17.1 勾股定理（练习巩固）（含解析）
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17.1勾股定理（练习巩固）
一、单选题
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
2．如图，有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米。
A．米 B．5 米 C．4米 D．米
3．如图，在 中，有一点 在 上移动，若 ， ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
4．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N。则MN=（ ）
A． B． C．6 D．11
5．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多米？（ ）
A．4 B．8 C．9 D．7
6．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往北走9km，又往东走6km，再折回向北走3km，往西一拐，仅走1km就找到宝藏 问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是 ．
A．10 B．11 C．12 D．13
7．下列选项中，不能用来验证勾股定理的是( )
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6。其中，S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( )
A．86 B．64 C．54 D．48
10．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AC边上的高是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是 ．
12．在中，，，作边上的垂线交于点，交的延长线于点，连接，若刚好， ．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， ，点D、E分别在边AB上，且AD = 2，∠DCE = 45°，那么DE = ．
15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是 ．
三、解答题
16．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
17．小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边△ABC，点D在BC上，以AD为边作等边△ADE，连接CE，求证：∠ACE=60°.
（1）请你解答小明的这道题；
（2）在这个问题中，当D在BC上运动时，点E是否在一条线段上运动？
（直接答“是”或“不是”）
（3）如图2，正方形ABCD的边长为2，E是直线BC上的一个动点，以DE为边作正方形DEFG（DEFG按逆时针排列）。当E在直线BC上运动时，点G是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
（4）连接AG、CG，①求证：AG2-CE2是定值； ②求AG+CG的最小值（直接写出答案即可）。
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上.
（1）AC的长等于 ；
（2）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）.
四、综合题
19．如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响.
（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？
（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？
20．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港。
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向。
21．如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求:
（1）AB的长;
（2）四边形ABCD的面积.
22．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
23．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形.
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图2所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）如图3你能把十三个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
24．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A B运动，速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A运动，速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，DPQB第一次能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
参考答案
1．【答案】D
【解析】直角三角形的边满足勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，则有两种情况，一种是这两边都是直角边；另一种是已知的两边一条是直角边，另一条是斜边．
【解答】当已知边3和4都是直角边，则第三边是斜边，长是；
当已知边3和4一条是直角边一条是斜边时，则第三边是直角边长是：=．
故选D．
2．【答案】A
【解析】勾股定理，如果一个三角形，两边的平方的和等于第三边的平方，则为直角三角形。
【解答】两棵树间的高度差为3米，间距为5米，
根据勾股定理：飞行距离最少是：
故选A.
3．【答案】D
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=BC=3，AD=，
当BP⊥AC时，BP最小=,
∴AP+BP+CP的最小值=AC+BP=5+4.8=9.8。
故答案为：D.
4．【答案】A
【解析】解：如图，连接AM，
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM=CM=BC=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴AM=，
又∵S△AMC=MN AC=AM MC，
∴MN==.
故答案为：A.
5．【答案】D
【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= =4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4=7米．
故选D．
6．【答案】D
【解析】解：如图，作过点A的东西方向的直线AD，过点B作BC⊥AD于C，
则AC=6-1=5km，BC=9+3=12km，
在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB= = =13（km）．
所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是13km．
故答案为：D．
7．【答案】D
【解析】解：A、∵大正方形的面积=c2=4×a（a+b）+（b-a）2，∴a2+b2=c2，正确；
B、大正方形的面积=（a+b）2=4×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
C、梯形的面积=（a+b）（a+b）=2×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
D、无法确定大正方形的边长，不能利用a、b、c来构造等式，错误；
故答案为：D.
8．【答案】B
【解析】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵DC＝2，BD＝6，
∴BC＝8，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝8，
根据勾股定理可得DC′＝ ．故答案为：B．
9．【答案】C
【解析】设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．在图1，可得 ，又因a2+b2=c2，所以 ；图2中， ，又因a2+b2=c2，所以 ，即可得 ，
故答案为：C.
10．【答案】D
【解析】根据四边形的总面积为4，可得出△ABF=△ACD=1，
△BCE的面积=
△ABC的面积=4-1-1-=，
在Rt△ADC中，AC=,
设AC 边上的高为x，
根据
可解得x=.
故答案为：D.
11．【答案】3
【解析】解：∵a、b是直角三角形的两条直角边，直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，
∴a+b=3.5，a2+b2=2.52=6.25，
（a+b）2=12.25，
∴a2+b2+2ab=12.25，
∴2ab=6，
解得：ab=3．
故答案为：3．
12．【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
，
在中
，
故答案为：．
13．【答案】14
【解析】解：连接AD，AE，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，
当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，
∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，
∴AD=8，
∴△BDE的周长最小值为BD+AD=6+8=14，
∴△BDE的周长最小值为14，
故答案为：14．
14．【答案】
【解析】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 ，
∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，
∵AD＝2，
∴BD＝6＝DE+BE，
∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF
∴△AFC≌△BEC
∴AF＝BE，CF＝BC，∠FAC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，
∴∠FAD＝90°
∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝45°，
∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝CE，CD＝CD，
∴△FCD≌△ECD（SAS）
∴DE＝DF，
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，
∴DE2＝4+（6﹣DE）2，
∴DE＝ .
故答案为 .
15．【答案】38
【解析】解：设图2中的“数学风车”四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，依题可得，
，
解得：，
∴这个风车的外围周长为：4×6.5+4×3=38.
故答案为：38.
16．【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD= = = （米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米
17．【答案】（1）解：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD △ACE，
∴∠ACE=∠B=60°.
（2）解：是；∵∠ACE=60°，∠ACB=60°，∴∠BCE=120°，
∴E在以CB为一条边的120°角的另一边上，
当点D与B重合，E与C重合；
当点D与C重合时，CE的长最长=AC；
故点E在一条线段上运动。
（3）解：是。证明：过G作GH⊥CD于H，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE=90°，∠EDG=90°，DE=DG，
∴∠EDC+∠GDC=90°，∠EDC+∠CED=90°，
∴∠GDC=∠CED，又∵DE=DG，∠DCE=∠GHD=90度，
∴△CDE △HGD，∴GH=CD=2.
又∵GH⊥CD，∴点G是在与CD的距离为2的直线上，过G作直线//CD，即点G在直线l上运动。
（4）解：①延长AD交直线l于P，由（1）可得△CDE △HGD，
∴CE=DH。
∵l//CD，GH⊥CD，∴∠DHG=∠PGH=90°，
又∵∠PDH=90°，∴四边形DHGP是矩形，
∴PG=DH=CE，PD=GH=2，
在Rt△AGP中，AG2-PG2=AP2=42=16，
∴AG2-CE2=AG2-PG2=16是定值。
②过A作关于l的对称点A′，连接A′C，交直线l于G′，则AG+CG≥A′G′+CG′=A′C，
在Rt△A′CD中，CD=2，A′D=6，∴A′C = 。
18．【答案】（1）5
（2）
【解析】(1)AC= ；
（2）如图，连接格点M和N，由图可知:
AB=AM=4，
BC=AN= ，
AC=MN= ，
∴△ABC≌△MAN，
∴∠AMN=∠BAC，
∴∠MAD+∠CAB=∠MAD+∠AMN=90°，
∴MN⊥AC，
易解得△MAN以MN为底时的高为 ，
∵AB2=AD AC，
∴AD=AB2÷AC= ，
综上可知，MN与AC的交点即为所求D点.
19．【答案】（1）解：∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，
∴Rt△ACB中，BC= ，
Rt△ACD中，DC= ，
∴BD=80，
∴80÷4=20（s），
∴受影响时间为20s
（2）解：∵20＜25，
∴可以通行
20．【答案】（1） 由题意知，∠DAB+∠EBA=180°，
∠ABC=90°
∵AB=CB=10,
∴AC=
蓑衣AC约等于14.1km
（2）∠FCA-∠DAC=60°-45°=15°
21．【答案】（1）解：如图,延长AD,BC交于点E.
在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.
在Rt△CDE中,CD=4,∠E=30°.∴CE=2CD=8.
∴BE=BC+CE=6+8=14.
设AB=x,则AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,
解得x= ,则AB= 。
（2）解：在Rt△CDE中,∠CDE=90°,
∴DE= = =4 .
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= ·AB·BE- ·CD·DE= × ×14- ×4×4 = .
22．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2交y轴于点P，则点P即为所求．
设直线AB2的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（﹣4，6），B2（2，2），
∴ ，解得 ，
∴直线AB2的解析式为：y=﹣ x+ ，
∴当x=0时，y= ，
∴P（0， ）．
23．【答案】（1）解：拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和，即为5，
∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形的边长即为面积的算术平方根，为 ；
（2）解：设点A表示的数为x，则由题意可得：x-(-1)= ，∴x= ，
又∵ ，∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是 ；
（3）解：如图，
可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，其中三角形A可以平移至三角形C，三角形B可以平移至三角形D，由题意可知其边长为13的算术平方根，即 .
24．【答案】（1）解：当t＝2时，则AP＝2，BQ＝2t＝4，
∵AB＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ＝ （cm），
即PQ的长为2 cm
（2）解：由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝8，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即8﹣t＝2t，
解得t＝ ，
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形
（3）解：①当CQ=BQ时（如下图），则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°
∴∠CBQ+∠ABQ=90°
∠A+∠C=90°
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11
∴t=11÷2=5.5秒
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= ，
∴CE= ，
故CQ=2CE=7.2,
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒
综上：t的值为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形.
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17.1勾股定理（练习巩固）
一、单选题
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
2．如图，有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米。
A．米 B．5 米 C．4米 D．米
3．如图，在 中，有一点 在 上移动，若 ， ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
4．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N。则MN=（ ）
A． B． C．6 D．11
5．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多米？（ ）
A．4 B．8 C．9 D．7
6．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往北走9km，又往东走6km，再折回向北走3km，往西一拐，仅走1km就找到宝藏 问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是 ．
A．10 B．11 C．12 D．13
7．下列选项中，不能用来验证勾股定理的是( )
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6。其中，S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( )
A．86 B．64 C．54 D．48
10．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AC边上的高是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是 ．
12．在中，，，作边上的垂线交于点，交的延长线于点，连接，若刚好， ．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， ，点D、E分别在边AB上，且AD = 2，∠DCE = 45°，那么DE = ．
15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是 ．
三、解答题
16．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
17．小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边△ABC，点D在BC上，以AD为边作等边△ADE，连接CE，求证：∠ACE=60°.
（1）请你解答小明的这道题；
（2）在这个问题中，当D在BC上运动时，点E是否在一条线段上运动？
（直接答“是”或“不是”）
（3）如图2，正方形ABCD的边长为2，E是直线BC上的一个动点，以DE为边作正方形DEFG（DEFG按逆时针排列）。当E在直线BC上运动时，点G是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
（4）连接AG、CG，①求证：AG2-CE2是定值； ②求AG+CG的最小值（直接写出答案即可）。
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上.
（1）AC的长等于 ；
（2）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）.
四、综合题
19．如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响.
（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？
（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？
20．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港。
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向。
21．如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求:
（1）AB的长;
（2）四边形ABCD的面积.
22．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
23．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形.
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图2所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）如图3你能把十三个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
24．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A B运动，速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A运动，速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，DPQB第一次能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
参考答案
1．【答案】D
【解析】直角三角形的边满足勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，则有两种情况，一种是这两边都是直角边；另一种是已知的两边一条是直角边，另一条是斜边．
【解答】当已知边3和4都是直角边，则第三边是斜边，长是；
当已知边3和4一条是直角边一条是斜边时，则第三边是直角边长是：=．
故选D．
2．【答案】A
【解析】勾股定理，如果一个三角形，两边的平方的和等于第三边的平方，则为直角三角形。
【解答】两棵树间的高度差为3米，间距为5米，
根据勾股定理：飞行距离最少是：
故选A.
3．【答案】D
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=BC=3，AD=，
当BP⊥AC时，BP最小=,
∴AP+BP+CP的最小值=AC+BP=5+4.8=9.8。
故答案为：D.
4．【答案】A
【解析】解：如图，连接AM，
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM=CM=BC=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴AM=，
又∵S△AMC=MN AC=AM MC，
∴MN==.
故答案为：A.
5．【答案】D
【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= =4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4=7米．
故选D．
6．【答案】D
【解析】解：如图，作过点A的东西方向的直线AD，过点B作BC⊥AD于C，
则AC=6-1=5km，BC=9+3=12km，
在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB= = =13（km）．
所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是13km．
故答案为：D．
7．【答案】D
【解析】解：A、∵大正方形的面积=c2=4×a（a+b）+（b-a）2，∴a2+b2=c2，正确；
B、大正方形的面积=（a+b）2=4×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
C、梯形的面积=（a+b）（a+b）=2×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
D、无法确定大正方形的边长，不能利用a、b、c来构造等式，错误；
故答案为：D.
8．【答案】B
【解析】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵DC＝2，BD＝6，
∴BC＝8，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝8，
根据勾股定理可得DC′＝ ．故答案为：B．
9．【答案】C
【解析】设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．在图1，可得 ，又因a2+b2=c2，所以 ；图2中， ，又因a2+b2=c2，所以 ，即可得 ，
故答案为：C.
10．【答案】D
【解析】根据四边形的总面积为4，可得出△ABF=△ACD=1，
△BCE的面积=
△ABC的面积=4-1-1-=，
在Rt△ADC中，AC=,
设AC 边上的高为x，
根据
可解得x=.
故答案为：D.
11．【答案】3
【解析】解：∵a、b是直角三角形的两条直角边，直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，
∴a+b=3.5，a2+b2=2.52=6.25，
（a+b）2=12.25，
∴a2+b2+2ab=12.25，
∴2ab=6，
解得：ab=3．
故答案为：3．
12．【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
，
在中
，
故答案为：．
13．【答案】14
【解析】解：连接AD，AE，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，
当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，
∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，
∴AD=8，
∴△BDE的周长最小值为BD+AD=6+8=14，
∴△BDE的周长最小值为14，
故答案为：14．
14．【答案】
【解析】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 ，
∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，
∵AD＝2，
∴BD＝6＝DE+BE，
∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF
∴△AFC≌△BEC
∴AF＝BE，CF＝BC，∠FAC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，
∴∠FAD＝90°
∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝45°，
∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝CE，CD＝CD，
∴△FCD≌△ECD（SAS）
∴DE＝DF，
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，
∴DE2＝4+（6﹣DE）2，
∴DE＝ .
故答案为 .
15．【答案】38
【解析】解：设图2中的“数学风车”四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，依题可得，
，
解得：，
∴这个风车的外围周长为：4×6.5+4×3=38.
故答案为：38.
16．【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD= = = （米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米
17．【答案】（1）解：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD △ACE，
∴∠ACE=∠B=60°.
（2）解：是；∵∠ACE=60°，∠ACB=60°，∴∠BCE=120°，
∴E在以CB为一条边的120°角的另一边上，
当点D与B重合，E与C重合；
当点D与C重合时，CE的长最长=AC；
故点E在一条线段上运动。
（3）解：是。证明：过G作GH⊥CD于H，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE=90°，∠EDG=90°，DE=DG，
∴∠EDC+∠GDC=90°，∠EDC+∠CED=90°，
∴∠GDC=∠CED，又∵DE=DG，∠DCE=∠GHD=90度，
∴△CDE △HGD，∴GH=CD=2.
又∵GH⊥CD，∴点G是在与CD的距离为2的直线上，过G作直线//CD，即点G在直线l上运动。
（4）解：①延长AD交直线l于P，由（1）可得△CDE △HGD，
∴CE=DH。
∵l//CD，GH⊥CD，∴∠DHG=∠PGH=90°，
又∵∠PDH=90°，∴四边形DHGP是矩形，
∴PG=DH=CE，PD=GH=2，
在Rt△AGP中，AG2-PG2=AP2=42=16，
∴AG2-CE2=AG2-PG2=16是定值。
②过A作关于l的对称点A′，连接A′C，交直线l于G′，则AG+CG≥A′G′+CG′=A′C，
在Rt△A′CD中，CD=2，A′D=6，∴A′C = 。
18．【答案】（1）5
（2）
【解析】(1)AC= ；
（2）如图，连接格点M和N，由图可知:
AB=AM=4，
BC=AN= ，
AC=MN= ，
∴△ABC≌△MAN，
∴∠AMN=∠BAC，
∴∠MAD+∠CAB=∠MAD+∠AMN=90°，
∴MN⊥AC，
易解得△MAN以MN为底时的高为 ，
∵AB2=AD AC，
∴AD=AB2÷AC= ，
综上可知，MN与AC的交点即为所求D点.
19．【答案】（1）解：∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，
∴Rt△ACB中，BC= ，
Rt△ACD中，DC= ，
∴BD=80，
∴80÷4=20（s），
∴受影响时间为20s
（2）解：∵20＜25，
∴可以通行
20．【答案】（1） 由题意知，∠DAB+∠EBA=180°，
∠ABC=90°
∵AB=CB=10,
∴AC=
蓑衣AC约等于14.1km
（2）∠FCA-∠DAC=60°-45°=15°
21．【答案】（1）解：如图,延长AD,BC交于点E.
在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.
在Rt△CDE中,CD=4,∠E=30°.∴CE=2CD=8.
∴BE=BC+CE=6+8=14.
设AB=x,则AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,
解得x= ,则AB= 。
（2）解：在Rt△CDE中,∠CDE=90°,
∴DE= = =4 .
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= ·AB·BE- ·CD·DE= × ×14- ×4×4 = .
22．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2交y轴于点P，则点P即为所求．
设直线AB2的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（﹣4，6），B2（2，2），
∴ ，解得 ，
∴直线AB2的解析式为：y=﹣ x+ ，
∴当x=0时，y= ，
∴P（0， ）．
23．【答案】（1）解：拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和，即为5，
∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形的边长即为面积的算术平方根，为 ；
（2）解：设点A表示的数为x，则由题意可得：x-(-1)= ，∴x= ，
又∵ ，∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是 ；
（3）解：如图，
可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，其中三角形A可以平移至三角形C，三角形B可以平移至三角形D，由题意可知其边长为13的算术平方根，即 .
24．【答案】（1）解：当t＝2时，则AP＝2，BQ＝2t＝4，
∵AB＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ＝ （cm），
即PQ的长为2 cm
（2）解：由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝8，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即8﹣t＝2t，
解得t＝ ，
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形
（3）解：①当CQ=BQ时（如下图），则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°
∴∠CBQ+∠ABQ=90°
∠A+∠C=90°
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11
∴t=11÷2=5.5秒
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= ，
∴CE= ，
故CQ=2CE=7.2,
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒
综上：t的值为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形.
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