人教版七年级上册第4章图形的初步全章学案18页
文档属性
| 名称 | 人教版七年级上册第4章图形的初步全章学案18页 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 563.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-12-22 15:11:43 | ||
图片预览
文档简介
第四章 几何图形初步
4.1.1 立体图形与平面图形 (第1课时)
学习目标
1.通过观察生活中的大量图片或实物，体验、感受、认识生活中的事物为原型的几何图形，认识一些简单几何体的基本特性，能识别这些几何体.
2.能由事物形状想象出几何图形，由几何图形想象出事物形状，进一步丰富对几何图形的感性认识.
自主预习
观察图形： (1) 粉笔盒 (2) 茶叶桶 (3) 足球 (4) 交通标志.回答下列问题:
(1) (2) (3) (4)
(1) 请从中找出我们熟悉的几何图形，归纳一下我们常见的几何图形有哪些？
(2) 你能把(1)题中的几何图形按立体图形与平面图形分类吗？生活中还有哪些物体的形状类似于这些几何图形？
课堂探究
探究一 几何图形
1.观察纸盒外形并填空：
从整体上看，它的形状是______ ；看不同的侧面，得到的是______或______ ；看棱得到的是 ______ ；看顶点得到的是______
2.研究几何图形的内容是什么？
探究二 立体图形
1.举例说明什么是立体图形.
2.下图中的实物形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来.
归纳：
常见的立体图形，并指出各部分的名称及特征.
柱体： （2）椎体：
（3）台体： （4）球体
探究三 平面图形
举例说明什么是平面图形.
归纳：常见的平面图形：
（1）点； （2）线：直线、射线、线段；
（3）三角形 （4）四边形：正方形、长方形、平行四边形、梯形 （5）圆、扇形
重点题型
题型 立体图形的识别
1.下列判断正确的有 （ ）
①正方体是棱柱，长方体不是棱柱；②正方体是棱柱，长方体也是棱柱；③正方体是柱体，圆柱也是柱体；④正方体不是柱体，圆柱是柱体.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.写出下列立体图形的名称：
随堂训练
1.对于一个物体，数学中关注的是 ( )
A.材料,颜色 B.做工,美观
C.形状,大小 D.质量,价值
2.棱柱的侧面都是 （ ）
A.三角形 B.长方形 C.五边形 D.菱形
3.圆锥的侧面展开图是 （ ）
A.长方形 B.正方形 C.圆 D.扇形
4.请在下图所示的图形下面的横线上写出它们的名称.
_______ _______ _______ _______
5.下面几种图形： ①三角形;②长方形;③正方体;④圆;⑤圆锥;⑥圆柱。其中属于立体图形的是________________.(填上序号即可)
6.下列图形中主要是由哪些简单的图形组成的？
能力提升
1.先将下列几何图形分为两类，再对每一类进行分类，并说明你分类的理由.
2.请用直线、线段、三角形、圆这几种图形设计成表现客观事物的图画，并为你的图画命名.(每幅图可以用一种、两种或三种基本图形，但总数不得超过三个).
数学广角
“欧氏几何”…几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
第四章 几何图形初步
4.1.1立体图形与平面图形 (第2课时)
学习目标
1.能画出从不同方向看一些基本几何体以及它们
的简单组合得到的平面图形.
2.直观认识立体图形和展开图，了解研究立体图形的方法.
3.通过观察和动手操作，经历和体验平面图形和立
体图形相互转化的过程，初步建立空间观念，发
展几何直观.
自主预习
我们从不同的角度、不同的方向去观察同一物体
时，看到的图像一定一样吗？请举出生活中从不
同方向观察同一对象的实例.你能用一首诗句描
述这种现象吗？
准备一个包装盒（形状不限），沿着边剪开、铺
平， 看看它的展开图是由哪些平面图形组成的，再把展开的纸板复原，你有什么体会？
课堂探究
探究一 从不同的方向看物体
1.从不同的方向看物体是指从哪些方向？
2.下图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？你能画出来吗？
归纳：
几种常见几何体，分别从正面、左面、上面看到的平面图形：
探究二 立体图形的展开图
1.下面的图形是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否一样？
2.画出正方体的展开图.
归纳：
不是所有的立体图形都有展开图，如球；
由立体图形的展开图可识别出立体图形的形状，具体方法是：展开图中有圆，一般考虑圆柱或圆锥；展开图中有三角形，一般考虑棱柱或棱锥；展开图中有长方形或正方形，一般考虑棱柱；
正方体的展开图：
重点题型
题型一 从不同方向看集合体
1.桌上放着一个球和一个圆柱，下面a、b、c、d、e这五幅图分别是从什么方向看到的？题型二 简单几何体的展开图
2.一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）
A．和 B．谐
C．沂 D．南
随堂训练
一个几何体从正面看、左面看、上面看都是正
方形，则这个立体图形是 .
2.从不同方向看到的一立体图形如图所示，那么
这个立体图形是 .
3.一个正方体中，截去一个小正方体的立体图如图所示，从左面观察这个图形，得到的平面图形是 （ ）
4.如图所示的物体，从左面看得到的图是（ ）
A B C D
5.下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以
围成一下直三棱柱的是 ( )
A B C D
6.下图中不是正方体的表面展开图的是 （ ）
A B C D
7.分别从正面、左面、上面观察三棱柱和四棱锥,
看一看各能得到什么平面图形
能力提升
1.下面是一些立体图形的展开图，用它们能围 成什么样的立体图形？
2.正方体展开图如下，原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 ．
数学广角
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成，组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料，蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极少。
第四章 几何图形初步
4.1.2 点、线、面、体
学习目标
1.通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、体的几何特征，感受它们之间的关系.
2.培养操作、观察、分析、猜测和概括等能力，同时渗透转化、化归、变换的思想.
自主预习
1.观察你使用的数学课本，它有几个面？面与面相交的地方形成了几条线？线与线相交成几个点？总结点、线、面、体的关系，并举出生活中另外一些实例说明这一关系.
2.找出生活中包含平面、曲面、直线、曲线、点的例子.
注意：
点、线、面是够成几何图像的基本元素，几何中点无大小（点是位置的标志），线无粗细，面无厚薄.
课堂探究
探究一 点、线、面、体
1.几何图形是由什么组成的？什么是构成图形的基本元素？
2.观察图形填空：
这是一个长方体模型，围成它的有 个面， 面与面相交的地方形成了 条线，线与线相交成 个点.
这是一个圆柱模型，围成它的有 个面， 面与面相交的地方形成了 条线.与长方体有 何不同？
归纳：
体是 围成的，面有 也有 ；面与面相交形成 ，线有 也有 ；线与线相交形成 ，点没有 ___________之分.
3.笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么图形？想一想，从中你又有何发现？请用最简练的语言概括你的发现.
4.汽车雨刷可以看作一条线，它在挡风玻璃上来回摆动时有什么现象？
5.点动成线，线动成面.那么请同学们想一想，当面运动时会形成什么图形？如何验证你的猜想？
探究二 由平面图形旋转而成的立体图形
如图上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来
重点题型
如图上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来
随堂训练
1.请你用学到的数学知识解释下列现象：流星从空中划过留下的痕迹，说明了 .车轮转动时，看起来像一个整体的圆面，这说明了 .一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了
2.如图所示的几何体由 个面围成，面与
面相交有 条线，直的线有 条，曲的
线有 _______条.
3.四棱锥有 个面，面与面相交形成了 ________条棱，这些棱相交形成了 个点.
4.将长方形按图中所示的四种方法旋转，能得到圆柱体是 _____.
5.如图，用第一行的图形绕轴旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，请你用线连一连.
6.如图所示，要给这个长，宽，高分别为xcm，ycm，zcm的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要多少？（用含x，y，z的代数式表示）
能力提升
现有一个长为8cm，宽为6cm的长方形，分别绕它的长、宽所在直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多少？（结果用π表示）.
数学广角
谜语“千条线万条线，落在水里看不见”，你能用数学知识解释这一现象吗？
第四章 几何图形初步
4.2直线、射线、线段（第1课时）
学习目标
1．认识直线、射线、线段的区别与联系，逐步掌握他们的表示方法.
2．结合实例，了解两点确定一条直线的基本事实，并逐步应用.
3．能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形，在图形的基础上发展数学语言．
自主预习
1.硬纸条固定在硬板上至少需要几颗图钉？若将图钉抽象为点，纸条抽象成直线，你能得到什么结论？请画图说明．
2.如何表示直线、射线、线段.
3.怎样由图中的线段得到一条射线或一条直线．
课堂探究
探究一 直线公理
1.经过一点能画几条直线？经过两点能画几条直线？如下图画一画试一试.
归纳：
经过一点可以画____条直线；经过两点有___直线，并且_____直线（即两点确定一条直线）.
探究二 直线、射线、线段的定义及表示
1.如图，直线有几种表示方法？如何表示？
2.如图，射线有几种表示方法？如何表示？
3.如图，线段有几种表示方法？如何表示？
4.在直线、射线、线段的表示法中，为什吗用两个大写字母表示？
归纳：
名称 不同点 联 系
图形 延伸方向 端点个数 度量
直线
射线
线段
5.用几何语言描述下列图形.
归纳：
点与直线有什么位置关系？
重点题型
题型一 按要求画图
1.如图平面上有四点A、B、C、D，按下列语句画图：
如图平面上有四点A、B、C、D (1)画直线AB、射线BC与线段DC；
(2)延长CD与直线AB相交于点E；
(3)画线段AC、BD交于点F；
(4)连接AD，并使其反向延长与射线CB交于点G．
题型二 射线、线段的条数的确定
2.根据图形，确定直线上射线和线段的条数，并归纳结论.
随堂训练
1.点与直线的位置关系有两种，分别是_________和__________．
2.用枪瞄准射击时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为 _______________．
3.下列说法：①直线的一半是射线；②射线AB和射线BA是同一条射线；③线段AB与线段BA是同一条线段；④直线AB和直线BA是同一条直线；⑤一条直线上一点把这条直线分成两条射线，其中正确的是________(填上序号即可)．
4.下列写法中正确的是 （ ）
A．直线a、b相交于点n
B.直线AB、CD相交于点M
C.直线ab、cd相交于点M
D．直线AB、ＣＤ相交于ｍ
5.如图，在直线上依次有五个点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ，则图中射线的条数为 （ ）
Ａ．２条 Ｂ．１０条 Ｃ．５条 Ｄ．４条
６.如图，点Ａ、Ｂ、Ｃ是直线ｍ上的三个点，图中共有线段的条数是 （ ）
Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．４条
７.下列语句正确的是 （ ）
Ａ．画直线ＡＢ＝１０厘米
Ｂ．延长射线ＯＡ
Ｃ．画射线ＯＢ＝３厘米
Ｄ．延长线段ＡＢ到点Ｃ，使ＢＣ＝ＡＢ
８.在直线ｍ上有Ａ、Ｂ、Ｃ三点，下列说法正确的有 （ ）
①射线ＡＢ与射线ＢＣ是同一条射线；②直线ＡＢ经过点Ｃ；③射线ＡＢ与射线ＡＣ是同一条射线；④直线ＡＢ与直线ＢＣ是同一条直线．
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
能力提升
平面上有三点A、B、C，过其中每两点画直线，一共可画几条？四点呢？n个点呢？试画图说明．
数学广角
几何发展史
几何， 是由希腊文演变而来，其原意是土地测量。是埃及人创造的，并且产生于土地测量。由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这样测量变成了必要的工作。无可置疑的，这类科学和其它科学一样，都发生于人类的需要。”明代徐光启（1562~1633）和天主教耶酥会传教士利玛窦翻译欧几里得的《几何原本》时将Geometry一词译为几何学。
第四章 几何图形初步
4．2直线、射线、线段（第2课时）
学习目标
1.会画一条线段等于已知线段．
2.结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的意义．
3.理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离．
自主预习
1.任意画线段，怎样再画一条与线段长度相等的线段
2.阅读课本，利用下图中的已知线段，分别画线段，线段，并谈谈你对线段的中点、三等分点、四等分点的认识．
课堂探究
探究一 线段的比较与和差
1.已知一条线段a，怎样画一条线段AB，使AB=a,动手画一画.
2.有两条线段，你能判断一下它们的长短吗？你有什么方法来验证你的判断？
归纳：
比较两条线段的方法：
3.已知线段a和b（a>b），怎样画一条线段AC=a+b 怎样画一条线段AD=a-b？动手画一画.
探究二 线段的中点、三等分点
1.什么是线段的中点？
2.线段的中点具有什么性质？
3.若AM=BM，则M是AB的中点吗？若AM=AB，BM=AB，则点M是AB的中点吗？
4.什么是线段的三等分点？具有什么性质？
探究三 线段的性质及两点的距离
1.如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？
如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短线路.
归纳：
由问题1，你能得到什么结论？
2.什么叫两点的距离？
重点题型
题型一 线段间的数量关系及计算
1.如图所示，为线段的中点，为线段的中点，,求的长．
题型二 两点间距离
2.若点在线段上，=8cm,=5cm,,则,两点间的距离是（ ）
A．3cm B．13cm
C．3cm或13cm D．不确定
随堂训练
1.估计下列图形中、AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验你的估计.
2. 如图所示，已知线段，， 画一条线段，使它等于．
3.如图所示，点C是AB的中点，点D是BC的
点，则下列表达式：① ；②；③；④，其中正确的是______．(填上序号)
4.如图所示，已知，是的中点，，求,, 长．
能力提升
如图，线段，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，小华据此轻松地求得．他在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上，原有的结论“”是否依然成立？请帮小华画出图形并说明理由．
数学广角
蜗牛何时爬上井？
一只蜗牛不小心掉进了一口10米深的枯井里，它决心爬出去。它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了5米。心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。”想着想着，它不知不觉地睡着了。早上，蜗牛发现睡着以后从井壁上滑下来4米。蜗牛叹了一口气，咬紧牙又开始往上爬。到了傍晚又往上爬了5米，可是晚上蜗牛又滑下4米。爬呀爬，最后坚强地蜗牛终于爬上了井台。小朋友你能猜出来，蜗牛需要
用几天时间就能爬上井台吗？
第四章 几何图形初步
4.3.1 角
学习目标
1.理解角的定义和相关概念，用运动的观点理解角、平角、周角等概念，掌握角的表示方法.
2.掌握角的度量及度量单位之间的转化.
自主预习
1.请举出几个生活中给我们角的形象的物体，根据你对角的理解，画出几个不同形状的角并指出角的两边是什么图形
2.指出图中的角的顶点和边，并用三种方法表示该角．
3.度、分、秒是常用的角的度量单位，它们之间的互化方法与时间单位间的互化方法类似，请你完成下列各题．
(1)1.45°等于多少分 等于多少秒
(2)900″等于多少分 等于多少度
课堂探究
探究一 角的概念和表示
1.有 的两条 组成的图形叫做角. ___ ____叫角的顶点，
叫角的边.
2.下面三个角各可以如何表示？写在对应角的下面.
3.角也可以看作由 绕着它的 旋转而形成的图形.如图，射线绕点旋转，当终止位置和起始位置 时，
形成的角是平角；继续旋转，和重合时，形成的角是 .
归纳：
（1）用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在 _____ .(2) 用一个大写字母表示角时，必须顶点处只有 个角.(3)用数字或希腊字母表示角时，必须在相应角的内部加弧线及数字（或希腊字母）.
探究二 角的度量及转换
1.度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是 的角，记作；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作 ；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角， 记作 .
2.1周角= °，1平角= °，
1°= ′， 1′= ″.
的度数是49度20分24秒，记作= .
3.()°= ′= ″；
5760″= ′= °．
归纳：
度、分、秒的转化是___进制，由度化分，由分化秒，需乘以___；由秒化分，由分化度，只要除以___即可．
重点题型
题型 角的表示
1.写出图中：
（1）能用一个字母表示的角；
（2）以B为顶点的角；
（3）图中共有几个角？
2.以点O为端点引4条射线，此时图中共有多少个角？怎样表示？
题型二 度、分、秒之间的换算
1.0.75°= ′= ″，
34.37°= ° ′ ″.
2.1 800″= °，39°36′= °
随堂训练
1．若∠α=30°18′，∠β=30.18°，∠γ=30.3°，则下列结论正确的是 ( )
A．∠α=∠β B．∠α=∠γ
C．∠β=∠γ D．∠α、∠β、∠γ互不相等
2.在钟表上，8时整，时针与分针所成的角是 ；l时30分时，时针与分针所成的角是 ．
3．根据下列语句画图：
(1)画∠AOB=80°； (2)在∠AOB的内部画射线OC，使∠BOC=60°； (3)在∠AOB的外部画射线OD，使∠DOA=30°.
4.角的运算
（1）23°31′25″+42°27′56″；
（2）42°31′56″-23°37′;
（3）23°31′25″×3.
能力提升
如图以O为端点的射线共4条，其中任一条射线与其他3条射线都必构成一个角(小于平角的角)，这样，可得4×3个角，但这些角中，每一个角都重复了一次，所以4条射线共组成角的个数为=6．
同理，如果从O点引5条射线(每两条射线不在同一直线上)，那么以这个点为顶点的角的个数为 个；
如果从O点引n条射线(每两条射线不在同一直线上)，那么以这个点为顶点的角的个数为 多少个？你能解释其中的道理吗
数学广角
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
第四章 几何图形初步
4.3.2 角的比较与运算
学习目标
1.会比较角的大小，理解两个角的和、差的意义.
2.掌握角平分线的概念；能够利用角平分线的定义来解决相关的计算问题.
自主预习
1.如何比较两条线段的大小 那么，你能比较两个角的大小吗 如图，已知∠ABC和∠DEF，试一试．
2.如图，回答下列问题：
(1)图中有多少个角 请你表示出这些角之间的关系；
(2)若∠AOB=120°，∠AOC=26°8′，求∠BOC的度数．
3.在透明纸上画一个∠AOB，如图，沿着顶点对折，使角的两边重合，折痕为0C，回答下列问题：
(1)用式子表示出∠AOB、∠AOC和∠BOC的数量关系；
(2)射线OC叫做什么
(3)若∠AOB=45°3′，求∠AOC的度数．(精确到分)
课堂探究
探究一 分类讨论解决角的和差问题
1.已知∠AOB =80°，∠AOC=40°，求∠BOC的度数.
问题1：按照题意画出图形;
问题2：∠AOB与∠AOC有怎样的位置关系；
问题3：∠AOB 、∠AOC和∠BOC之间有怎样的数量关系？
探究二 角平分线及性质
1.结合图形，说明什么是角平分线？
2.OC是∠AOB的角平分线，∠AOC、∠BOC与∠AOB之间有什么关系？
3.若∠AOC=∠BOC，则OC是角平分线吗？若∠AOC=∠AOB，则OC是角平分线吗？
4.什么是角的三等分线？按下图说明.
重点题型
题型一 角的和差
1.已知∠AOB=120°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数．
题型二 角平分线
2．如图所示，OC是∠AOB平分线， 0D 平分∠AOC，且∠AOB=98°，
则∠COD为 ( )
A．24°30′ B．24°5 ′
C．2° D．30°
3.已知：如图，∠AOB=130°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.求∠EOF的度数.
随堂训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.两条射线就是一个周角
B.一条射线就是一个周角
C.角的两边越长，角就越大
D.一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形叫做角
2.用放大5倍的放大镜看l0°的角，观察到的角的度数为 ( )
A.10° B.50° C.2° D.以上都不对
3.小亮利用星期天进行社会调查活动，早晨8：00出发， 中午12：30到家，问小亮到家时时针和分针的夹角为 ( )
A.85° B.150° C.180° D.165°
4.点D在∠AOB的内部，下列等式不能表示0D是角平分线的等式是 ( )
A．∠AOD=∠BOD B．∠AOD=∠BOD
C．∠AOD=∠AOB D．∠AOB=2∠BOD
5．计算：
(1)20°17′×6； (2)156°33′÷5．
6．用三角板画出105°，l35°的角．
能力提升
如图所示，0是直线AC上一点，0B是一条射线，OD平分∠AOB，0E在∠BOC内，∠BOE=∠E0C，∠DOE=70°，求∠EOC．
中考链接
1.(2012·广州)已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=________度.
2.（2012·北京）如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
数学广角
1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟，他就离开了人世。数学史上最年轻、最有创造性的头脑停止了思考。人们说，他的死使数学发展推迟了好几十年。这个青年就是死时不满21岁的伽罗华。
第四章 几何图形初步
4.3.3 余角和补角
学习目标
1.认识一个角的余角和补角.
2.掌握余角和补角的性质.
3.了解方位角，能确定具体物体的方位，进一步渗透数形结合的思想.
自主预习
1.如果两个角的和是__________，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的_____.
2.如果两个角的和是__________，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的_____.
3．填下列表：
∠a ∠a的余角 ∠a的补角
45°
77°
62°2′
x°
结论：同一个锐角的补角比它的余角大_______.
4．和都是的补角，则__.
5.如果，则的关系 ，理由是 .
6．在点O 北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（ ） A. 100° B. 70° C. 180° D. 140°
课堂探究
探究一 余角和补角的定义及性质
1.画一个直角∠AOB和一个平角∠CPD，分别过两个角的顶点画射线ON、PM.
2.射线将直角和平角分成几部分？它们的度数关系如何？
3.将两个角拉开，它们的度数关系有变化吗？这说明什么问题？
归纳：
互为余角、互为补角的概念.
4.如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
归纳：
余角的性质：
5.如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠2= ∠3，那么∠1与∠4相等吗？为什么？
归纳:
补角的性质：
探究二 方位角
1.什么是方位角？
2.平面图形上的方向是怎么规定的？
3.在方位角的表示中把什么方向写在前，把什么方向写在后？
4.如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
重点题型
题型一 余角和补角的概念
1.若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数.
题型二 余角和补角的性质
2.点 A、O、B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠COB，图中哪些角互为余角？
题型三 方位角应用
3.从A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方
向是（ ）
A．南偏东69° B.南偏西69°
C.南偏东21° D.南偏西21°
随堂训练
1.52°24′的余角是_______，补角是________．
2.射线OA方向是东北方向，射线OB方向是北偏西60°，则∠AOB度数是______．
3.己知∠α与∠β互余，且∠α=150 ，则∠β的补角为 度.
4.下列正确的有 （ ）
⑴一个角的补角一定是钝角;⑵互补的两个角不可能相等;⑶若∠A+∠B+∠C=90 ，则∠A+∠B是∠C的余角;⑷∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角;⑸两个锐角一定互为余角;⑹直角没有补角，⑺如果∠MON=180 ,那么M、O、N三点在一条直线上.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 和北偏西40°的射线OA组成平角AOB的射线OB是 （ ）
A．南偏东40°的射线 B．南偏东50°的射线
C．南偏东60°的射线 D．东南方向的射线
6.已知有一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，且∠AOB＝72°，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数是 ( )
A.36° B.108° C.72°或36° D.36°或108°
7.如图，∠AOC＝∠COB＝90°，∠DOE＝90°，A、O、B三点在一直线上
（1）写出∠COE的余角，∠AOE的补角；
（2）找出图中一对相等的角，并说明理由 .
能力提升
已知：如下图，点A、O、B在同一直线上，∠1与∠2互余，OE、OF分别是∠AOC、∠AOD的平分线，求∠EOF的度数．
中考链接
1.（2012·江苏泰州）已知∠α的补角是130°，则∠α= 度．
2.（2012·江西）如图 所示，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（ ）
A． 南偏西60° B．南偏西30°
C．北偏东60° D．北偏东30°
数学广角
牛顿是举世公认的、有史以来最伟大的科学家之一。23毕业于著名的剑桥大学后留校工作。后因逃避伦敦流行的鼠疫来到母亲的农场里。在这里，他被一个常人熟视无睹的现象吸引住了。有一次，他看到一个熟透了的苹果落在地上，便开始思索为什么苹果会垂直落在地上，而不是飞到天上去呢？一定是有一种力在拉它，那么这种将苹果往下拉的力会不会控制月球？他就是通过这个看起来十分简单的现象，发现了著名的万有引力
●
建
设
和
谐
沂
南
z
x
y
A
B
a
b
A
B
(1)
(2)
(3)
A
B
C
A
A
B
B
C
C
a
b
4.1.1 立体图形与平面图形 (第1课时)
学习目标
1.通过观察生活中的大量图片或实物，体验、感受、认识生活中的事物为原型的几何图形，认识一些简单几何体的基本特性，能识别这些几何体.
2.能由事物形状想象出几何图形，由几何图形想象出事物形状，进一步丰富对几何图形的感性认识.
自主预习
观察图形： (1) 粉笔盒 (2) 茶叶桶 (3) 足球 (4) 交通标志.回答下列问题:
(1) (2) (3) (4)
(1) 请从中找出我们熟悉的几何图形，归纳一下我们常见的几何图形有哪些？
(2) 你能把(1)题中的几何图形按立体图形与平面图形分类吗？生活中还有哪些物体的形状类似于这些几何图形？
课堂探究
探究一 几何图形
1.观察纸盒外形并填空：
从整体上看，它的形状是______ ；看不同的侧面，得到的是______或______ ；看棱得到的是 ______ ；看顶点得到的是______
2.研究几何图形的内容是什么？
探究二 立体图形
1.举例说明什么是立体图形.
2.下图中的实物形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来.
归纳：
常见的立体图形，并指出各部分的名称及特征.
柱体： （2）椎体：
（3）台体： （4）球体
探究三 平面图形
举例说明什么是平面图形.
归纳：常见的平面图形：
（1）点； （2）线：直线、射线、线段；
（3）三角形 （4）四边形：正方形、长方形、平行四边形、梯形 （5）圆、扇形
重点题型
题型 立体图形的识别
1.下列判断正确的有 （ ）
①正方体是棱柱，长方体不是棱柱；②正方体是棱柱，长方体也是棱柱；③正方体是柱体，圆柱也是柱体；④正方体不是柱体，圆柱是柱体.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.写出下列立体图形的名称：
随堂训练
1.对于一个物体，数学中关注的是 ( )
A.材料,颜色 B.做工,美观
C.形状,大小 D.质量,价值
2.棱柱的侧面都是 （ ）
A.三角形 B.长方形 C.五边形 D.菱形
3.圆锥的侧面展开图是 （ ）
A.长方形 B.正方形 C.圆 D.扇形
4.请在下图所示的图形下面的横线上写出它们的名称.
_______ _______ _______ _______
5.下面几种图形： ①三角形;②长方形;③正方体;④圆;⑤圆锥;⑥圆柱。其中属于立体图形的是________________.(填上序号即可)
6.下列图形中主要是由哪些简单的图形组成的？
能力提升
1.先将下列几何图形分为两类，再对每一类进行分类，并说明你分类的理由.
2.请用直线、线段、三角形、圆这几种图形设计成表现客观事物的图画，并为你的图画命名.(每幅图可以用一种、两种或三种基本图形，但总数不得超过三个).
数学广角
“欧氏几何”…几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
第四章 几何图形初步
4.1.1立体图形与平面图形 (第2课时)
学习目标
1.能画出从不同方向看一些基本几何体以及它们
的简单组合得到的平面图形.
2.直观认识立体图形和展开图，了解研究立体图形的方法.
3.通过观察和动手操作，经历和体验平面图形和立
体图形相互转化的过程，初步建立空间观念，发
展几何直观.
自主预习
我们从不同的角度、不同的方向去观察同一物体
时，看到的图像一定一样吗？请举出生活中从不
同方向观察同一对象的实例.你能用一首诗句描
述这种现象吗？
准备一个包装盒（形状不限），沿着边剪开、铺
平， 看看它的展开图是由哪些平面图形组成的，再把展开的纸板复原，你有什么体会？
课堂探究
探究一 从不同的方向看物体
1.从不同的方向看物体是指从哪些方向？
2.下图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？你能画出来吗？
归纳：
几种常见几何体，分别从正面、左面、上面看到的平面图形：
探究二 立体图形的展开图
1.下面的图形是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否一样？
2.画出正方体的展开图.
归纳：
不是所有的立体图形都有展开图，如球；
由立体图形的展开图可识别出立体图形的形状，具体方法是：展开图中有圆，一般考虑圆柱或圆锥；展开图中有三角形，一般考虑棱柱或棱锥；展开图中有长方形或正方形，一般考虑棱柱；
正方体的展开图：
重点题型
题型一 从不同方向看集合体
1.桌上放着一个球和一个圆柱，下面a、b、c、d、e这五幅图分别是从什么方向看到的？题型二 简单几何体的展开图
2.一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）
A．和 B．谐
C．沂 D．南
随堂训练
一个几何体从正面看、左面看、上面看都是正
方形，则这个立体图形是 .
2.从不同方向看到的一立体图形如图所示，那么
这个立体图形是 .
3.一个正方体中，截去一个小正方体的立体图如图所示，从左面观察这个图形，得到的平面图形是 （ ）
4.如图所示的物体，从左面看得到的图是（ ）
A B C D
5.下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以
围成一下直三棱柱的是 ( )
A B C D
6.下图中不是正方体的表面展开图的是 （ ）
A B C D
7.分别从正面、左面、上面观察三棱柱和四棱锥,
看一看各能得到什么平面图形
能力提升
1.下面是一些立体图形的展开图，用它们能围 成什么样的立体图形？
2.正方体展开图如下，原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 ．
数学广角
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成，组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料，蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极少。
第四章 几何图形初步
4.1.2 点、线、面、体
学习目标
1.通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、体的几何特征，感受它们之间的关系.
2.培养操作、观察、分析、猜测和概括等能力，同时渗透转化、化归、变换的思想.
自主预习
1.观察你使用的数学课本，它有几个面？面与面相交的地方形成了几条线？线与线相交成几个点？总结点、线、面、体的关系，并举出生活中另外一些实例说明这一关系.
2.找出生活中包含平面、曲面、直线、曲线、点的例子.
注意：
点、线、面是够成几何图像的基本元素，几何中点无大小（点是位置的标志），线无粗细，面无厚薄.
课堂探究
探究一 点、线、面、体
1.几何图形是由什么组成的？什么是构成图形的基本元素？
2.观察图形填空：
这是一个长方体模型，围成它的有 个面， 面与面相交的地方形成了 条线，线与线相交成 个点.
这是一个圆柱模型，围成它的有 个面， 面与面相交的地方形成了 条线.与长方体有 何不同？
归纳：
体是 围成的，面有 也有 ；面与面相交形成 ，线有 也有 ；线与线相交形成 ，点没有 ___________之分.
3.笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么图形？想一想，从中你又有何发现？请用最简练的语言概括你的发现.
4.汽车雨刷可以看作一条线，它在挡风玻璃上来回摆动时有什么现象？
5.点动成线，线动成面.那么请同学们想一想，当面运动时会形成什么图形？如何验证你的猜想？
探究二 由平面图形旋转而成的立体图形
如图上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来
重点题型
如图上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来
随堂训练
1.请你用学到的数学知识解释下列现象：流星从空中划过留下的痕迹，说明了 .车轮转动时，看起来像一个整体的圆面，这说明了 .一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了
2.如图所示的几何体由 个面围成，面与
面相交有 条线，直的线有 条，曲的
线有 _______条.
3.四棱锥有 个面，面与面相交形成了 ________条棱，这些棱相交形成了 个点.
4.将长方形按图中所示的四种方法旋转，能得到圆柱体是 _____.
5.如图，用第一行的图形绕轴旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，请你用线连一连.
6.如图所示，要给这个长，宽，高分别为xcm，ycm，zcm的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要多少？（用含x，y，z的代数式表示）
能力提升
现有一个长为8cm，宽为6cm的长方形，分别绕它的长、宽所在直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多少？（结果用π表示）.
数学广角
谜语“千条线万条线，落在水里看不见”，你能用数学知识解释这一现象吗？
第四章 几何图形初步
4.2直线、射线、线段（第1课时）
学习目标
1．认识直线、射线、线段的区别与联系，逐步掌握他们的表示方法.
2．结合实例，了解两点确定一条直线的基本事实，并逐步应用.
3．能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形，在图形的基础上发展数学语言．
自主预习
1.硬纸条固定在硬板上至少需要几颗图钉？若将图钉抽象为点，纸条抽象成直线，你能得到什么结论？请画图说明．
2.如何表示直线、射线、线段.
3.怎样由图中的线段得到一条射线或一条直线．
课堂探究
探究一 直线公理
1.经过一点能画几条直线？经过两点能画几条直线？如下图画一画试一试.
归纳：
经过一点可以画____条直线；经过两点有___直线，并且_____直线（即两点确定一条直线）.
探究二 直线、射线、线段的定义及表示
1.如图，直线有几种表示方法？如何表示？
2.如图，射线有几种表示方法？如何表示？
3.如图，线段有几种表示方法？如何表示？
4.在直线、射线、线段的表示法中，为什吗用两个大写字母表示？
归纳：
名称 不同点 联 系
图形 延伸方向 端点个数 度量
直线
射线
线段
5.用几何语言描述下列图形.
归纳：
点与直线有什么位置关系？
重点题型
题型一 按要求画图
1.如图平面上有四点A、B、C、D，按下列语句画图：
如图平面上有四点A、B、C、D (1)画直线AB、射线BC与线段DC；
(2)延长CD与直线AB相交于点E；
(3)画线段AC、BD交于点F；
(4)连接AD，并使其反向延长与射线CB交于点G．
题型二 射线、线段的条数的确定
2.根据图形，确定直线上射线和线段的条数，并归纳结论.
随堂训练
1.点与直线的位置关系有两种，分别是_________和__________．
2.用枪瞄准射击时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为 _______________．
3.下列说法：①直线的一半是射线；②射线AB和射线BA是同一条射线；③线段AB与线段BA是同一条线段；④直线AB和直线BA是同一条直线；⑤一条直线上一点把这条直线分成两条射线，其中正确的是________(填上序号即可)．
4.下列写法中正确的是 （ ）
A．直线a、b相交于点n
B.直线AB、CD相交于点M
C.直线ab、cd相交于点M
D．直线AB、ＣＤ相交于ｍ
5.如图，在直线上依次有五个点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ，则图中射线的条数为 （ ）
Ａ．２条 Ｂ．１０条 Ｃ．５条 Ｄ．４条
６.如图，点Ａ、Ｂ、Ｃ是直线ｍ上的三个点，图中共有线段的条数是 （ ）
Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．４条
７.下列语句正确的是 （ ）
Ａ．画直线ＡＢ＝１０厘米
Ｂ．延长射线ＯＡ
Ｃ．画射线ＯＢ＝３厘米
Ｄ．延长线段ＡＢ到点Ｃ，使ＢＣ＝ＡＢ
８.在直线ｍ上有Ａ、Ｂ、Ｃ三点，下列说法正确的有 （ ）
①射线ＡＢ与射线ＢＣ是同一条射线；②直线ＡＢ经过点Ｃ；③射线ＡＢ与射线ＡＣ是同一条射线；④直线ＡＢ与直线ＢＣ是同一条直线．
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
能力提升
平面上有三点A、B、C，过其中每两点画直线，一共可画几条？四点呢？n个点呢？试画图说明．
数学广角
几何发展史
几何， 是由希腊文演变而来，其原意是土地测量。是埃及人创造的，并且产生于土地测量。由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这样测量变成了必要的工作。无可置疑的，这类科学和其它科学一样，都发生于人类的需要。”明代徐光启（1562~1633）和天主教耶酥会传教士利玛窦翻译欧几里得的《几何原本》时将Geometry一词译为几何学。
第四章 几何图形初步
4．2直线、射线、线段（第2课时）
学习目标
1.会画一条线段等于已知线段．
2.结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的意义．
3.理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离．
自主预习
1.任意画线段，怎样再画一条与线段长度相等的线段
2.阅读课本，利用下图中的已知线段，分别画线段，线段，并谈谈你对线段的中点、三等分点、四等分点的认识．
课堂探究
探究一 线段的比较与和差
1.已知一条线段a，怎样画一条线段AB，使AB=a,动手画一画.
2.有两条线段，你能判断一下它们的长短吗？你有什么方法来验证你的判断？
归纳：
比较两条线段的方法：
3.已知线段a和b（a>b），怎样画一条线段AC=a+b 怎样画一条线段AD=a-b？动手画一画.
探究二 线段的中点、三等分点
1.什么是线段的中点？
2.线段的中点具有什么性质？
3.若AM=BM，则M是AB的中点吗？若AM=AB，BM=AB，则点M是AB的中点吗？
4.什么是线段的三等分点？具有什么性质？
探究三 线段的性质及两点的距离
1.如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？
如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短线路.
归纳：
由问题1，你能得到什么结论？
2.什么叫两点的距离？
重点题型
题型一 线段间的数量关系及计算
1.如图所示，为线段的中点，为线段的中点，,求的长．
题型二 两点间距离
2.若点在线段上，=8cm,=5cm,,则,两点间的距离是（ ）
A．3cm B．13cm
C．3cm或13cm D．不确定
随堂训练
1.估计下列图形中、AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验你的估计.
2. 如图所示，已知线段，， 画一条线段，使它等于．
3.如图所示，点C是AB的中点，点D是BC的
点，则下列表达式：① ；②；③；④，其中正确的是______．(填上序号)
4.如图所示，已知，是的中点，，求,, 长．
能力提升
如图，线段，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，小华据此轻松地求得．他在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上，原有的结论“”是否依然成立？请帮小华画出图形并说明理由．
数学广角
蜗牛何时爬上井？
一只蜗牛不小心掉进了一口10米深的枯井里，它决心爬出去。它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了5米。心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。”想着想着，它不知不觉地睡着了。早上，蜗牛发现睡着以后从井壁上滑下来4米。蜗牛叹了一口气，咬紧牙又开始往上爬。到了傍晚又往上爬了5米，可是晚上蜗牛又滑下4米。爬呀爬，最后坚强地蜗牛终于爬上了井台。小朋友你能猜出来，蜗牛需要
用几天时间就能爬上井台吗？
第四章 几何图形初步
4.3.1 角
学习目标
1.理解角的定义和相关概念，用运动的观点理解角、平角、周角等概念，掌握角的表示方法.
2.掌握角的度量及度量单位之间的转化.
自主预习
1.请举出几个生活中给我们角的形象的物体，根据你对角的理解，画出几个不同形状的角并指出角的两边是什么图形
2.指出图中的角的顶点和边，并用三种方法表示该角．
3.度、分、秒是常用的角的度量单位，它们之间的互化方法与时间单位间的互化方法类似，请你完成下列各题．
(1)1.45°等于多少分 等于多少秒
(2)900″等于多少分 等于多少度
课堂探究
探究一 角的概念和表示
1.有 的两条 组成的图形叫做角. ___ ____叫角的顶点，
叫角的边.
2.下面三个角各可以如何表示？写在对应角的下面.
3.角也可以看作由 绕着它的 旋转而形成的图形.如图，射线绕点旋转，当终止位置和起始位置 时，
形成的角是平角；继续旋转，和重合时，形成的角是 .
归纳：
（1）用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在 _____ .(2) 用一个大写字母表示角时，必须顶点处只有 个角.(3)用数字或希腊字母表示角时，必须在相应角的内部加弧线及数字（或希腊字母）.
探究二 角的度量及转换
1.度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是 的角，记作；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作 ；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角， 记作 .
2.1周角= °，1平角= °，
1°= ′， 1′= ″.
的度数是49度20分24秒，记作= .
3.()°= ′= ″；
5760″= ′= °．
归纳：
度、分、秒的转化是___进制，由度化分，由分化秒，需乘以___；由秒化分，由分化度，只要除以___即可．
重点题型
题型 角的表示
1.写出图中：
（1）能用一个字母表示的角；
（2）以B为顶点的角；
（3）图中共有几个角？
2.以点O为端点引4条射线，此时图中共有多少个角？怎样表示？
题型二 度、分、秒之间的换算
1.0.75°= ′= ″，
34.37°= ° ′ ″.
2.1 800″= °，39°36′= °
随堂训练
1．若∠α=30°18′，∠β=30.18°，∠γ=30.3°，则下列结论正确的是 ( )
A．∠α=∠β B．∠α=∠γ
C．∠β=∠γ D．∠α、∠β、∠γ互不相等
2.在钟表上，8时整，时针与分针所成的角是 ；l时30分时，时针与分针所成的角是 ．
3．根据下列语句画图：
(1)画∠AOB=80°； (2)在∠AOB的内部画射线OC，使∠BOC=60°； (3)在∠AOB的外部画射线OD，使∠DOA=30°.
4.角的运算
（1）23°31′25″+42°27′56″；
（2）42°31′56″-23°37′;
（3）23°31′25″×3.
能力提升
如图以O为端点的射线共4条，其中任一条射线与其他3条射线都必构成一个角(小于平角的角)，这样，可得4×3个角，但这些角中，每一个角都重复了一次，所以4条射线共组成角的个数为=6．
同理，如果从O点引5条射线(每两条射线不在同一直线上)，那么以这个点为顶点的角的个数为 个；
如果从O点引n条射线(每两条射线不在同一直线上)，那么以这个点为顶点的角的个数为 多少个？你能解释其中的道理吗
数学广角
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
第四章 几何图形初步
4.3.2 角的比较与运算
学习目标
1.会比较角的大小，理解两个角的和、差的意义.
2.掌握角平分线的概念；能够利用角平分线的定义来解决相关的计算问题.
自主预习
1.如何比较两条线段的大小 那么，你能比较两个角的大小吗 如图，已知∠ABC和∠DEF，试一试．
2.如图，回答下列问题：
(1)图中有多少个角 请你表示出这些角之间的关系；
(2)若∠AOB=120°，∠AOC=26°8′，求∠BOC的度数．
3.在透明纸上画一个∠AOB，如图，沿着顶点对折，使角的两边重合，折痕为0C，回答下列问题：
(1)用式子表示出∠AOB、∠AOC和∠BOC的数量关系；
(2)射线OC叫做什么
(3)若∠AOB=45°3′，求∠AOC的度数．(精确到分)
课堂探究
探究一 分类讨论解决角的和差问题
1.已知∠AOB =80°，∠AOC=40°，求∠BOC的度数.
问题1：按照题意画出图形;
问题2：∠AOB与∠AOC有怎样的位置关系；
问题3：∠AOB 、∠AOC和∠BOC之间有怎样的数量关系？
探究二 角平分线及性质
1.结合图形，说明什么是角平分线？
2.OC是∠AOB的角平分线，∠AOC、∠BOC与∠AOB之间有什么关系？
3.若∠AOC=∠BOC，则OC是角平分线吗？若∠AOC=∠AOB，则OC是角平分线吗？
4.什么是角的三等分线？按下图说明.
重点题型
题型一 角的和差
1.已知∠AOB=120°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数．
题型二 角平分线
2．如图所示，OC是∠AOB平分线， 0D 平分∠AOC，且∠AOB=98°，
则∠COD为 ( )
A．24°30′ B．24°5 ′
C．2° D．30°
3.已知：如图，∠AOB=130°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.求∠EOF的度数.
随堂训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.两条射线就是一个周角
B.一条射线就是一个周角
C.角的两边越长，角就越大
D.一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形叫做角
2.用放大5倍的放大镜看l0°的角，观察到的角的度数为 ( )
A.10° B.50° C.2° D.以上都不对
3.小亮利用星期天进行社会调查活动，早晨8：00出发， 中午12：30到家，问小亮到家时时针和分针的夹角为 ( )
A.85° B.150° C.180° D.165°
4.点D在∠AOB的内部，下列等式不能表示0D是角平分线的等式是 ( )
A．∠AOD=∠BOD B．∠AOD=∠BOD
C．∠AOD=∠AOB D．∠AOB=2∠BOD
5．计算：
(1)20°17′×6； (2)156°33′÷5．
6．用三角板画出105°，l35°的角．
能力提升
如图所示，0是直线AC上一点，0B是一条射线，OD平分∠AOB，0E在∠BOC内，∠BOE=∠E0C，∠DOE=70°，求∠EOC．
中考链接
1.(2012·广州)已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=________度.
2.（2012·北京）如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
数学广角
1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟，他就离开了人世。数学史上最年轻、最有创造性的头脑停止了思考。人们说，他的死使数学发展推迟了好几十年。这个青年就是死时不满21岁的伽罗华。
第四章 几何图形初步
4.3.3 余角和补角
学习目标
1.认识一个角的余角和补角.
2.掌握余角和补角的性质.
3.了解方位角，能确定具体物体的方位，进一步渗透数形结合的思想.
自主预习
1.如果两个角的和是__________，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的_____.
2.如果两个角的和是__________，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的_____.
3．填下列表：
∠a ∠a的余角 ∠a的补角
45°
77°
62°2′
x°
结论：同一个锐角的补角比它的余角大_______.
4．和都是的补角，则__.
5.如果，则的关系 ，理由是 .
6．在点O 北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（ ） A. 100° B. 70° C. 180° D. 140°
课堂探究
探究一 余角和补角的定义及性质
1.画一个直角∠AOB和一个平角∠CPD，分别过两个角的顶点画射线ON、PM.
2.射线将直角和平角分成几部分？它们的度数关系如何？
3.将两个角拉开，它们的度数关系有变化吗？这说明什么问题？
归纳：
互为余角、互为补角的概念.
4.如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
归纳：
余角的性质：
5.如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠2= ∠3，那么∠1与∠4相等吗？为什么？
归纳:
补角的性质：
探究二 方位角
1.什么是方位角？
2.平面图形上的方向是怎么规定的？
3.在方位角的表示中把什么方向写在前，把什么方向写在后？
4.如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
重点题型
题型一 余角和补角的概念
1.若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数.
题型二 余角和补角的性质
2.点 A、O、B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠COB，图中哪些角互为余角？
题型三 方位角应用
3.从A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方
向是（ ）
A．南偏东69° B.南偏西69°
C.南偏东21° D.南偏西21°
随堂训练
1.52°24′的余角是_______，补角是________．
2.射线OA方向是东北方向，射线OB方向是北偏西60°，则∠AOB度数是______．
3.己知∠α与∠β互余，且∠α=150 ，则∠β的补角为 度.
4.下列正确的有 （ ）
⑴一个角的补角一定是钝角;⑵互补的两个角不可能相等;⑶若∠A+∠B+∠C=90 ，则∠A+∠B是∠C的余角;⑷∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角;⑸两个锐角一定互为余角;⑹直角没有补角，⑺如果∠MON=180 ,那么M、O、N三点在一条直线上.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 和北偏西40°的射线OA组成平角AOB的射线OB是 （ ）
A．南偏东40°的射线 B．南偏东50°的射线
C．南偏东60°的射线 D．东南方向的射线
6.已知有一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，且∠AOB＝72°，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数是 ( )
A.36° B.108° C.72°或36° D.36°或108°
7.如图，∠AOC＝∠COB＝90°，∠DOE＝90°，A、O、B三点在一直线上
（1）写出∠COE的余角，∠AOE的补角；
（2）找出图中一对相等的角，并说明理由 .
能力提升
已知：如下图，点A、O、B在同一直线上，∠1与∠2互余，OE、OF分别是∠AOC、∠AOD的平分线，求∠EOF的度数．
中考链接
1.（2012·江苏泰州）已知∠α的补角是130°，则∠α= 度．
2.（2012·江西）如图 所示，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（ ）
A． 南偏西60° B．南偏西30°
C．北偏东60° D．北偏东30°
数学广角
牛顿是举世公认的、有史以来最伟大的科学家之一。23毕业于著名的剑桥大学后留校工作。后因逃避伦敦流行的鼠疫来到母亲的农场里。在这里，他被一个常人熟视无睹的现象吸引住了。有一次，他看到一个熟透了的苹果落在地上，便开始思索为什么苹果会垂直落在地上，而不是飞到天上去呢？一定是有一种力在拉它，那么这种将苹果往下拉的力会不会控制月球？他就是通过这个看起来十分简单的现象，发现了著名的万有引力
●
建
设
和
谐
沂
南
z
x
y
A
B
a
b
A
B
(1)
(2)
(3)
A
B
C
A
A
B
B
C
C
a
b