高中数学人教A版2019必修第二册 8.6.3平面与平面垂直（第1课时）平面与平面垂直的判定 教学设计

8.6.3 平面与平面垂直 教学设计
第1课时 平面与平面垂直的判定
在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.
课程目标
1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；
2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.
3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；
2. 数学运算：求二面角；
3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.
难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
我们知道如果两个平面的二面角是直角，那么这两个平面一定垂直.那么有没有更简单的方法证明两个平面垂直？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本155-158页，思考并完成以下问题
1、什么是二面角？什么是直二面角？
2、平面与平面平行的判定定理是什么？
3、怎样用符号语言表示平面与平面平行的判定定理？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.
(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
2.平面与平面垂直
(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作 α⊥β.
(2)判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 α⊥β
四、典例分析、举一反三
题型一 对面面垂直判定定理的应用
例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．
证明：平面平面.
【答案】证明见解析．
【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，
∴，即．
又∵垂直于所在平面，平面
∴．
∴
∴平面．
又平面，
∴平面平面．
解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）
(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
跟踪训练一
1、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
【答案】证明见解析.
【解析】证明 由长方体的性质可知,A1B1⊥平面BCC1B1,
又BM 平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.
在Rt△B1C1M中,B1M==,同理BM==,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.
因为BM 平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
题型二 求二面角
例2 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:
(1)求二面角D′-AB-D的大小;
(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.
【答案】(1) 45°. (2)45°.
【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥ AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,
在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.
所以二面角D′-AB-D的大小为45°.
(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.
从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.
所以二面角M-AB-D的大小为45°.
解题技巧： (作二面角的三种常用方法)
(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
跟踪训练二
1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2 .
(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;
(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.
【答案】证明见解析
【解析】（1）证明:因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PC,PA⊥PB.
经计算,得AC=2,AB=2.所以AB2+BC2=AC2,故BC⊥AB.
又PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.
因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面ABC,故平面PAB⊥平面ABC.
(2)如图,取AB的中点F,连接PF.
因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,
又平面PAB∩平面ABC=AB,PF 平面PAB,
所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.
过F作FG⊥EC于G,连接PG.
因为PF⊥EC,PF∩FG=F,
所以EC⊥平面FPG.
因为PG 平面FPG,
所以EC⊥PG.
于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角,
因此,∠PGF=30°.
又PF====,
所以FG=.设BE=x(x>2),由(1)知BC⊥AB,
所以△EFG∽△ECB,得=.因此,=,
即x2-4x-8=0,解得x=2+4(x=2-4舍去).
所以BE=2+4.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本158页练习，162页习题8.6的3、6、7、8题.
学生了解两个平面垂直的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的课堂中心是判定定理的引入与理解，判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.
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