2022－2023学年上学期沪科版数学九年级第23章 解直角三角形 单元复习题 （含解析）

第23章 解直角三角形 单元复习题
一、单选题
1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为( )
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′ D．不能确定
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=0.6，则BC的长是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
4．sin30°的值为（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，，则△ABC为（ ）.
A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
6．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（　　）
A．7.5 B．9 C．10 D．5
7．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（ ）
A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm
8．如图，在直角中，延长斜边到点C，使，连接，若tanB=，则的值（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．16.5米 B．（10＋1.5）米
C．（15＋1.5）米 D．（15＋1.5）米
10．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）
A．5米 B．米 C．米 D．米
11．如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑1米到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，米，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．比较大小：sin48°___cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，，AB＝10，AC＝6，则BC的长为_____．
14．在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是______．
15．计算：_________．
16．在中，，则的大小是_________．
17．某物体沿着坡比为4∶3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了________米．
三、解答题
18．计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+||．
19．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．
20．如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机上看目标的俯角的正切值.
21．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
22．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限交于点，与轴交于点，点在轴上，满足条件：，且，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时，的解集．
24．如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：，，）
25．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
26．关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
参考答案：
1．B
【解析】根据相似三角形的性质，可得∠A=∠A′，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
∠A=∠A′，sinA=sinA′
故选B．
本题考查了锐角三角函数的定义，利用相似三角形的性质得出∠A=∠A′是解题关键．
2．D
【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．
本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
3．A
【解析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC=0.6，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
再Rt中，cos∠BDC=0.6，
∴CD=0.6BD=0.6(8-CD)
∴CD=3cm，
∴BD=5cm，
由勾股定理得：BC=4cm
故选：A．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
4．A
【解析】直接利用特殊角的三角函数值写出答案即可.
解：sin30°＝，
故选：A．
本题考查特殊角的三角函数值.熟记特殊角的三角函数值是解决此题的关键.
5．A
【解析】根据绝对值的非负性得出tanA-3=0，2cosB-，再根据特殊角的三角函数值得出，最后根据三角形内角和即可得出答案．
解：由题意得：tanA-3=0，2cosB-，
得：tanA= ，cosB= ，
得
则
故选A．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握三角函数值是解题的关键．
6．C
【解析】先设DE＝x，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由DE∥AB可知，进而可求出x的值和BE的长．
解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∵cosB＝＝，
∴BE＝（18﹣2x），
∵DE∥AB，
∴，
∴
∴x＝6，
∴BE＝（18﹣12）＝10，
故选：C．
本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键．
7．A
在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF．
∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC．
∵tan∠EFC=，∴tan∠BAF =．∴设BF=3x、AB=4x．
在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x．∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x．
∵tan∠EFC=，∴CE=CF tan∠EFC=2x =x．∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x．
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即（5x）2+（x）2=（10）2，整理得，x2=16，解得x=4．
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周长=2（16+20）=72cm．故选A．
考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．
8．D
【解析】延长，过点作，垂足为，由，即，设，则，然后可证明，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得，，从而可求．
解：如图，延长，过点作，垂足为，
，即，
设，则，
，，
，
，
，，
，
．
故选：．
本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将放在直角三角形中．
9．B
【解析】如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可．
解：如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5米，
在中，，
∴（米），
∴米，
故选B．
本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形．
10．C
【解析】作底面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可；
作底面于点C，
设，
∵传送带和底面所成斜坡AB的坡度为1∶2，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得：，
即．
故答案选C．
本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确计算是解题的关键．
11．B
【解析】根据设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，从而表示=4k-1，=3k+1，在中，由勾股定理，求得k值，后根据三角函数的定义计算即可．
∵，
设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，
∴=4k-1，=3k+1，
在中，
，
∴，
解得k=1，
∴=．
故选B．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，熟练用未知数表示锐角三角函数中的对应线段是解题的关键．
12．＞
【解析】作一个含有48°的直角三角形，根据大角对大边可知，，再根据三角函数的定义有即可比较出大小．
解：作一个含有48°的直角三角形，如图，
∵，
∴，
∵
∴
故填：＞．
本题考查了三角函数的定义，解题关键是掌握三角函数的定义；在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作；在直角三角形中，任意一锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作．
13．##
【解析】在Rt△ACD中，利用，可求CD，利用勾股定理求得AD，在Rt△ADB中，利用勾股定理求得BD，则BC=CD+BD，结论可得．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°．
∵，
∴
∴．
∴．
在Rt△ADB中，．
∴BC=CD+BD=3+．
故答案为：3+．
本题主要考查了解直角三角形．选择合适的直角三角形利用边角关系和勾股定理求出线段的长度是解题的关键．
14．
【解析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可．
解：在中，，设BC=x，则AB=3x，
则
故答案为：
本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．
【解析】根据解特殊角的三角函数值解答．
解：
考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．．
【解析】根据特殊角的三角函数值即可求出∠B、∠C的大小，然后根据三角形的内角和即可求出的大小.
，
，，
，
的大小是：．
故答案为．
本题考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键.
17．10
【解析】根据坡比以及上升的高度，求得水平的距离，再根据勾股定理即可求解．
解：某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，则此物体水平移动的距离为6米，
由勾股定理可得：在坡面上移动了米，
故答案为：10
此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，正确求得物体移动的水平距离．
18．2．
【解析】选进行乘方运算、代入特殊角的三角函数值、进行0次幂运算、化简绝对值，然后再按运算顺序进行计算即可.
原式＝1﹣2
＝1
＝2．
本题考查了实数的混合运算，涉及了乘方运算、特殊角的三角函数值、0指数幂运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
19．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝.
（1）如图，作AE⊥BC，
∴CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴．
20．（1）120米；（2）.
【解析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过作交BC的延长线于E，连接，于是得到， ，在Rt△ABC中，求得DC=AC=20，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
AB===120（m）
（2）过作交BC的延长线于E，连接，
则， ，
在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
DC=AC=20
DE=50
tan∠AD= tan∠DC===
答：从无人机上看目标D的俯角的正切值是．
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
21．2
【解析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′ OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′ OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=．
22．此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE=90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE=x nmile，则AE=x （nmile），BE=x（nmile），由AB=6 nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长．
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形．
又∵∠CFE＝90°，
∴ CDEF为矩形，
∴CF＝DE．
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，
∴AE＝＝x（nmile）．
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，
∴BE＝＝x（nmile）．
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，
∴CF＝DE＝（9+3）nmile．
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，
∴BC＝≈20（nmile）．
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键．
23．（1）；（2）
【解析】（1）过点B作BH⊥x轴于点H，证明≌得到BH与CH的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果．
解：（1）如图作轴于点
则
∴
∵点的坐标为
∴
∵
∴，
在和中
有
∴≌
∴，
∴，即
∴
∴反比例函数解析式为
（2）因为在第二象限中，点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方,
所以当时，的解集为.
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．
24．8.97km．
【解析】结合题意，根据直角三角形和特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．
延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：
∵灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号
∴
∵巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东方向上
∴
∵B处在A处的北偏东方向上
∴
∴,
由题意得：km
∴，
∴
∴(km)
∴巡逻船与渔船的距离约为8.97km．
本题考查了方位角、直角三角形、三角函数的知识，解答本题的关键熟练掌握三角函数、方位角的性质，从而完成求解．
25．（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】（1）证明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性质得出AN＝CM；
（2）证明△AND∽△BMD，由相似三角形的性质得出，设AN＝x，则BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝，则可得出答案；
（3）延长ME，AN相交于点H，证明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，证得HN＝MN，过点E作EG⊥BM于点G，由等腰直角三角形的性质得出答案．
（1）证明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，
∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，
∴∠ACN＝∠CBM，
又∵AC＝BC，
∴△ACN≌△CBM（AAS），
∴AN＝CM；
（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，
∴△AND∽△BMD，
∴，
设AN＝x，则BM＝2x，
由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，
∵AN2+CN2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝12，
∴x＝，
∴CM＝，CN＝，
∴MN＝，
∴DM＝＝；
（3）解：延长ME，AN相交于点H，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，
∴AN∥BM，
∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，
∴△AHE≌△BME（AAS），
∴AH＝BM，
又∵BM＝CN，CM＝AN，
∴CN＝AH，
∴MN＝HN，
∴∠HMN＝45°，
∴∠EMB＝45°，
过点E作EG⊥BM于点G，
∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，
∴sin∠EBG＝＝k，
又∵AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∴BE＝，
∴EG＝k，
∴EM＝EG＝k＝k．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．建筑物CD的高为84米．
分析：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.
详解：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADE
AB=BC tan75°=42tan75°=，
AE=，
∴CD=AB﹣AE=（米）.
答：建筑物CD的高为84米.
睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.