高中数学人教A版2019必修第二册 《直线与直线垂直》名师课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
空间两条直线的位置关系：
共面直线
异面直线
相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内，没有公共点。
同一平面内,有且只有一个公共点
同一平面内，没有公共点；
复习引入
人教A版同步教材名师课件
直线与直线垂直
学习目标
课程目标
1.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角;
2.进一步培养学生的空间想象能力,以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.
数学学科素养
1.逻辑推理:找两异面直线所成角,证明两直线垂直.
2.数学运算:求两异面直线所成角
探究新知
在平面内两直线相交成四个角,不大于的角成为夹角.
a
b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度,异面直线通过异面直线所成的角来刻画.
夹角
定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直 ,我们把所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角(或夹角).
两条异面直线所成的角
θ
探究新知
两条异面直线所成的角
注1:异面直线所成角,只与的相互位置有关,而与点位置无关
注2:一般常把点取在直线或上
α
注3:异面直线所成角的取值范围:
探究新知
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异 面直 线所成的角.
三求：在一恰当的三角形中求出角
异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角,就说两条直线互相垂直,记作.
探究新知
探究新知
空间两直线所成角α的取值范围为：
(1)在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？
探究
有,如和,和.
探究新知
垂直
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
垂直分为两种：
相交直线的垂直
异面直线的垂直
探究
探究新知
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
如图,若,则垂直于内所有直线,而内任意两条直线的关系可能是平行,也可能是相交.
不一定
探究
探究新知
例1、如图所示,在三棱锥A BCD中,AB＝CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成的角.
因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB.
所以∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.
所以.所以△EFG为等腰直角三角形．
所以，即EF与AB所成的角为45°.
如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.
典例讲解
例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求:
(1)A1B与B1D1所成的角;(2)AC与BD1所成的角.
(1)如图，连接BD、A1D，
∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，
∴DD1//BB1且DD1=BB1
∴DBB1D1为平行四边形,∴BD∥B1D1.?
∴∠A1BD即为异面直线A1B与B1D1所成的角．
∵A1B＝BD＝A1D，
∴△A1BD是正三角形．
∴∠A1BD＝.
∴A1B与B1D1所成的角为.
典例讲解
例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求:
(1)A1B与B1D1所成的角;(2)AC与BD1所成的角.
(2)连接BD交AC于点O,取DD1中点E,连接EO、EA、EC.
∵O为BD的中点,∴OE∥BD1.
∵∠EDA＝90°＝∠EDC, ED＝ED,AD＝DC,
∴△EDA≌△EDC. ∴EA＝EC.
在等腰△EAC中, ∵O是AC的中点
∴EO⊥AC, ∴∠EOA＝90°.
又∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角,
∴AC与BD1所成的角为90°.
典例讲解
方法归纳
(1)求两异面直线所成角的一般步骤
①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
②证：证明作出的角就是要求的角；
③计算：求角的值，常利用解三角形求解．
可用“一作二证三计算”来概括．
(2)求异面直线所成角，可通过多种方式平移产生
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
例3、如图,在正方体中,分别是的中点,求：
(1)异面直线与所成角的大小;
N
M
A
1
B
1
C
1
D
1
D
C
B
A
典例讲解
N
M
A
1
B
1
C
1
D
1
D
C
B
A
Q
典例讲解
例3、如图,在正方体中,分别是的中点,求：
(1)异面直线与所成角的大小;
N
M
A
1
B
1
C
1
D
1
D
C
B
A
P
典例讲解
例3、如图,在正方体中,分别是的中点,求：
(1)异面直线与所成角的大小;
M
A
1
B
1
C
1
D
1
D
C
B
A
典例讲解
例3、如图,在正方体中,分别是的中点,求：
(1)异面直线与所成角的大小;
(2)异面直线AM与BD所成角的大小;
M
A
1
B
1
C
1
D
1
D
C
B
A
R
典例讲解
例3、如图,在正方体中,分别是的中点,求：
(1)异面直线与所成角的大小;
(2)异面直线AM与BD所成角的大小;
M
A
1
B
1
C
1
D
1
D
C
B
A
典例讲解
例3、如图,在正方体中,分别是的中点,求：
(1)异面直线与所成角的大小;
(2)异面直线AM与BD所成角的大小;
(3)异面直线AM与BD1所成角的大小.
M
A
1
B
1
C
1
D
1
D
C
B
A
S
典例讲解
例3、如图,在正方体中,分别是的中点,求：
(1)异面直线与所成角的大小;
(2)异面直线AM与BD所成角的大小;
(3)异面直线AM与BD1所成角的大小.
(1)平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用"平移转化"的方法,使之成为相交直线所成的角.
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线,构造含异面直线所成(或其补角)的角的三角形,再求之.
(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系.
方法归纳
对异面直线的理解
(1)对异面直线的定义可作如下理解:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,其中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面经过这两条直线,或者说找不到一个平面经过这两条直线.“异面”的含义就是“不能共面”.定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误解为“不同在某一平面内”.
素养提炼
(2)异面直线所成的角
两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的,由平移原理可知,当两条异面直线在空间的位置确定后,它们所成的角的大小也就随之确定了.
素养提炼
当堂练习
1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D’中,直线D'A与DB所成的角可以表示为( )
2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与BC1所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.0
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,AB的中点,则异面直线EF与C1D所成的角的大小是( )
A. B. C. D.
C
D
D
4. 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,
（1）AC与DD1所成的角为__________.
（2）AC与D1C1所成的角为__________.
90 °
45 °
当堂练习
归纳小结
定义
两直线所成的角
特殊情况：直线与直线互相垂直
两直线异面：
范围：
两直线平行：0°
两直线垂直：90°