高中数学人教A版2019必修第二册 8.6.1 直线与直线垂直 练习（解析版）

8.6.1 直线与直线垂直
选择题
1．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行
2．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，为棱的中点，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（多选题）如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线
C．直线与是异面直线 D．直线与是异面直线
6．（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是( )
A．与平行 B．与为异面直线
C．与成60°角 D．与垂直
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1 的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ．
8．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
9．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．
10．在正方体中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则所在直线与直线EF是异面直线的是 ，异面直线EF与GH所成的角等于_____.
三、解答题
11．空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角.
12．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.
8.6.1 直线与直线垂直答案
选择题
1．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行
【答案】C
【解析】
①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图，直线与异面直线分别相交于点，直线与异面直线分别相交于点，那么四点不可能共面，否则与异面矛盾，故直线与异面；②若两条直线与两条异面直线的交点有3个，如图，则两条直线相交.
故选：C
2．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.故选C.
3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C．
4．在正方体中，为棱的中点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出正方体，如图所示．
对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．
对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．
故选C．
5．（多选题）如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线
C．直线与是异面直线 D．直线与是异面直线
【答案】CD
【解析】直线与是异面直线，直线与也是异面直线，故A、B错误.直线与是异面直线，直线与是异面直线，故C、D正确.
故选CD.
6．（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是( )
A．与平行 B．与为异面直线
C．与成60°角 D．与垂直
【答案】BCD
【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确；与为异面直线，B正确；,，而，,与成60°角，C正确；
连接，， ，平面,,又 ，与垂直,D正确.
故选：BCD
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1 的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ．
【答案】
【解析】,所以异面直线EF与GH所成的角等于所成角，为正三角形，所以所成角为.
8．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】
连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．
9．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．
【答案】
【解析】
连接交于点，取中点，连接，则，连接，为异面直线与所成角.在中，，，,同理可得,，,异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为
10．在正方体中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则所在直线与直线EF是异面直线的是 ，异面直线EF与GH所成的角等于_____.
【答案】BC，CD，AD，， 60°
【解析】连接，，，由于EF∥A1B，GH∥BC1，所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角，由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
三、解答题
11．空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角.
【答案】
【解析】设G为AC的中点,、F分别是AB、CD中点，且，且，为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)
,中,，,即异面直线AD、BC所成的角为
12．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.
【答案】
【解析】
连接.由题意得四棱柱中，，，
∴四边形是平行四边形，，（或其补角）为和所成的角.
∵异面直线和所成的角为，.∵四棱柱中，，是等腰直角三角形，.
∵底面四边形是菱形且，，，，.
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