5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件（共25张PPT）

5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
填一填
(0,1)
(0,-1)
新知探索
如图，设点????(????,????)是角????的终边与单位圆的交点.过????作????轴的垂线，交????轴于????，则?????????????是直角三角形，而且????????=1.
由勾股定理有：????????2+????????2=1.因此，????2+????2=1，即
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显然，当????的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
?
根据三角函数的定义，当????≠????????+????2(????∈????)时，有：
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????????????????????+????????????????????=????.
?
??????????????????????????????????=?????????????????.
?
这就是说，同一个角????的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角????的正切.
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平方关系
商数关系
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.

同角三角函数的基本关系
思考：“同角”一词的含义是什么？
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠????????＋kπ(k∈Z)成立.
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?
辨析1:判断正误.
(1)对任意角????，????????????23????+????????????23????=1都成立.( )
(2)对任意角????，?????????????????2?????????????????2=?????????????????2都成立.( )
(3)因为????????????29????4+????????????29????4=1，所以????????????2????+????????????2????=1成立，其中????、????为任意角.( )
(4)对任意角????，?????????????????=???????????????????????????????????都成立.( )
?
√
×
×
×
平方关系
商数关系

变形

变形
思考：对于平方关系 可作哪些变形？
题型一 三角函数求值
2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法


(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．


(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
题型二 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用
三角函数求值中常见的变形公式

(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，
它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；
(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.

(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．
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题型三 三角函数式的化简与证明
1.利用同角三角函数关系化简的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.
2.简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
当sinα>0时，原式＝1；
当sinα<0时，原式＝－1.
1.同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
课堂小结
3.已知tanα，求sinα，cosα
2.已知sinα（或cosα）求其它
4.注意分象限讨论
课堂小结
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)优化方案P132的练习