数学人教A版（2019）必修第一册5.3诱导公式（共23张ppt）

(共23张PPT)
5.3诱导公式
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
（1）正弦sinα＝
（2）余弦cosα＝
（3）正切tanα＝
复习回顾
x
y
O
P(x,y)
　诱导公式（一）
实质：终边相同，三角函数值相等
　　　用途：“大”角化“小”角
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系
2.角 -α与α的终边 有何位置关系
3.角 -α与α的终边 有何位置关系
4.角 +α与α的终边 有何位置关系
相等
终边关于x轴对称
终边关于y轴对称
终边关于原点对称
思 考1
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y)
点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y)
点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
思 考2
x
y
P(x, y)
P1(-x, -y)
P2(x, -y)
P3(-x, y)
公式三
我们再来研究角　与　　 的三角函数值之间的关系
探究二
公式四
探究三
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
发现规律：
公式一、二、三、四,都叫做诱导公式．
的三角函数值，等于 的同名三角函数值前面加上把 看作锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限”
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给角求值问题
解]　(1)法一：sin 1 320°
＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)
＝－sin 60°
法二：sin 1 320°
＝sin(4×360°－120°)
＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)
＝－sin 60°
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(3)tan(－945°)
＝－tan 945°
＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°
＝－tan(180°＋45°)
＝－tan 45°
＝－1.
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利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
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(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
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给值(式)求值问题
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(1) sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
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解决条件求值问题的两技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
[解]　cos(255°－α)
＝cos[180°－(α－75°)]
＝－cos(α－75°)
1．例2(2)条件不变，
求cos(255°－α)的值．
[解]　因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
所以sin(105°＋α)
＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)
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利用诱导公式化简问题
[探究问题]1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)
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[思路点拨]　本题常用的解决方法有两种：
①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；
②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解]　法一：(分类讨论)
当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
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法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，
(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，
故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，
sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
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三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数
转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
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1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
课堂小结
布置作业
课后习题1、2