第四单元《图形的相似》质量检测试卷B（含答案）

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北师大版2022-2023学年九年级（上）第四章图形的相似检测试卷B
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 如果两个相似三角形的周长比为 ，那么它们的对应角平分线的比为
A. B. C. D.
2. 在比例尺为 的地图上，如果A，B两地的距离是 厘米，那么这两地的实际距离是
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3. 如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，即，那么 的值等于
A. B. C. D.
4. 下列命题中，说法正确的是
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
5. 如图， 是平行四边形 的对角线 上一点， 的延长线交 于点 ，交 的延长线于点 ，图中相似三角形有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
6. 已知在 中，，，，如果 与 相似，且 两条边的长分别为 和 ，那么 第三条边的长为
A. B. C. D.
7. 下列图形，一定相似的是
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形
C. 两个等边三角形 D. 两个菱形
8. 在 中，点 ，， 分别在边 ，， 上，连接 ，，如果 ，，，那么 的值是
A. B. C. D.
9. 如图，在剧场中，坐在小明（）前面一排的女士（）戴着高帽子（），此时小明的眼睛 ，帽顶 以及舞台上方横梁的某点 在同一条直线上；女士发现帽子挡住了小明的视线，于是摘掉帽子，此时小明的眼睛 ，女士头顶 以及舞台下方地面上某点 在同一条直线上．已知舞台的高 ，，， 在同一条直线上，，， 在同一条直线上，，，则舞台横梁到舞台的距离 为
A. B. C. D.
10. 下列说法中，正确的个数是
①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③位似中心要么取在图形外部，要么取在图形内部；④若五边形 与五边形 位似，则其中 与 也是位似的，且相似比相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 制作一块 长方形广告牌的成本是 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 倍，则扩大后长方形广告牌的成本是
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
12. 如图，，，，，，，，， 都是方格纸的格点，为使 ，则点 应是 ，，， 点中的
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 如图， 与 是位似图形，位似比为 ，已知 ，则 的长为 ．
14. 在比例尺为 的地图上，相距 厘米的两地实际距离为 千米．
15. 连接三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的 ，面积为原三角形面积的 ．
16. 如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知 ，，当 时，．
17. 如图，已知 ，它们依次交直线 ， 于点 ，， 和点 ，，．如果 ，，那么线段 的长是 ．
18. 如图，已知正方形 的顶点 ， 在 的边 上，顶点 ， 分别在边 ， 上．如果 ， 的面积是 ，那么这个正方形的边长是 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）如图，在 中，点 ，， 分别是 ，， 的中点，求证：．
20. （8分）已知 ，， 边上的中线 ， 的周长为 ， 的面积是 ，求：
（1） 边上的中线 的长；
（2） 的周长；
（3） 的面积．
21. （8分） 如图，在东西方向的海岸线 上有一长为 千米的码头 ，在距码头西端 的正西方向 千米处有一观测站 ，现测得位于观测站 的北偏西 方向，且与观测站 相距 千米的小岛 处有艘轮船开始航行驶向港口 ．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站 的正北方向，且与观测站 相距 千米的 处．
（参考数据：，，）
（1）求 两地的距离（结果保留根号）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头 靠岸 请说明理由．
22. （8分）已知：如图，，垂足为 ，，点 是射线 上的一个动点，，边 交射线 于点 ， 的平分线分别与 ， 相交于点 ，．
（1）求证：；
（2）如果 ，，求 关于 的函数关系式；
（3）连接 ，如果以点 ，， 为顶点的三角形与 相似，求 的长．
23. （8分） 若 ，， 是非零实数，并满足 ，且 ，求 的值．
24. （8分）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别是 ，，．
（1）以原点 为位似中心，画出一个 ，使得它与 的相似比为 ．
（2）根据（）的作图， 各顶点的坐标分别为 ．
25. （12分）如图，在 中，边 上的高 ，．直线 平行于 ，分别交线段 ，， 于点 ，，，直线 与直线 之间的距离为 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）将 沿着 翻折，点 落在两平行直线 与 之间的点 处，延长 交线段 于点 ．
①当点 恰好为 的重心时，求此时 的长．
②连接 ，在 的条件下，如果 与 相似，试用 的代数式表示线段 的长．
答案
第一部分
1. A
【解析】 两个相似三角形的周长比为 ，
两个相似三角形的相似比为 ，
它们的对应角平分线之比为 ．
2. C
【解析】根据题意， 厘米 米．
即两地间的实际距离是 米．
故选C．
3. D
【解析】由于 为线段 的黄金分割点，
且 ，
则 ．
4. D
【解析】A．所有菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；
B．两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故该选项不正确，不符合题意；
C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，故该选项不正确，不符合题意；
D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似，故该选项正确，符合题意．
5. A
【解析】 四边形 是平行四边形，
，，，
，
，，
，
，，
，
则图中相似三角形有 对，它们分别是：，，，，，，
故选：A．
6. C
7. C
【解析】A．两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C．两个等边三角形，角都是 ，故相似；
D．任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似．
8. B
【解析】如图：
，
，
，
，
．
9. D
【解析】由题意知，，， 都垂直于地面 ，
，
，
．
，
，
．
，，，，
，
，
．
10. B
11. C
【解析】将此广告牌的四边都扩大为原来的 倍，则面积扩大为原来的 倍，
扩大后长方形广告牌的面积 ，
长方形广告牌每平方米的制作成本是 元，
扩大后长方形广告牌的成本是 元．
12. B
第二部分
13.
【解析】因为 与 是位似图形，位似比为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
14.
15. ，
16.
17.
【解析】，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得：，经检验符合题意；
故答案为：．
18.
【解析】作 于 ，交 于 ，如图，
的面积是 ，
，
，
设正方形 的边长为 ，则 ，，，
，
，
，即 ，解得 ，
即正方形 的边长为 ．
故答案为 ．
第三部分
19. 点 ，， 分别是 ，， 的中点，
，， 是 的中位线．
，，．
．
．
20. （1） ，，
，
又 ，
．
（2） ，，
，
又 的周长为 ，
．
（3） ，，
，
又 的面积是 ，
．
21. （1） 过点 作 于点 ．
由题意，得 ，，，，
，，
，
．
（2） 如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头 靠岸．
延长 交 于 ，
，
，
，
，解得 ，
，，
，
，
如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头 靠岸．
22. （1） ，，
，，
，
平分 ，
，
．
（2） 作 垂足为点 ，
，
，
，，
，
；
平分 ，，，
，
，，
，
，
，即 ，
解得：．
（3） 如图，连接 ，
设 ，由 ，如果以点 ，， 为顶点的三角形与 相似，即以点 ，， 为顶点的三角形与 相似，
，
若 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
由（）得：，
，
解得：（舍去负值），
，
若 ，则 ，
，即 ，
，
，
，
由（）得： ，
是锐角，而 是直角，所以这种情况不成立．
综上所述，如果以点 ，， 为顶点的三角形与 相似， 的长为 ．
23. 或 ．
24. （1） 如图， 即为所求．
（2） ，，
25. （1） 由 是边 上的高，，，得 ．
由题意得 ，．
直线 平行 ，
．
根据题意，得 是 的高，
．
得 ，解得 ．
即 的值为 ．
（2） ①由 沿着 翻折，点 落在两平行直线 与 之间的点 处，得点 落在 上．
点 为 的重心，
为 的中线，．
可得 ，．
由 沿着 翻折，可得 ．
直线 平行 ，可得 ，．
，得 ．
．得 ，解得 ．
② ，，
与 相似有两种可能性．
由 与 相似，得 与 相似．
由 ，得 ，，，，．
i．当 时，由 ，得 ．化简得 ．
ii．当 时，作 边 上的高 ，得 ．
由 ，得 ．化简得 ．
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