高中数学人教A版2019必修第二册 《平面与平面垂直---平面与平面垂直的判定》名师课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
直线与平面垂直的定义:
直线与平面垂直的判定定理:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线与平面互相垂直,记作.
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
面面垂直如何判定
复习引入
人教A版同步教材名师课件
平面与平面垂直
---平面与平面垂直的判定
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解二面角的概念. 数学抽象
了解平面与平面垂直的定义,掌握平面与平面垂直的判定定理. 逻辑推理
掌握平面与平面垂直的性质定理. 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解二面角的概念,并会求简单的二面角;
2.理解直二面角与面面垂直的关系,理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题;
3.通过面面垂直定理的理解及运用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力.
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳平面和平面垂直的判定定理,找垂直关系;
2.数学运算:求二面角；
3.直观想象:题中几何体的点、线、面的位置关系.
半平面
半平面
半平面
探究点1 二面角
探究新知
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
记为：二面角
简记：
二面角的定义
探究新知
探究点1 二面角
(1)直立式:
(2)正卧式:
(3)平卧式:
二面角的画法
探究新知
β
2.二面角的取值范围为
二面角的平面角
说明:1.平面角的两边分别在二面角的两个面内,分别垂直于二面角的棱.
探究新知
即为二面角的平面角
β
平面角的大小与棱上点的选取无关.
探究新知
∠的大小与点在上的位置有关系吗 为什么
D
端点
中点
寻找二面角的一般规律
探究新知
中点
E
G
F
探究新知
寻找二面角的一般规律
α
P
教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数
探究点2 平面垂直
探究新知
α
β
a
B
b
C
E
A
D
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
记作α⊥β
平面与平面垂直的定义
探究新知
β
α
α
β
注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
图形表示
平面与平面垂直的定义
探究新知
思考: 门扇所在的平面和地面所在的平面之间的位置关系.
探究新知
抽象出平面与平面垂直的判定
探究新知
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
线面垂直
面面垂直
平面与平面垂直的判定定理

探究新知
符号表示:
例1、下列说法:
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角;
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的最小角.
其中正确的是(　　)
A.①③　　 B.② C.③ D.①②
由二面角定义知:①中实质上共有4个二面角,故①不正确;由于a,b均垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不正确.
B
典例讲解
解析
(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.
(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别.
(3)可利用实物模型,作图帮助判断.
方法归纳
D
变式训练
1.如图,P是二面角α l β的交线l上一定点,PA α,PB β,且PA⊥l,PB⊥l,∠BPA＝120°,若点C是半平面α上任意一点,则∠BPC的范围为(　　)
A.(0°,120°)　　　　　B.(0°,90°)
C.(90°,120°] D.[90°,120°]
当PC与l重合时，，当PC与PA重合时，.故∠BPC的范围为[，]．
设正四棱锥的高为h,底面边长为a,
例2、已知正四棱锥（底面为正方形,各侧面为全等的等腰三角形）的体积为12,底面对角线的长为,求侧面与底面所成的二面角.
则2a2＝()2，所以a2＝12.又a2h＝12，所以h＝ ＝3.
设O为S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，连接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角．
,所以∠SEO＝60°.
所以侧面与底面所成二面角的大小为60°.
典例讲解
解析
求二面角的步骤:
(1)作出二面角的平面角;
(2)证明该角两边都与棱垂直,指出该角就是二面角的平面角;
(3)计算该角的大小,简记为作、证、求，简称为“一作二证三求”.
方法归纳
变式训练
2.如果二面角α -l- β的平面角是锐角,点P到α、β和棱l的距离分别为2、4和4,求其二面角的大小.
①当点P在二面角α- l -β的内部时，如图①.
因为PA⊥α，所以PA⊥l.因为AC⊥l，所以l⊥平面PAC.同理，l⊥平面PBC，
而平面PAC∩平面PBC＝PC，所以平面PAC与平面PBC应重合．
即A、C、B、P在同一平面内．所以∠ACB是二面角α- l -β的平面角．
在Rt△APC中， .所以.
在Rt△BPC中，.所以.
所以.
②当点P在二面角α -l- β的外部时，如图②.同理可得.
综上，知所求二面角的大小为或.
由四边形ABCD为正方形,可得CD⊥AD.又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CD,PD⊥AD,故CD⊥平面AQPD,从而CD⊥PQ.
如图所示,取PD的中点E,连接QE.则DE∥AQ,且DE＝AQ,从而四边形AQED是平行四边形,
则QE∥AD,所以QE⊥PD,所以DQ＝QP.
设QA＝1,则AB＝1,PD＝2.
例3、如图所示,四边形为正方形,平面,.证明:平面平面.
典例讲解
在△DQP中,有.
证明
所以DQ2＋QP2＝PD2,故∠PQD＝90°,即DQ⊥PQ.
又CD∩DQ＝D,所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ 平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.
(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的垂线存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的垂线不存在,则可通过辅助线来解决,而作辅助线时应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.
(2)在证明垂直过程中,充分利用给出的线段长度判断是否构成勾股定理的逆定理.
方法归纳
变式训练
3.如图所示，在四棱锥P- ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
所以PA⊥CD.
又因为CD⊥AD,PA∩AD＝A,所以CD⊥平面PAD.
又因为CD 平面PDC,
所以平面PDC⊥平面PAD.
(2)平卧式,如图所示
1．二面角和它的平面角的画法
画二面角和它的平面角,常用以下两种形式:
(1)直立式,如图所示
素养提炼
2．二面角的平面角的确定方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．如图①.
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面均有交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图②.
图①
图②
素养提炼
2．二面角的平面角的确定方法
(3)垂线法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．此种方法通用于求二面角的题目．具体步骤为：一找、二证、三求．如图③.
图③
素养提炼
3．对平面与平面垂直的判定定理的理解
(1)定理的关键词是“过另一个面的垂线”,所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．
(2)线、面之间垂直关系存在如下转化特征：线线垂直 线面垂直 面面垂直,这体现了立体几何问题求解的转化思想,应用时要灵活把握.
素养提炼
1.在二面角的棱上任选一点O，若∠AOB是二面角的平面角，则必须具有的条件是 ( )
A.
B.
C.
D.
2.直线⊥平面， 平面β ，则与β的位置关系是( )
A.平行 B.可能重合 C.垂直 D.相交不垂直
C
D
当堂练习
3.若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，，那么二面角P-BC-A的大小为___________.
4.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是___________________________.
90 °
面面垂直的判定定理
当堂练习
定义法
证明其平面角为直角
面面垂直
二面角
在一个面内找另一个面的垂线
判定定理
归纳小结
作 业
P158-159练习：3、4