《空间直线、平面的垂直》链接高考
一、选择题
1.(2020·广西梧州模拟)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体,使平面平面BCD,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.与平面所成的角为
D.四面体的体积为
2.(2020·河北石家庄模拟)已知,是空间两个不同的平面,m,n是空间两条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是( )
①,,且m//n,则;
②,,且,则;
③,,且m//n,则;
④,,且,则.
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.③④
3.(多选题)(2020·山东济宁兖州区模拟)如图,在四棱锥中,底面ABCD为菱形,,侧面PAD为正三角形,且平面平面ABCD,则下列说法正确的是( )
A.在棱AD上存在点M,使平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为
C.二面角的大小为
D.平面PAC
二、解答题
4.(2020·全国卷III)如图,在长方体中,点E,F分别在棱,上,且,.
证明:(1)当AB=BC时,;
(2)点在平面AEF内.
5.(2020·全国卷I)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,是底面的内接正三角形,P为DO上一点,.
(1)证明:平面平面PAC;
(2)设,圆锥的侧面积为,求三棱锥的体积.
答案解析
一、选择题
1.答案:B
解析:若A成立可得,矛盾,故A不正确;由题设知:,平面,,得平面,于是正确;由与平面所成的角为,知不正确;,D不正确.
2.答案:D
解析:本题为空间中的直线、平面的平行与垂直位置关系的判断,解决此类题的关键是清楚空间平行、垂直之间的相互转化,能够灵活应用判定定理和性质定理去判断直线、平面的位置关系.
对于①,当,,且m//n时,有或,相交,所以①错误;对于②,当,,且时,有或或、相交且不垂直,所以②错误;对于③,当,,且m//n时,得出,所以,③正确;对于④,当,且时,成立,所以④正确.综上知,正确的命题序号是③④.
3.答案:ABC
解析:本题主要考查空间中线面垂直的判定与性质定理,异面直线所成的角、二面角的平面角,解决此类题的关键是逐项分析判断.
如图所示,.取AD的中点M,连接PM,BM,连接对角线AC,BD相交于点侧面PAD为正三角形,∴.又底面ABCD为菱形,,∴是等边三角形.∴.又,平面平面平面PMB,因此A正确.
B.由可得,平面PMB,∴,∴异面直线AD与PB所成的角为,正确.
C.∵平面平面ABCD=BC,BC//AD,∴平面PBM,∴,.
∴是二面角的平面角,设AB=1,则,在Rt中,,∴,因此正确.
D.∵与PA不垂直,∴与平面PAC不垂直,因此D错误.
二、解答题
4.答案:见解析
解析:证明:(1)因为长方体,所以平面ABCD,,因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,所以.因为,,平面,所以平面.因为平面,所以.
(2)在上取点M使得,连接DM,MF.
因为,,,所以,,所以四边形为平行四边形,所以.
因为MF//DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形,∴,∴,所以E,,F,A四点共面,因此在平面AEF内.
5.答案:见解析
解析:(1)证明:连接OA,OB,OC,∵为圆锥顶点,O为底面圆心,∴平面ABC.
∵在DO上,OA=OB=OC,∴.
∵是圆内接正三角形,∴,,
∴,即,.
∵平面PAB,平面PAB,,
∴平面PAB.又平面PAC,
∴平面平面PAC.
(2)解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆锥的侧面积为,,
,解得r=1,,.
在等腰直角三角形APC中,,
在Rt中,,
∴三棱锥的体积为.
3/6《空间直线、平面的垂直》预习检测
一、选择题
1.(2019·山东枣庄高一检测)和两条异面直线都垂直的直线( )
A.有无数条
B.有两条
C.只有一条
D.不存在
2.(2020·山东烟台期末)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的任意一点,,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中不正确的是( )
A.平面PAC
B.
C.
D.平面平面PBC
3.把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD,使得平面平面BCD,则空间四边形CD的对角线AC的长为( )
A.4
B.
C.2
D.
二、解答题
4.(2020·云南学考)如图,点P为菱形ABCD所在平面外一点,平面ABCD,点E为PA的中点.
(1)求证:PC//平面BDE;
(2)求证:平面PAC.
答案解析
一、选择题
1.答案:A
解析:由于两条异面直线的公垂线有且只有一条,所以与公垂线平行的直线和这两条异面直线都垂直.
2.答案:C
解析:在中,推导出,,从而平面PAC,正确;
在B中,由平面PAC,可证,又,可证平面PBC,即可证明,正确;
在中,由,得若,则平面PBC,与矛盾,错误;
在D中,由平面PBC,平面AEF,即可证明平面平面PBC,正确.
3.答案:
解析:本题主要利用面面垂直性质构造直二面角,并根据勾股定理求解线段的长度.
取BD的中点O,连接AO,CO,则,,
由平面平面BCD,且平面平面BCD=BD,所以.又AO=,
所以,
所以AC=4,即空间四边形ABCD的对角线AC=4.
二、解答题
4.答案:见解析
解析:(1)如图,设,则O为AC的中点,连接OE,又E为PA的中点,∴.
∵平面BED,平面BED,∴平面BED.
(2)∵平面ABCD,而平面ABCD,∴.
又ABCD为菱形,则,∴平面PAC.
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