第四章 图形的相似单元质量检测试卷C（含答案）

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北师大版2022-2023学年九年级（上）第四章图形的相似检测试卷C
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 如果 ，且 是 和 的比例中项，那么 等于
A. B. C. D.
2. 在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的 变成了 ，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的
A. B. C. D.
3. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为 ，当蜡烛火焰的高度 是它在光屏上所成的像 高度的一半时，带“小孔”的纸板与光屏的距离是
A. B. C. D.
4. 如图， 与 位似，点 为位似中心．已知 ，则 与 的相似比为
A. B. C. D.
5. 如图，已知在 中，点 在边 上，那么下列条件中不能判定 的是
A. B.
C. D.
6. 如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，下列各比例式不一定能推得 的是
A. B. C. D.
7. 下列各组条件中，一定能推得 与 相似的是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
8. 下列图形，一定相似的是
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形
C. 两个等边三角形 D. 两个菱形
9. 如图，已知矩形 中，，在 上取一点 ，沿 将 向上折叠，使 点落在 上的 点处，若四边形 与矩形 相似，则 等于
A. B. C. D.
10. 如图及各个选项中的图均是由边长为 的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中与 相似的是
A. B.
C. D.
11. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段 为边作正方形 ，取 的中点 ，连接 ，延长 至 ，使得 ，以 为边作正方形 ，则点 即是线段 的黄金分割点．若记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定的
12. 如图，在 中，，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 落在 上，若 ，，则
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 如图，矩形 的两边在坐标轴上，点 为平面直角坐标系的原点，以 轴上的某一点为位似中心，作位似图形 ，且点 ， 的坐标分别为 ，，则位似中心的坐标为 ．
14. 如图，已知 ，它们依次交直线 ， 于点 ，， 和点 ，，．如果 ，，那么线段 的长是 ．
15. 给出以下结论：
①两个等腰直角三角形一定相似；
②两个全等三角形一定相似；
③两个相似三角形一定全等；
④两个正方形一定相以．
其中正确的结论是 ．（填序号）
16. 如图，在 中，，．点 从点 出发，沿 以 的速度向点 移动，点 从点 出发，沿 以 的速度向点 移动．如果 ， 两点同时出发，那么经过 后， 与 相似．
17. 在每个小正方形的边长为 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知 是 网格图形中的格点三角形，则该图中所有与 相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是 ．
18. 如图，在矩形 中， 的角平分线 与边 交于点 ， 的角平分线与边 的延长线交于点 ，与边 交于点 ，如果 ，，那么 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）已知：如图，在 中，点 在 上，点 在 上， 与 不平行．添加一个条件 ，使得 ，然后再加以证明．
20.（8分） 已知：如图，梯形 中，，， 是对角线 上一点，，．
（1）求证：；
（2）如果 ，求 的长．
21.（8分） 如图，在四边形 中，，，， 为 边上一点（不与点 ， 重合），连接 ，过点 作 交 于点 ，使得 ．
（1） 与 相似吗 为什么
（2）若 ，求 的长．
（3）当 为多少时， 的长最大 最大为多少
22. （10分）如图 ，四边形 中， 的平分线 交边 于点 ，已知 ，，，且 ．
（1）求证：；
（2）如果 ，求四边形 的面积；
（3）如图 ，延长 ， 交于点 ，设 ，，求 关于 的函数解析式，并写出定义域．
23. （10分）已知线段 ，， 满足 ，且 ．
（1）求 ，， 的值；
（2）若线段 是线段 ， 的比例中项，求 的值．
24. （8分）如图，在边长为 的小正方形组成的网格中， 与 的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，判断 与 是否相似，并证明你的结论．
25.（8分） 如图，在矩形 和矩形 中，，，，矩形 的面积为 ，那么这两个矩形相似吗 请说明理由．
答案
第一部分
1. D
【解析】， 是 和 的比例中项，即 ，
．
2. C
3. B
4. B
5. A
【解析】，而 ， 不一定相等，不能判断 ，故A符合题意；
，
，而 ，
，故B不符合题意；
，，
，故C不符合题意；
，，
，故D不符合题意；
故选A．
6. B
【解析】A、 ，
，不符合题意；
B、由 ，不一定能推出 ，符合题意；
C、 ，
，不符合题意；
D、 ，
，不符合题意．
7. C
【解析】A、 和 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、 ， 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由 可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出 与 相似，故此选项正确；
D、 且 不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误．
8. C
9. B
10. A
【解析】根据题意，得 ，，，
．
A．三边之比为 ，故选项A符合题意；
B．三边之比为 ，故选项B不符合题意；
C．三边之比为 ，故选项C不符合题意；
D．三边之比为 ，故选项D不符合题意．
11. C
【解析】 点 是线段 的黄金分割点，
，
，
，
．
12. A
第二部分
13.
【解析】如图，连接 交 轴于 ，
四边形 和四边形 是矩形，
点 ， 的坐标分别为 ，，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，，
点 的坐标为 ．
14.
15. ①②④
16. 或
17.
【解析】因为在 中，，，
所以 ，，
所以与 相似的格点三角形的两直角边的比为 ．
若该三角形最短边长为 ，则另一直角边长为 ，
但在 网格图形中，最长线段长为 ，
此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为 的线段，故最短直角边长应小于 ，
在图中尝试，可画出 ，， 的三角形，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以此时 的面积为 ，
为面积最大的三角形，其斜边长为 ．
18. 或
【解析】 矩形 中， 的角平分线 与 交于 ；
，，
，
直角三角形 ，
，
又 的角平分线 与 交于点 ，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设 ，，则 ，
，
，解得 ．
第三部分
19. （）添加条件正确；
（）证明正确．
20. （1） ，
，
又 ，
．
（2） 梯形 中，，，
又 ，
，
，
．
，
，，
，
，
，
，
设 ，，
，解得 （舍去负值），
，即 ．
21. （1） 与 相似．理由如下：
，，
．
．
．
．
（2） 由（）可知 ，
．
，，
．
．
解得 ．
（3） 设 ，，则 ．
由（）可知 ，
．
．
．
，，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
即当 为 时， 的长最大，最大为 ．
22. （1） 四边形 中， 平分 ，
，
，
，
，
，
又 ，即 ，
，
，
，
，
，
，
．
（2） ，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，，
过点 作 ，过点 作 ，垂足分别为 ，，
中，，
.
面积一定，
，
，
梯形 的面积 ．
（3） ，，，，，，
，
，
，
，，
，
，
又 ，
，
，
，定义域：．
23. （1） 因为 ，
所以设 ，，．
因为 ，
所以 ．
解得 ．
所以 ，，．
（2） 因为 是 ， 的比例中项，
所以 ．
所以 ．
所以 或 （舍去），
即 的值为 ．
24. 与 相似．
证明：由图可得 ，，，
，，．
，
．
25. 这两个矩形相似．理由如下：
，矩形 的面积为 ，
．
，，，
，．
．
四边形 和四边形 是矩形，
，，，，．
．
这两个矩形相似．
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