高中数学人教A版2019必修第二册 8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）直线与平面垂直的判定 同步练习（解析版）

8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
基础巩固
1．已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
2．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
3．把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ）
A．90° B．60 C．45° D．30°
4．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对
5．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段与平面所成的角是________.
7．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.
8．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，且.求证：平面.
能力提升
9．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体中，有下列结论：
①AC//平面；②平面；
③与底面所成角的正切值是；
④与为异面直线.
其中正确结论的序号是______.（把你认为正确的结论的序号都填上）
11．如图，正方形的边长为2，与的交点为，平面，，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
素养达成
12．如图，直三棱柱ABC A1B1C1中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D 是A1B1的中点．
（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
（2）当点F 在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定答案
基础巩固
1．已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】B
【解析】A中，，且，则，故A错误；
一条直线垂直于平面，则与这条平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；
C、D中，或或m与相交均有可能，故C、D错误.
故选：B
2．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
【解析】由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
3．把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ）
A．90° B．60 C．45° D．30°
【答案】C
【解析】记正方形的对角线与交于点，
将正方形沿对角线折起后，如图，
当平面时，三棱锥的体积最大.
为直线和平面所成的角，
∵因为正方体对角线相互垂直且平分，
所以在Rt△DOB中，，
∴直线和平面所成的角大小为45°.
故选：C.
4．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对
【答案】A
【解析】
连接.
∵几何体是正方体，底面是正方形，
∴.
又∵，∴平面.
∵平面，∴.
∵，∴平面.
故选A.
5．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
6．一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段与平面所成的角是________.
【答案】.
【解析】如图，作出，，
则，确定的平面与平面交于，且与相交于，
因为，则，.即线段与平面所成的角是. 故答案为
7．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.
【答案】或
【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
又∵平面，∴.若平面，则.设，则，，
∴，解得或.
8．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，且.求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】取的中点为，连接，.
∵，分别为，的中点，∴//，又为的中点，，∴.
∵，∴，∴，∴.∵，∴.
又，平面，∴平面.
能力提升
9．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，取AC的中点O，连结,因为正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，所以，因为，所以平面，所以是与侧面所成的角，因为，所以，所以，与侧面所成的角．
10．如图，在正方体中，有下列结论：
①AC//平面；②平面；
③与底面所成角的正切值是；
④与为异面直线.
其中正确结论的序号是______.（把你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】②③④
【解析】①因为平面，所以与平面不平行，故①错误；
②连接，易证.
因为，所以平面，故②正确；
③因为底面，所以是与底面所成的角，所以，故③正确；
④与既无交点也不平行，所以与为异面直线，故④正确.
故答案为：②③④.
11．如图，正方形的边长为2，与的交点为，平面，，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）∵平面，平面，∴，又，，
，平面，∴平面.又平面，∴.
∵四边形是正方形，∴.又，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，.∵平面，平面，∴，又，∴.∵，∴平面，∴为直线与平面所成的角
在中，知，，∴.
素养达成
12．如图，直三棱柱ABC A1B1C1中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D 是A1B1的中点．
（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
（2）当点F 在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）∵是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面．
（2）作交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即所求．
事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．
又AB1⊥DF，，∴AB1⊥平面C1DF．∵AA1=A1B1=，∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF．
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