高中数学人教A版2019必修第二册 《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
直线与平面垂直的定义:
直线与平面垂直的判定定理:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线与平面互相垂直,记作.
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
复习引入
α
β
a
B
b
C
E
A
D
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
记作α⊥β
平面与平面垂直的定义
复习引入
如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
线面垂直
面面垂直
平面与平面垂直的判定定理

符号表示:
复习引入
人教A版同步教材名师课件
空间直线、平面的垂直
---直线与平面、平面与平面垂直的性质
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握直线与平面垂直的性质定理. 逻辑推理
掌握平面与平面垂直的性质定理. 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化;
2.数学运算:求空间点面、线面、面面距离.
3.直观想象:题中几何体的点、线、面的位置关系.
联合国大楼前面各国国旗旗杆之间什么位置关系 它们与地面之间有什么位置关系
探究新知
如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的位置关系如何 它们彼此之间具有什么位置关系
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
探究一、直线与平面垂直的性质
探究新知
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
α
a
b
若a⊥α, b⊥α, 则a∥b
图形语言表示:
符号语言表示:
探究新知
思考1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直
提示:作与墙脚线垂直的交线.
探究点2、平面与平面垂直的性质
探究新知
α
β
E
F
思考2 如图,在长方体中,α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗
(2)什么情况下面α里的直线和面β垂直
与AD垂直
不一定
探究新知
思考3:垂足为,那么直线与平面的位置关系如何 为什么
α
β
A
B
D
C
E
探究新知
证明:在平面内作,垂足为.
因为,所以.
又由题意知,且,
所以.
则就是二面角的平面角.
平面与平面垂直的性质定理
符号表示:
D
C
A
B
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
探究新知
例1、如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点．
(1)因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
典例讲解
证明
例1、如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点．
典例讲解
(2)如图,连接ON,
在△A1DC中,A1O＝OD,A1N＝NC.
所以ON//CD且ON=CD.
因为CD//AB且AB =CD,所以ON∥AM.
又因为MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形.
所以ON＝AM.
因为ON＝AB,所以AM＝DC＝AB.
所以M是AB的中点.
证明
(1)直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线线、线面平行相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们.
(2)当题中垂直条件很多,但又需证平行关系时,就要考虑线面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
方法归纳
1.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD＝DE＝2AB,F为CD的中点.求证:平面BCE⊥平面CDE.
变式训练
因为F为CD的中点,所以GF∥DE且GF＝DE.
因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,所以GF∥AB.又AB＝DE,所以GF＝AB.
所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.
因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点,所以AF⊥CD.
因为DE⊥平面ACD,AF 平面ACD,所以DE⊥AF.
又CD∩DE＝D,故AF⊥平面CDE.因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE.因为BG 平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.
G
证明
取CE的中点G,连接FG、BG、AF．
例2、在三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:AB⊥BC.
因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC＝PB,所以AD⊥平面PBC.
因为BC 平面PBC,所以AD⊥BC.
又因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以BC⊥PA.
又因为AD∩PA＝A,所以BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB,所以AB⊥BC.
典例讲解
证明
如图,过点A作AD⊥PB于D,
(1)在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.
(2)面面垂直的性质定理等价于:如果两个平面互相垂直,则过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在这个平面内.
方法归纳
2.如图,E为△ABC所在平面外一点,若AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,
BD＝CD.求证:AE∥平面BCD.
变式训练
因为BD＝CD,所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC＝BC,
所以DM⊥平面ABC,
又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD,DM 平面BCD,
所以AE∥平面BCD.
证明
取BC的中点M,连接DM,AM,
例3、如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE＝CA＝2BD,M是EA的中点.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
典例讲解
因为EC⊥平面ABC,BC平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF=EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
典例讲解
例3、如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE＝CA＝2BD,M是EA的中点.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
则MN//EC,且MN=EC.
因为EC// BD,BD=EC,所以MN//BD,所以N点在平面BDM内.
因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN.
又CA⊥BN,所以BN⊥平面ECA.
因为BN在平面MNBD内,
所以平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)易知DM∥BN,BN⊥平面CAE,
所以DM⊥平面ECA.
又DM 平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.
证明
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,
(1)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此,判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题.
方法归纳
3.如图所示,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
变式训练
证明
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD,PG∩BG＝G,所以AD⊥平面PGB,
因为PB 平面PGB,所以AD⊥PB.
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
(2)连接PG,如图,
1．直线与平面垂直的性质
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了一个证明两直线平行的方法,即只需证明两直线均与同一个平面垂直即可．
(2)直线与平面垂直的其他性质．
①如果一条直线垂直于一个平面,那么它就垂直于这个平面内的任意一条直线．
②垂直于同一条直线的两个平面平行．
③两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面．
素养提炼
2.平面与平面垂直的性质
(1)平面与平面垂直的性质定理有三个条件:①α⊥β;②l β;③l垂直于α与β的交线,这三个条件缺一不可．
(2)平面与平面垂直的其他性质．
①如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
②如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．
③如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．
素养提炼
3.可以通过直线与平面垂直判定平面与平面垂直.平面与平面垂直的性质定理说明,由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.这种直线与平面的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化,是解决空间图形问题的重要思想方法.
素养提炼
当堂练习
1.如果直线与平面不垂直,那么平面内与直线垂直的直线有( )
A.0条 B.1条 C.无数条 D.任意条
2若表示不重合的直线,表示平面,则下列说法中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.一条与平面相交的线段,其长度为10cm,两端点到平面的距离分别是2cm,3cm,这条线段所在的直线和平面所成的角是____________.
C
C
30 °
当堂练习
4. 直线和b在正方体的两个不同平面内,使成立的条件是____________.（只填序号）
① 和b垂直于正方体的同一个面;
② 和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③ 和b平行于同一条棱;
④ 和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.
① ② ③
当堂练习
5.设平面若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线,则( )
A.直线必垂直于平面
B.直线必垂直于平面
C.直线不一定垂直于平面
D.过的平面与过的平面垂直
6.已知平面⊥平面, ∩ = ,点∈ ,,直线∥ ,直线⊥ ,直线∥ ,∥ ,则下列四种位置关系中不一定成立的是( )
A. ∥ B. ⊥ C. ∥ D. ⊥
C
D
当堂练习
7.已知平面和直线则下列命题中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示,平面平面,且,则
D
归纳小结
性质定理
线面垂直
定义
线线平行
线线垂直
性质定理
面面垂直
其他性质
作 业
P163: 5、7