高中数学人教A版2019必修第二册 8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）平面与平面垂直的判定 练习（解析版）

8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
选择题
1．在长方体中，，，则二面角的大小是（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是　(　　)
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
4．已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
5．（多选题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点M，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
6．（多选题）如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：()
A． B．三棱锥的体积为
C．平面 D．平面平面
三、填空题
7．在长方体中，，，则平面与平面所成的二面角的正弦值是_________.
8．如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点， 当点满足 时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）
9．如图所示，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．
10．如图所示，在长方体中，棱与棱的位置关系是_________，棱与平面的位置关系是__________，平面与平面的位置关系是_________.
三、解答题
11．已知四棱锥的底面是菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点．
　　　
（1）求证：平面平面；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值．
12．如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.
求证：（1）直线平面；
（2）平面 平面.
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定答案
选择题
1．在长方体中，，，则二面角的大小是（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】A
【解析】由题意，作出长方体的图象，取中点为，连接、，
因为平面，所以即在平面上的投影，又平面，所以，
因为，所以四边形是正方形，为中点，所以，又，
所以平面，又平面，所以，即二面角，
又，，所以，.
故选：A
2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．
3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是　(　　)
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】对于A，因为点E，F分别是AB,AP的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．同理平面，
又,
所以平面平面．因此A正确．
对于B，因为,
所以平面．
又,
所以平面，
又平面，
所以平面平面．因此B正确．
对于C，由于平面平面，且与平面PAB交于EF，PB，∴
所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角．因此C正确．
对于D，由于FE,GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D不正确．
综上选项D不正确．选D．
4．已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】B
【解析】因为是圆柱上底面的一条直径，
所以，又圆柱的底面，所以，
因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
故选：B.
5．（多选题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点M，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【解析】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，
，又底面是菱形，，是等边三角形，
，又，，平面，
平面，故正确.
对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.
对于，∵平面平面，，平面，，
是二面角的平面角，设，则，，
在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.
对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.
故选：
6．（多选题）如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：()
A． B．三棱锥的体积为
C．平面 D．平面平面
【答案】CD
【解析】如图所示：为中点，连接
，，得到
又故为等腰直角三角形
平面平面， ，所以平面，所以C正确
为中点，则平面 所以
如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误
三棱锥的体积为 .故B错误
在直角三角形中，
在三角形中， 满足
又 所以平面，所以平面平面，故D正确
综上所述：答案为CD
三、填空题
7．在长方体中，，，则平面与平面所成的二面角的正弦值是_________.
【答案】
【解析】画出图像如下图所示，将平面延展成平面，将平面延展成平面，平面与平面相交于，且，所以是平面与平面所成的二面角.在中，所以.
故答案为：
8．如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点， 当点满足 时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
【解析】连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．
9．如图所示，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．
【答案】③④
【解析】
作出折叠后的几何体直观图如图所示：
∵AB=a,BE=a,∴AE=a.
∴.
∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，
在Rt△ABC中, ,故①不正确；
连结BD，CE，则CE⊥BD，
又AD⊥平面BCDE，CE 平面BCDE，
∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD 平面ABD，AD 平面ABD，
∴CE⊥平面ABD，又AB 平面ABD，
∴CE⊥AB.故②错误．
三棱锥B ACE的体积.
故③正确．
∵AD⊥平面BCDE，BC 平面BCDE，
∴BC⊥AD，又BC⊥CD，
∴BC⊥平面ACD，∵BC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD.
故答案为③④．
10．如图所示，在长方体中，棱与棱的位置关系是_________，棱与平面的位置关系是__________，平面与平面的位置关系是_________.
【答案】平行 垂直 垂直
【解析】根据长方体的性质可知，棱与棱平行，棱与DC,DH垂直，所以棱与平面垂直，长方体的侧面与底面垂直，故平面与平面垂直.
三、解答题
11．已知四棱锥的底面是菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点．
　　　
（1）求证：平面平面；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析（2）
【解析】 (1)证明　∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，
∴PM⊥平面ABCD，
又∵BC 平面ABCD，∴PM⊥BC，
而PM∩MB＝M，PM，MB 平面PMB，
∴BC⊥平面PMB，又BC 平面PBC，
∴平面MPB⊥平面PBC.
(2)解　　过点B作BH⊥MC，连接HN，
∵PM⊥平面ABCD，BH 平面ABCD，∴BH⊥PM，
又∵PM，MC 平面PMC，PM∩MC＝M，
∴BH⊥平面PMC，
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，
∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，
在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝a，
MC＝＝a.
又由(1)知MB⊥BC，
∴在△MBC中，BH＝＝a，
由(1)知BC⊥平面PMB，PB 平面PMB，
∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，
∴sin∠BNH＝＝＝.
12．如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.
求证：（1）直线平面；
（2）平面 平面.
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．
（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．
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