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整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
一、完全平方公式
（1）完全平方公式：
符号语言： （a＋b）2=a2＋2ab＋b2 （a－b）2=a2－2ab＋b2
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）他们的积的2倍。 如图所示：
二、运用完全平方公式，应注意以下几个问题：
（1） 记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍在中央”
（2） 要明确是两数和的平方还是两数差的平方，“2倍之积项”的符号不要出错；
（3） 等式右侧：是三项（不要漏项）。
示例：
三、添括号法则
符号语言：a＋b＋c=a＋(b＋c)；a－b－c=a－(b＋c).
文字语言：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
[命题角度1] 完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
【例1】利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
【类型二】 构造完全平方式
【例2】 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【类型三】 运用完全平方公式进行简便运算
【例3】利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.
方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
[命题角度2] 完全平方公式的应用
【类型四】 利用完全平方公式化简求值
【例4】先化简，再求值：(2a＋1)2－4a(a－1)，其中a=。
解析：利用完全平方公式展开(2a＋1)2，利用单项式与多项式相乘展开4a(a－1)，两式相减得到最简结果，再代入求值。
解：原式=4a2＋4a＋1－4a2＋4a=8a＋1。当a=时，原式=8×＋1=2。
方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟练掌握公式，将式子进行化简，要注意符号等问题。
【类型五】 完全平方公式的几何解释
【例5】（数形结合思想）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.解答：C.
方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
【类型六】 利用完全平方公式解方程（组）或不等式（组）
【例6】解不等式：(3x－1)2＋(2x－1)2>13(x－1)(x＋1)
解析：根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，然后化简，解不等式即可
解答：(3x－1)2＋(2x－1)2>13(x－1)(x＋1)
去括号，得9x2－6x＋1＋4x2－4x＋1>13x2－13
移项、合并同类项，得－10x>－15
系数化为1，得x<
方法总结：此类问题主要利用乘法公式化简方程或不等式，将其化为一元一次方程或一元一次不等式（组）求解。
【类型七】 利用完全平方公式的变形求值
【例7】已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代数式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；
(2)∵(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋[(x－y)2－z2]－xz－yz＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＋x2＋y2－xy－z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20.
方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy.
[命题角度3] 添括号后运用完全平方公式
【类型八】利用添括号法则求值
【例8】 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则．
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.
方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a±b)2的形式．注意a，b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．
1.已知2x－3y2=4，则10－2x＋3y2的值为（ A ）
A.6 B.4 C.2 D.－2
2.请你观察下图，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（ B ）
A.(x＋y)(x－y)=x2－y2 B.(x＋y)2=x2＋2xy＋y2
C.(x－y)2=x2－2xy＋y2 D.(x＋y)2=x2＋xy＋y2
3.计算：（1）(a－m＋2n)2； （2）(2x－3－y)(2x－y＋3)
解：（1）原式=[(a－m)＋2n]2
=(a－m)2＋4n(a－m)＋4n2
=a2－2am＋m2＋4an－4mn＋4n2；
（2）原式=[(2x－y)－3][(2x－y)＋3]
=(2x－y)2－9
=4x2－4xy＋y2－9
4.解方程：（1）(x＋1)(x－1)＋2x(x＋2)=3(x＋1)2
（2）求不等式(x＋1)2－x(x＋3)－2<0的最小整数解。
解：（1）(x＋1)(x－1)＋2x(x＋2)=3(x＋1)2
x2－1＋2x2＋4x=3x2＋6x＋3，
4x－6x=3＋1，
－2x=4，
x=－2。
（2）(x＋1)2－x(x＋3)－2<0
x2＋2x＋1－x2－3x－2<0，
－x<1，
x>－1，
所以不等式的最小整数解是0，故答案为：0.
5.先化简，再求值：2b2＋(a＋b)(a－b)－(a－b)2，其中a=－3，b=。
解：原式=2b2＋a2－b2－(a2＋b2－2ab)
=2b2＋a2－b2－a2－b2＋2ab=2ab，
当a=－3，b=时
原式=2ab=2×(－3)×=－3。
6.观察下列关于自然数的等式：
①32－4×12=5；
②52－4×22=9；
③72－4×32=13；
……
根据上述规律解决下列问题：
（1）请仿照①②③，直接写出第4个等式；
（2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明该等式成立。
解：（1）第4个等式：92－4×42=17
（2）猜想第n个等式为(2n＋1)2－4n2=4n＋1
证明如下：
∵左边=4n2＋4n＋1－4n2=4n＋1，右边=4n＋1，
∴左边=右边，
∴该等式成立。
7.在公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2中，如果我们把a＋b，a2＋b2，ab分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值。
已知a＋b=6，ab=－27，求下列各式的值：
a2＋b2；
a2＋b2－ab；
（3）(a－b)2
解：（1）由a＋b=6，得(a＋b)2=36，即a2＋b2＋2ab=36。
因为ab=－27，
所以a2＋b2=(a＋b)2－2ab=36－2×(－27)=90。
（2）由（1）可知a2＋b2=90，且ab=－27，
所以a2＋b2－ab=90－(－27)=117。
（3）因为a2＋b2=90，ab=－27，
所以(a－b)2=a2－2ab＋b2=(a2＋b2)－2ab=90－2×(－27)=144
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
课后反思
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14.2.2 完全平方公式
一、完全平方公式
（1）完全平方公式：
符号语言： （a＋b）2=a2＋2ab＋b2 （a－b）2=a2－2ab＋b2
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）他们的积的2倍。 如图所示：
二、运用完全平方公式，应注意以下几个问题：
（1） 记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍在中央”
（2） 要明确是两数和的平方还是两数差的平方，“2倍之积项”的符号不要出错；
（3） 等式右侧：是三项（不要漏项）。
示例：
三、添括号法则
符号语言：a＋b＋c=a＋(b＋c)；a－b－c=a－(b＋c).
文字语言：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
[命题角度1] 完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
【例1】利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
【类型二】 构造完全平方式
【例2】 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
【类型三】 运用完全平方公式进行简便运算
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(1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152.
[命题角度2] 完全平方公式的应用
【类型四】 利用完全平方公式化简求值
【例4】先化简，再求值：(2a＋1)2－4a(a－1)，其中a=。
【类型五】 完全平方公式的几何解释
【例5】（数形结合思想）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
【类型六】 利用完全平方公式解方程（组）或不等式（组）
【例6】解不等式：(3x－1)2＋(2x－1)2>13(x－1)(x＋1)
【类型七】 利用完全平方公式的变形求值
【例7】已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代数式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
[命题角度3] 添括号后运用完全平方公式
【类型八】利用添括号法则求值
【例8】 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
1.已知2x－3y2=4，则10－2x＋3y2的值为（ ）
A.6 B.4 C.2 D.－2
2.请你观察下图，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（ ）
A.(x＋y)(x－y)=x2－y2 B.(x＋y)2=x2＋2xy＋y2
C.(x－y)2=x2－2xy＋y2 D.(x＋y)2=x2＋xy＋y2
3.计算：（1）(a－m＋2n)2； （2）(2x－3－y)(2x－y＋3)
4.解方程：
（1）(x＋1)(x－1)＋2x(x＋2)=3(x＋1)2 （2）求不等式(x＋1)2－x(x＋3)－2<0的最小整数解。
5.先化简，再求值：2b2＋(a＋b)(a－b)－(a－b)2，其中a=－3，b=。
6.观察下列关于自然数的等式：
①32－4×12=5；②52－4×22=9；③72－4×32=13； ……
根据上述规律解决下列问题：
（1）请仿照①②③，直接写出第4个等式；
（2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明该等式成立。
7.在公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2中，如果我们把a＋b，a2＋b2，ab分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值。
已知a＋b=6，ab=－27，求下列各式的值：
a2＋b2； （2）a2＋b2－ab； （3）(a－b)2
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