如图，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点探索与之间的数量关系，并说明理由．
如图，当是对角线的中点时，与之间的数量关系是______．
小明用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
回答问题
【初步探索】
如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
如图，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
如图，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．
【问题】填空：______；
当时，求的值；
【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解角的平分线，三角形内角和定理，一元一次不等式组的解法，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质及点在边上且不与、重合，确定的大小，即可求解．
【解答】
解：、分别平分、，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
点在边上且不与、重合，
，
，
，
，．
．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，准确识图也是考查点之一．先根据全等三角形对应角相等求出，，所以，然后求出的度数，再根据和的内角和都等于，所以．
【解答】
解：≌，
，，
又，，
，
，，
，
在和中，，，
．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
延长交于利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明，再求出即可解决问题．
【解答】
解：延长交于．
≌，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】如图，延长交于点，延长交于点．
由，得，，，
又，

和都是等腰直角三角形

，即，故正确
，
．
又由得，

，即，故正确
，，且，
，故正确．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质，注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A错误；
B.两个三角形全等，它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
C.两边和第三边上的高对应相等，不能判定两个三角形全等，故C错误；
D.全等三角形的对应边相等，故选项D错误．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．延长交于，如图，根据全等的性质得，，再利用三角形外角性质得，接着利用得到，而根据三角形内角和得到，则，所以，利用三角形外角性质和等角代换得，所以，进一步变形后即可得到答案．
【解答】
解：延长交于，如图，
≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：，，
第次旋转后与第次旋转后的位置相同，
点和点经过两次旋转之后落在此图中的点和点处，
的边长为，
的坐标为，
对于点的坐标，如图，过点做轴于点，过点做轴于点，
在正方形中中，有，，
，
，
≌，
，，
．
故选：．
首先根据旋转角度和次数可确定旋转后点和点落在此图中的点和点处，再根据正方形的性质求出点和点的坐标即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的性质及判定，规律型：点的坐标，坐标与图形变化旋转，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有、、、、，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】
解：全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，故本选项错误；
B.只有两条边对应相等，找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，故本选项错误；
C.斜边相等的两个等腰直角三角形，根据或者均能判定它们全等，故此选项正确；
D.有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，故选项错误；
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
先根据一次函数的解析式求出、两点的坐标，再作轴于点，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式．
【解答】
解：一次函数中，
令得：；令，解得，
的坐标是，的坐标是
如图，作轴于点．
，
，
轴
，
．
在与中，
，
，
，，
则．
则的坐标是
设直线的解析式是，
根据题意得：
解得，
直线的解析式是．
故选A．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．先利用证≌，可得，可得正确，再根据角平分线的性质可求得，即正确，根据可求得正确．
【解答】
解：为的角平分线，
，
在和中，
，
≌，故正确；
为的角平分线，，，
，
≌，
，
，故正确；
，，，，
，
为等腰三角形，
，
≌，
，
故正确；
过作于点，
是延长线上的点，，平分，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正确
故选D．

12.【答案】
【解析】解：根据伞的结构，，伞骨，是公共边，
在和中，
，
≌，
，
即平分．
故选：．
根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、并注意分类求解，题目难度较大．
求出、点，分与轴平行、与轴不平行两种情况，分别求解即可．
【解答】
解：将点的坐标代入函数表达式得：，
解得：，
故直线的表达式为：，
则点，
：：，
则，
即点；
如图，平行于轴，
点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形，
则，则点，
不平行于轴，将沿着翻折，
直线轴，
，，为顶点的三角形与全等，
则，
故点；
故答案为：或．
14.【答案】或或
【解析】【解析】
解：由题意得，，，
，，
当点在上时，当点在上时，
当点在上时，当点在上时，
如图，
当≌时，
则，
即，
解得：秒，
如图，
点与点重合，
与全等，
则，
．
解得：秒，
如图，
当点与重合时，≌，
则，
即，
解得：秒，
综上所述：当秒或秒或秒时，与全等，
故答案为：或或．
本题首先求出分情况用表示出和，然后分情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算．
本题考查的是全等三角形的性质、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，作交于，
在中，
，
又，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
设，，，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
负根舍去，
．
则的值为．
故答案为：．
作交于，证明≌，可得，，设，，，，证明∽，可得，所以，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
16.【答案】
【解析】解：如图，延长至，使得，取的中点，连接，，过点作于点，
为边上的中点，
，
，
，
直线将的周长平分，
，，
，
，
，
，，
，
是中点，是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
延长至，使得，取的中点，连接，，过点作于点，直线将的周长平分，根据三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作图是解题关键．
17.【答案】证明：≌，
，，
，
，
平分．
【解析】根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据角平分线的定义证明即可．
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
18.【答案】解：如图若以为公共边，则可以画个直角三角形：、和顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．
若以为公共边，则可以画个直角三角形：、和顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．
所以这样的直角三角形共有个．

【解析】略
19.【答案】解：点的坐标，点的坐标，
，，
，
，
，
设，
点在轴的负半轴上，
，
，
，
；
在轴上，在轴，
，
以、、为顶点的三角形与全等，
≌，
，
或
≌，
，
或，
即：满足条件的的坐标为，，，；
在轴上，在轴，
，
由运动知，，，
，，
当时，，，
以、、为顶点的三角形与全等，
≌，
，
，
，
满足条件，即：；
≌，
，
，
，
，
不满足条件，舍去；
当时，，，
以、、为顶点的三角形与全等，
≌，
，
，
，
，
不满足条件，舍去；
≌，
，
，
，
，
不满足条件，舍去；
当时，，，
以、、为顶点的三角形与全等，
≌，
，
，
，
不满足条件，舍去；，
≌，
，
，
，
，
满足条件，即：，
即：满足条件的时间或．
【解析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，要考虑全面是解本题的难点．
先求出，进而得出的面积，即可得出的面积，最后得出点坐标；
由于，所以分两种情况讨论计算即可；
先按时间分成三种情况，每种情况中同的方法即可得出结论．
20.【答案】解：令，则有，
令，则有，
解得，
，；
由中点、的坐标知，，
，
，
，
，
；
以，，为顶点的三角形与全等，
是公共边，在中，为斜边，
，
轴，
以，，为顶点的三角形与全等，
或，
当时，
，
点横坐标为或，
Ⅰ、当点横坐标为，
点的纵坐标为，
，
Ⅱ、当点横坐标为，
点的纵坐标为，
，
；
当时，，
或，
即满足条件的点的坐标为或或或
【解析】本题考查了一次函数的性质、三角形面积和全等三角形的性质．
依据轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为即可解答；
先得到的长度，再依据三角形面积公式即可解答；
依据全等三角形的性质，分情况讨论，找出对应边相等即可得到相应点的坐标．
21.【答案】解：≌，，，，
，，
，
，
即，的长度是．
【解析】根据三角形全等的性质和三角形内角和可以解答本题．
本题考查全等三角形的性质和三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：≌，
，又，
，
，
．
【解析】根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，理由如下：
四边形是正方形，是对角线的中点，
，，
，
，
点与点重合，
，
；
故答案为：；
如图，过点作交于点，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由平移可知：，，
，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；
过点作交于点，交于点，得四边形是矩形，证明是等腰直角三角形，证明≌，可得，，得为等腰直角三角形，进而可以解决问题．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
24.【答案】解：，
理由：如图，延长到点，
使，连接，
根据可判定≌，
进而得出，，
再根据可判定≌，
可得出，
故；
仍成立，理由：
如图，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
≌，
，，
，，
≌，
；
，
证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
≌，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
即，
．
【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
延长到点，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；
延长到点，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；
在延长线上取一点，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
25.【答案】解：；
，，
，，
，
，
，
如图
过作交延长线于，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
故在点，点运动过程中，线段的长度不变，等于．
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质．
由题意可知：，再根据线段和差和等量代换即可得答案；
，，根据，列方程求解即可；
过作交延长线于，证明，，进而求得结论．
【解得】
解：由题意可知：，
见答案；
见答案．
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