17.2 勾股定理的逆定理（练习巩固）（含解析）

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17.2勾股定理的逆定理（练习巩固）
一、单选题
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A． ， ， B．1， ， C．6a，7a，8a D．2a，3a，4a
2．如图所示，有一个高 ，底面周长为 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底 的点 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处 的点 处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）
A． B．20 C．24 D．28
3．下列命题中，其中正确命题的个数为（　　）个
①在△ABC中，若三边长a:b:c=4:5:3，则ABC是直角三角形；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2+c2=b2，则∠C=90°：④在△ABC中，∠A：∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现想把它们摆成两个直角三角形，图中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达 ，那么用细线最短需要（　　）
A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
6．坐标轴上到点的距离等于4的点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点.且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB= S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 处有一滴糖浆，容器外 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 ，宽为 ，高为 ，点 距底部 ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6。其中，S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝(　　)
A．86 B．64 C．54 D．48
二、填空题
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是　 　dm.
12．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为　 　m2
13．学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了　 　步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！
14．如图，直线l：y=﹣ x，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为　 　．
15．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 　 　cm．（结果保留π）
三、解答题
16．如图所示，沿海城市B的正南方向A处有一台风中心，沿AC的方向以30km/h的速度移动，已知AC所在的方向与正北成30°的夹角，B市距台风中心最短的距离BD为120km，求台风中心从A处到达D处需要多少小时？（ ，结果精确到0.1）
17．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少
18．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
四、综合题
19．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm.
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度.
20．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：
（1）如图（1），A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；
（2）如图（2），连结三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）．
21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿同定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile，“海天”号每小时航行12n mile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30n mile
（1）求PQ，PR的长度；
（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
22．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
23．请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的高为5dm，底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的AC.如下图（2）所示：
设路线1的长度为 ，则 ，
路线2：高线AB + 底面直径BC.如上图（1）所示：
设路线2的长度为 ，则 ，
∵ ，
∴
∴ ，
所以要选择路线2较短.
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：
路线1： 　 　；
路线2： 　 　
∵　 　 ，
∴　 　 （填>或<）所以应选择路线　 　（填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
24．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　°
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．
参考答案
1．【答案】B
【解析】解：（A）∵（ ）2=5，
（ ）2+（ ）2=7，
∴（ ）2≠（ ）2+（ ）2；
（B）∵（ ）2=3，
（ ）2+12=3，
∴（ ）2=（ ）2+12；
（C）∵（8a）2=64a2，
（6a）2+（7a）2=85a2，
∴（8a）2≠（6a）2+（7a）2；
（D）∵（4a）2=16a2，
（2a）2+（3a）2=13a2，
∴（4a）2≠（2a）2+（3a）2；
故答案选：B
2．【答案】B
【解析】如图：
过F点作容器上沿的对称点B，过S作SC⊥BC于C，
连接SB，则SB即为最短距离，
由题意得：SC为圆柱体的底面周长的一半， (cm)，
FD=BD=2，
∴B (cm)，
∴ ．
故答案为：B．
3．【答案】C
【解析】①因为，所以在△ABC中，若三边长a:b:c=4:5:3，则ABC是直角三角形，正确；②设三角形三个角为x、y、z，其中x=y+z，则x+y+z=2x=180，所以x=90，因此三角形为直角三角形，正确；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2+c2=b2，则∠B=90°，不正确；④，正确。
故答案为：C
4．【答案】C
【解析】7 +24 =25
15 +20 =25 ，由勾股定理逆定理得答案C
5．【答案】B
【解析】解：如图，将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，
所以AB′＝10 cm.
故答案为：B.
6．【答案】D
【解析】解：如图，点 ，
故答案为：
7．【答案】C
【解析】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）.
∴AE＝BF.
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值.
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点.
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE+DE＝DH.
在Rt△ADH中，DH＝
∴BF+DE最小值为4 .
故答案为：C.
8．【答案】D
【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB= S矩形ABCD，∴ AB h= AB AD，∴h= AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= = = ，即PA+PB的最小值为 ．故答案为：D．
9．【答案】D
【解析】解：沿着上面和棱将A点翻折至 处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，
将容器展开：
∵
∴蚂蚁需爬行的最短距离是
故答案为：D
10．【答案】C
【解析】设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．在图1，可得 ，又因a2+b2=c2，所以 ；图2中， ，又因a2+b2=c2，所以 ，即可得 ，
故答案为：C.
11．【答案】25
【解析】【解答】解：如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．
故答案为25．
12．【答案】24
【解析】解：如图，连接AC
由勾股定理可知
AC==5，
又AC2+BC2=52+122=132=AB2故三角形ABC是直角三角形
故所求面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积==24（m2）．
13．【答案】4
【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
则AB= =5m，
少走了2×（3+4﹣5）=4（步）．
故答案为：4．
14．【答案】
【解析】解：∵点A1坐标为（﹣3，0），
∴OA1=3，
∵在y=﹣ x中，当x=﹣3时，y=4，即B1点的坐标为（﹣3，4），
∴由勾股定理可得OB1= =5，即OA2=5=3× ，
同理可得，
OB2= ，即OA3= =3×（ ）2，
OB3= ，即OA4= =3×（ ）3，
以此类推，
OAn=3×（ ）n﹣1= ，即点An坐标为（﹣ ，0），
当n=2016时，点A2016坐标为（﹣ ，0）．
故答案为：（﹣ ，0）
15．【答案】
【解析】如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，
∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，BC=3cm，
由勾股定理得：AC===cm．
故答案为：．
16．【答案】解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵∠BAD=30°，BD=120km，
∴AB=2BD=240km，
根据勾股定理得：AD= =120 km，
∵ ≈1.73，
∴从A到D处需要 =4 ≈6.9小时
17．【答案】解：将长方体沿CH,HE,BE剪开翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM,如图1
由题意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,
在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=25cm,
将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折,使面ABCD和面DCHG在同一个平面内,连接AM，
如图2,由题意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,
在Rt△ABM中,根据勾股定理得:AM=5 cm,
将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折,连接AM,如图3,
由题意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,
在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AM=5 cm,
∵25＜5 ＜5 ,
则需要爬行的最短距离是25cm.
18．【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
19．【答案】（1）证明：∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，满足 ，
根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB
（2）解：设腰长为x，则 ，由上问可知 ，
即： ，解得：腰长
20．【答案】（1）解：如图，连接AC，
由勾股定理得，AB2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC
（2）解：∠α+∠β=45°．
证明如下：如图，由勾股定理得，AB2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠α+∠β=45°．
21．【答案】（1）解：PQ的长度16×1.5=24 (n mile)，
PR的长度12×1.5=18 (n mile).
（2）解：∵RQ2=PR2+PQ2，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴“海天”号沿西北方向（或北偏西45°）航行
22．【答案】（1）解：小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
（2）解：①不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：
设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为 ．
因为，若边长a为整数，那么面积 一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”；
②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：
23．【答案】（1）25+π2；49；＜；＜；1
（2）解：l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，
l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
∴l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h]，
当r[（π2-4）r-4h]＜0时，r＜ ，此时l12＜l22，即l1＜l2；
当r[（π2-4）r-4h]=0时，r= ，此时l12=l22，即l1=l2；
当r[（π2-4）r-4h]＞0时，r＞ ，此时l12＞l22，即l1＞l2；
综上可知：当r＜ ，l1＜l2；当r= ，l1=l2；当r＞ ，l1＞l2.
【解析】【解答】解：（1）路线1：l12=AC2=25+π2；
路线2：l22=（AB+BC）2=49.
∵l12＜l22，
∴l1＜l2，
∴选择路线1较短.
故答案为：25+π2；49；＜；＜；1；
24．【答案】（1）140；75
（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD；
（3）如图所示：
（4）解：分两种情况：
①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=10，
∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2 ，
∴AC= = =2 ；
②当∠BCD=∠DAB=60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM= AD=2，
∴DM=2 ，
∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN=BM=3，BN=DM=2 ，
∵∠BCD=60°，
∴CN= ，
∴BC=CN+BN=3 ，
∴AC= =2 ．
综上所述：AC的长为2 或2 ．
故答案为：140，75．
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，
∴∠D=∠B=75°，
∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°；
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