第四章 图形的相似单元质量检测试卷A（含答案）

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北师大版2022-20203年九年级（上）第四章图形的相似检测试卷A
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 下图中 位似图形的几种画法中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 如图，已知 与 都是等边三角形，点 在边 上（不与点 ， 重合）， 与 相交于点 ，那么与 相似的三角形是
A. B. C. D.
3. 下列图形中一定是相似形的是
A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形
C. 两个矩形 D. 两个正方形
4. 在比例尺是 的地图上，两地的距离是 ，那么这两地的实际距离为
A. B. C. D.
5. 下列格点三角形中，与右侧已知格点 相似的是
A. B.
C. D.
6. 如图，已知 是 边 上的一点，如果 ，那么下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
7. 如果两个相似三角形的周长比为 ，那么这两个三角形的对应中线的比为
A. B. C. D.
8. 已知点 是线段 的黄金分割点，且 ，则下列比例式能成立的是
A. B. C. D.
9. 矩形的两边长分别为 和 ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 的值为
A. B. C. D.
10. 如图，点 是线段 的中点，，下列结论中，说法错误的是
A. 与 相似 B. 与 相似
C. D.
11. 如图， 是斜靠在墙上的长梯，梯脚 距离墙角 ，梯上点 距墙 ， 长 ，则梯子长为
A. B. C. D.
12. 已知线段 ．按以下步骤作图：
（）作以 为端点的射线 （不与线段 所在直线重合）；
（）在射线 上顺次截取 ；
（）连接 ，过点 作 ，交线段 于点 ．
根据上述作图过程，下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 如图，已知 ，它们分别交直线 ， 于点 ，， 和点 ，，，如果 ，，那么线段 的长是 ．
14. 如图， 和 是以点 为位似中心的位似图形，若 ， 的面积为 ，则 的面积为 ．
15. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形 中，，，，， 分别是边 ， 上的点，且 ，如果四边 与四边形 相似，那么 的值是 ．
16. 在比例尺为 的地图上，相距 厘米的两地 ， 的实际距离为 米．
17. 如图，在 中，中线 ， 相交于点 ，如果 的面积是 ，那么四边形 的面积是 ．
18. 如图所示，在三角形纸片 中，，，，如果将 沿过顶点 的直线折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，那么 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）如图是一张矩形纸片，其中 ，，怎样折叠这张纸片，才能找到 边上的黄金分割．
20. （8分）根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）
（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似； 命题
②有一个内角对应相等的两个菱形相似； 命题
（2）已知：如图 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，以 为直角边作等腰直角三角形 ，再以 为直角边作等腰直角三角形 ．求证：四边形 与四边形 相似．
（3）已知：如图 ，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，， 相交于点 ，点 在 的延长线上，连接 ，．如果四边形 与四边形 相似，且点 ，，， 分别对应 ，，，．求证：．
21. （8分）已知：如图，在 中，，．
（1）求证：；
（2）如果 ，，求 的长．
22. （8分）如果 能与 ，， 这三个数组成比例，求 的值．
23. （10分）如图，在 中，， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ，且 ，．
（1）求证：四边形 是等腰梯形；
（2）若 ，，，求 的长．
24. （8分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是 ，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）在图②中，请画出一个与图①中 相以的 ；
（2）在图③中，以点 为位似中心，画出一个 ，使得它与 的相以比为 ．
25. （10分）如图，已知 中，，射线 交 于点 ，点 是 上一点，且 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）如果 平分 ，求证：．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. D
【解析】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意，
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意．
4. B
【解析】根据比例尺 图上距离 实际距离，
得：两地的实际距离为 ．
5. A
【解析】 的三边长分别为：，
，，
，
为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别：，，，
，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
．
6. B
【解析】因为 ，，
所以 ，所以 ，
即 ．
7. B
【解析】 两个相似三角形的周长比为 ，
两个相似三角形的相似比为 ，
这两个三角形的对应中线的比为 ．
8. C
【解析】根据黄金分割定义可知： 是 和 的比例中项，即 ，
．
9. B
10. D
【解析】，，
，
又 ，
，
故A选项正确；
，
，
为 的中点，
，
，
又 ，
，
故B，C选项正确；
，
，
若 ，则 ，
，
根据现有条件无法判断 ，故 ，
故D选项不正确．
故选：D．
11. C
【解析】，，
，
，
，即 ，解得 ．
12. C
【解析】作出图形如图．
由题意，得 ．
，
，
．
故选：C．
第二部分
13.
【解析】，
，
，
又 ，
，
解得 ，
故答案为：．
14.
15.
【解析】 四边 与四边形 相似，
，
，，
，
解得：，
四边 与四边形 相似，
．
16.
【解析】设相距 厘米的两地 ， 的实际距离为 厘米，
根据题意得：，
解得：，
经检验， 是上述方程的解，
，
相距 厘米的两地 ， 的实际距离为 ．
17.
【解析】如图所示，连接 ．
， 分别是 ， 边上的中线，
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
18.
【解析】由折叠可得：，，，
，
，，
，
，
，
即 ，
解得：，，
，
，
，
过点 作 ，交 于点 ，
设 ，则 ，
在 中，
，
在 中，
，
，
解得：，
．
第三部分
19. 如图，在矩形 中，连接 ，在 上截取 ．取 中点 ，在 上截取 ，
则点 就是线段 的黄金分割点．
理由如下：
因为四边形 是矩形，
所以 ，．
因为 ，
所以 ．
所以 ，即 ．
所以点 就是线段 的黄金分割点．
20. （1） 假；真.
（2） 因为 ，， 是等腰直角三角形，
所以 ，．
所以 ，，，．
设 ，则 ，，．
所以 ．
所以四边形 与四边形 相似．
（3） 因为如果四边形 与四边形 相似，且点 ，，， 分别对应 ，，，，
所以 ，．
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ，．
所以 ．
所以 ．
21. （1） ，
．
又 ，
，
．
（2） ，
，
，
，
，
，
．
22. 或 或
23. （1） 在 和 中，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
四边形 是等腰梯形．
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
24. （1） 如答图①， 即为所求．
（2） 如答图②， 即为所求．
25. （1） ，，
，
即 ，又 ，
．
（2） 平分 ，，
，
，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
即 ，
．
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