高中数学人教A版2019必修第二册 8.6.1　直线与直线垂直课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
8.6.1　直线与直线垂直
异面直线所成的角
1.思考
(1)平面内两条相交直线的夹角是如何定义的
提示平面内两条直线相交所成的4个角中,不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角).
(2)两条相交直线的夹角有什么意义
提示夹角刻画了平面内一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
(3)平面几何中如何定义两条直线垂直
提示如果两条直线相交所成的角为90°,就称这两条直线垂直.
(4)空间中两条直线垂直,一定要相交吗
提示不一定.如果两条异面直线所成的角是直角,就称这两条直线垂直.
(5)空间两条直线所成角的范围是什么 空间两条异面直线所成角的范围呢
提示空间两条直线所成角的范围是0°≤α≤90°,两条异面直线所成角的范围是0°<α≤90°.
2.填空
两条异面直线所成的角(或夹角)
3.做一做
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为　　　　　.
答案:65°
解析:∵B1C1∥BC,∴∠AEB为异面直线AE与B1C1所成的角.∵∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.
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求异面直线所成的角
例题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.
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解法一如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
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解法二如图②,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE= DB1.
于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.
∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
图②
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解法三如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
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反思感悟 求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的常用方法是空间问题平面化.
(1)具体地,求两条异面直线所成角的一般步骤是:
①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;
②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;
③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;
④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.
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(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);
②中位线平移法;
③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
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延伸探究若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢
解:如图,连接A1C1,A1D.
在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.
在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°.
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1.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有(　　)
A.0条 B.1条
C.有限条 D.无数条
答案:D
解析:这些直线可以是以P为顶点,以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线,有无数条直线.
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2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 (　　)
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
答案:D
解析:画出图形,得到结论.
如图①,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图②,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.
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3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为 (　　)
答案:A
解析:连接AD1,CD1,∵BC1∥AD1,
∴∠D1AC即为异面直线AC与BC1所成角.
又AD1=AC=CD1,