高中数学人教A版2019必修第二册 8.6.3平面与平面垂直（第2课时）平面与平面垂直的性质 同步练习（解析版）

8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
基础巩固
1．若平面与平面互相垂直，则（ ）
A．内任一条直线都垂直于 B．中只有一条直线垂直于
C．平行于的直线必垂直于 D．内垂直于交线的直线必垂直于
2．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．平面
D．以上都有可能
3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A．PD平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
4．如图，在斜三棱柱中，，且，过作底面，垂足为，则点在( ).
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为　(　　)
A．2 B． C．4 D．4
6．平面平面，，，，直线（，是两条不同的直线），则直线与的位置关系是______.
7．如图所示，为空间四点，在△ABC中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.
8．已知是△ABC所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.
能力提升
9．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．△A DC是正三角形 D．四面体的体积为
10．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.
11．如图所示，在三棱锥中，平面，为直角三角形，，过点分别作，，，分别为垂足.
（1）求证：平面 平面.
（2）求证：.
素养达成
12．如图所示，平面平面，平面平面，平面，为垂足.
（1）求证：平面；
（2）当为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质答案
基础巩固
1．若平面与平面互相垂直，则（ ）
A．内任一条直线都垂直于 B．中只有一条直线垂直于
C．平行于的直线必垂直于 D．内垂直于交线的直线必垂直于
【答案】D
【解析】如果两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线垂直于两个平面的交线，则这条直线垂直另一个平面. 根据这一性质可知D选项正确.
2．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．平面
D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.
3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A．PD平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
【答案】B
【解析】∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，
∴PD⊥平面ABC.故选B
4．如图，在斜三棱柱中，，且，过作底面，垂足为，则点在( ).
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
【答案】B
【解析】连接，如图.
∵，∴，
∵，，
∴平面.
又在平面内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面平面，
则根据面面垂直的性质定理知，在平面内一点向平面作垂线，垂足必落在交线上.
5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为　(　　)
A．2 B． C．4 D．4
【答案】B
【解析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4×=2，所以PM的最小值为2. 选B.
6．平面平面，，，，直线（，是两条不同的直线），则直线与的位置关系是______.
【答案】
【解析】因为平面平面，，，，
由面面垂直的性质可得，又，所以.
故答案为：
7．如图所示，为空间四点，在△ABC中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.
【答案】2.
【解析】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，.
8．已知是△ABC所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.
【答案】证明见解析
【解析】如图，在平面内作于点，
∵平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，
又平面，
.
平面，平面，
，
，平面，
平面，
又平面，
.
能力提升
9．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．△A DC是正三角形 D．四面体的体积为
【答案】B
【解析】，，，平面平面，由与不垂直，，知与平面不垂直，仅与平行的直线垂直，故A错误；
由，平面平面，易得平面，，又由，，可得，则平面，，故B正确；
由平面，得，即△A DC是直角三角形，故C错误；
四面体的体积选，故D错误.
故选：B.
10．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.
【答案】6
【解析】，O为的中点，
.
又平面平面，且交线为，
平面.
平面，，△COD为直角三角形.
∴图中的直角三角形有，，△ABC，，△BOD，，共6个.
故答案为：6.
11．如图所示，在三棱锥中，平面，为直角三角形，，过点分别作，，，分别为垂足.
（1）求证：平面 平面.
（2）求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）因为平面， 平面，所以．又，，所以平面．又平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知，平面，平面，所以．又，，所以平面．
又平面，所以．
又，，，所以平面．
又平面，所以．
素养达成
12．如图所示，平面平面，平面平面，平面，为垂足.
（1）求证：平面；
（2）当为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
【答案】(1)见解析.(2)见解析.
【解析】(1）在平面内取一点，作于，于.
∵面平面，且平面平面，
平面.
又平面，.同理可证.
，平面.
（2）连接并延长交于.
是△PBC的垂心，，又平面，故，又，平面，.
又平面，，又，平面，，即△ABC是直角三角形.
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