高中数学人教A版2019必修第二册 《直线与平面垂直---直线与平面垂直的判定》名师课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
“直线与平面位置关系”的思维导图
复习引入
人教A版同步教材名师课件
直线与平面垂直
---直线与平面垂直的判定
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解异面直线所成的角及直线和平面所成的角. 直观想象
理解直线与平面垂直的定义. 数学抽象
掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理. 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.
2.理解直线与平面所成角的概念,并会求一些简单的直线与平面所成角.
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面垂直的判定定理,找垂直关系;
2.数学运算:求直线与平面所成角;
3.直观想象:题中几何体的点、线、面的位置关系.
探究新知
生活中有很多直线与平面垂直的实例
探究新知
探究新知
A
B
探究新知
如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化,影子的位置在不断地变化,旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直
平面的垂线
直线 l 的垂面
垂足
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平面互相垂直,记作.
无数条直线
直线与平面垂直的定义
探究新知
思考:
得到线面垂直,直线最少垂直于平面内的几条直线
(1)如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直,此直线是否和平面垂直
(2)如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直,此直线是否和平面垂直
探究新知
过三角形的顶点A翻折纸片,得到折痕AD.
如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直
探究新知
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
直线与平面垂直判定定理
探究新知
空间中任何一条直线与平面的位置关系有哪些,所成的角呢
成0°角
成90°角
探究新知
为了刻画斜线相对于平面的倾斜程度引入
斜线与平面所成的角
斜线与平面所成的角应该是哪个角？
射影:过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
线面角的定义
探究新知
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
探究新知
1、斜线与平面所成的角范围
2、直线与平面所成的角范围
3、若斜线段的长度是它在平面内的投影长的2倍,则与所成的角为.
4、直线与平面所成的角不是锐角就是直角,对吗？
如何求直线与平面所成的角
(1)找角
作图(找垂线,射影)
(2)证明
利用线面垂直的判定方法
(3)求角
解直角三角形
求直线与平面所成的角的步骤:
“一作,二证,三计算”
探究新知
例1、下列命题中,正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
③若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直,则直线l与平面α不垂直.
③④
典例讲解
当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以①不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以②不正确,③正确.根据线面垂直的定义,若l⊥α,则l与α内的所有直线都垂直,所以④正确.
解析　
(2)由定义可得线面垂直 线线垂直,即若a⊥α,b α, 则a⊥b.
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上, “任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
方法归纳
解析:
①由线面垂直的判定定理可知结论正确;
②中b,α的关系可以是线面平行或直线在平面内;
③中直线可以与平面平行,相交或直线在平面内.
A
变式训练
1.以下命题正确的是(　　)
① a⊥β;② b∥ ;③ b⊥ .
A.①　　B.①③ C.②③ D.①②
例2、如图,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:AN⊥平面PBM; (2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.
(1)因为AB为⊙O的直径,所以AM⊥BM.因为PA⊥平面ABM,所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A,所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM,所以BM⊥AN.
又AN⊥PM,且BM∩PM＝M,所以AN⊥平面PBM.
典例讲解
证明
(2)由(1)知AN⊥平面PBM,PB 平面PBM,所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB,AN∩AQ＝A,所以PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ,所以PB⊥NQ.
证明线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);
②判定定理法:要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α; ②α∥β,a⊥α a⊥β.
方法归纳
2. 如图所示,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB＝AC＝1,AA1＝2, ∠B1A1C1＝90°,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1.
变式训练
因为底面,平面∥平面，
所以⊥平面,显然 平面,所以.
又,所以.
而,所以平面,平面,
所以.由已知计算得, ,2.
所以,所以.
因为,所以平面
证明
例3、在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值.
典例讲解
取的中点,连接.
于是在中
即直线与平面所成的角的正弦值为.
设正方体的棱长为2,则
解析
∵是的中点,四边形为正方形,∴//.
又在正方体ABCD -A1B1C1D1中,⊥平面,
∴ ⊥平面.
从而为直线在平面上的射影,即为直线与平面所成的角.
(2)定角:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
求直线与平面所成的角的方法
(1)作图:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角转化为平面角,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.
(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
方法归纳
3. 如图所示,Rt△BMC中,斜边BM＝5,它在平面ABC上的射影AB的长为4, ∠MBC＝60°,求MC与平面CAB所成的角的正弦值.
变式训练
又因为在Rt△MBC中,BM＝5,∠MBC＝60°,
所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝ .
在Rt△MAB中,MA＝＝3.
在Rt△MAC中,sin∠MCA＝.
即MC与平面CAB所成的角的正弦值为.
解析
由题意知,A是M在平面ABC内的射影,所以MA⊥平面ABC,所以MC在平面CAB内的射影为AC.所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
1.直线与平面垂直定义的理解
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语,它与“所有直线”是同义语,定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)直线和平面垂直,则直线和平面内的任何一条直线都垂直,即如果a⊥α,b α,则a⊥b,简述之,即“线面垂直,则线线垂直”,这是今后判定两条直线垂直时,经常使用的一种重要方法.
素养提炼
(4)直线与平面垂直的图形语言表示及符号语言表述，画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图所示．直线与平面垂直的符号语言表述是l⊥α.
素养提炼
3.对直线与平面所成角的概念的理解
(1)对定义要注意两点:一是斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的;二是斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
(2)其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想,即把空间角等价转化为平面角,并放在三角形(如直角三角形)内求解.
素养提炼
当堂练习
1.一条直线与三角形的两边同时垂直，则这条直线与三角形的第三边的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定
2.直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直 C.在平面内 D.无法确定
3.如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的倍，则AB和平面所成的角是（ ）
A.60 ° B.45° C.30° D.120°
B
D
B
4.如图，已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是_________________.
菱形
当堂练习
归纳小结
线线垂直
线面垂直的定义
线面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
线面垂直
归纳小结
1. 直线与平面垂直的定义.　
2. 直线与平面垂直的判定定理.
3. 理解直线与平面所成的角的概念,并能解决简单的线面角问题.　
P152 练习:2、3
作 业