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第2章-直线和圆的方程 单元检测卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将直线方程化为斜截式，
故直线的斜率，
，，
设直线的倾斜角为，，
则，由正切函数的图象可知。
故答案为：B.
2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立方程组，解得，
因为直线的斜率是2，所以其垂线的斜率是，
所以所求方程为，即，
故所求直线的方程为
故答案为：D.
3．已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直线：，即，令，
求得，，可得该直线恒过点.
直线：上有一动点，点的坐标为，
故、都在直线：的上方．
点关于直线：的对称点为，
则直线方程为，即.
把直线方程和直线：联立方程组，求得，
可得当取得最小值时，点的坐标为．
故答案为：C．
4．已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设点，
点，，，
，整理得，
即点在圆 上，
又直线上存在点使得，
圆与直线有交点，
圆心到直线的距离，
解得，即.
故答案为：C．
5．直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为，所以.
圆的标准方程，圆心，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的取值范围为：，
所以.
故答案为：C.
6．已知直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由得，故圆心的坐标为，
因为直线始终平分圆M的周长，所以直线过圆M的圆心，所以，
可知点在直线上，而是原点到点的距离的平方，
所以问题转化为求原点到直线上的点的最小距离的平方，
而原点到直线上的点的最小距离为，
所以的最小值为．
故答案为：A.
7．过点 作圆 与圆 的切线，切点分别为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】B
【解析】解：如图所示，
由圆的切线的性质得 ，
在 中有 ，
由题知 ，
，所以点 在线段 的垂直平分线上；
由题知 ，所以 与 的中点 的坐标为 ，
与 所在直线的斜率为 ，
所在直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
点 在 ，所以点 的坐标满足 ，
所以 ，
故答案为：B.
8．若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心在直线上，
即有 ，
设点 ，则 ，
故以为直径的圆的方程为： ，
将和相减，
即可得直线的方程，即 ，
则直线恒过定点，
故答案为：C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ）
A．－2 B．－6 C．－3 D．1
【答案】A,B,C
【解析】当与平行时，此时符合题意；
当与平行时，此时符合题意；
由可得：，所以直线与直线的交点坐标为，
将代入中可得：，可得：.
综上所述：的取值可能值为：.
故答案为：ABC.
10．设直线与，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，l、n间的距离为
D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
【答案】A,C,D
【解析】A：时，，，易知，正确；
B：时，，，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，
当时，，，两线重合，排除；
所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.
故答案为：ACD
11．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
【答案】A,B,D
【解析】由圆的方程知：圆心，半径，
对于AB，四边形的面积，
则当最短时，四边形的面积最小，
点到直线的距离，，
此时，A符合题意；
又，此时，B符合题意；
对于C，设，，，
则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，
又为两切线交点，，
则两点坐标满足方程：，即方程为：；
当最小时，，直线方程为：，
由得：，即，
方程为：，即，C不符合题意；
对于D，由C知：方程为：；
又，即，
方程可整理为：，
由得：，过定点，D符合题意.
故答案为：ABD.
12．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，过M点的圆C的最短弦长是
C．线段的中点纵坐标最小值是
D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是
【答案】C,D
【解析】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，
对于A，令直线，即，显然有，
线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；
对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；
对于C，令线段的中点，则，
则，即，解得，当且仅当时取等号，
所以，C符合题意；
对于D，依题意及切线长定理得：，
解得或，
所以的取值范围是，D符合题意．
故答案为：CD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知直线：，：，若，则实数 ．
【答案】－3或0
【解析】当时，直线：，：，此时显然，符合题意；
当时，整理可得直线：，：，
由，则，解得.
故答案为：－3或0
14．直线被圆截得弦的长为 ．
【答案】
【解析】将圆的方程化为标准式，可得，利用点到直线的距离可以求得弦心距为，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为。
15．点到直线的距离的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：将直线方程变形为，
所以直线过与的交点，
联立方程解得，
所以，直线过定点，
所以，根据直线系方程的意义，直线表示过点的不包含直线的所有直线，
所以，当直线过点时，距离最小，为；
当直线与垂直时，距离取得最大值，，
因为直线与垂直时，其方程为，直线系方程不含，
所以，其距离的最大值取不到.
所以，点到直线距离的取值范围.
故答案为：
16．已知圆，直线，若在直线上任取一点作圆的切线，切点分别为，则最小时，原点到直线的距离为 .
【答案】
【解析】由可得，
即半径，圆心，如图，
由切线性质可知，
，
则最小时，最大，即最小，
所以，
，故四边形为正方形，
所以，又，故共线，
所以原点到直线的距离为.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知三点在圆C上，直线，
（1）求圆C的方程；
（2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
【答案】（1）解：设圆C的方程为：，
由题意得：，
消去F得： ，解得： ，
∴ F=-4，
∴圆C的方程为：.
（2）解：由（1）知： 圆C的标准方程为：，圆心，半径；
点到直线的距离，故直线与圆C相交，
故直线被圆C截得的弦长为
18．在直角坐标系中，若圆与轴相切，且过点，圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆交于，两点，求的面积．
【答案】（1）解：由圆心在直线上，且圆与轴相切，
故设圆心，圆的方程为，
又圆过点，
则，即，
解得，
即圆心，半径，
所以圆的标准方程为；
（2）解：因为圆心到直线的距离，
所以弦长，
所以.
19．已知：关于直线对称，且圆心在y轴上.
（1）求的标准方程；
（2）已知动点M在直线上，过点M引的两条切线 ，切点分别为A，B.证明：直线恒过定点.
【答案】（1）解：由题意知，圆心在直线上，即，
又因为圆心C在y轴上，所以，
由以上两式得，，
∴，
故圆C的标准方程为
（2）证明：设点M的坐标为，
∵，
∴M，A，C，B四点共圆，且，
其圆心为线段MC的中点，，
设M，A，C，B四点所在的圆为圆，
∴圆的方程为，
化简得.
∵是圆C和圆的公共弦，
∴，
两式相减得，
故的方程为，
当时，，
∴直线恒过定点.
20．已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
（2）解：设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.
21．已知圆经过点，且与轴相切，切点为坐标原点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线：与圆交于，两点，直线：与圆交于，两点，且.
（i）若，求四边形的面积；
（ii）求证：直线恒过定点.
【答案】（1）解：因为圆与轴相切，切点为坐标原点，故可得其圆心在轴上，
又其过点，故圆的圆心坐标为，半径，
则圆的标准方程为：.
（2）解：（i）因为，又，故可得，
联立直线与，可得，解得或，
故可得点坐标为；
联立直线与，可得，解得或，
此时，故点坐标为.
故四边形的面积；
（ii）当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立可得，
根据题意，其
设两点的坐标分别为，
则，
故
又，即，整理得：，
则或，显然时，不满足题意，故舍去；
当时，，其恒过定点；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
联立圆方程可得，解得，
不妨设，
由可得：，解得（舍）或，
此时，直线也过点.
综上所述：直线恒过定点.
22．已知圆O：x2＋y2＝16，点A（6，0），点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设T（2，0），过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：设，，
因为点在圆上，所以①，因为为中点，所以，整理得，代入①式中得，整理得，
所以曲线的方程为.
（2）解：（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即，则直线为，设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，，
则，，所以，，所以，
当时，；
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为7.
（ii）设，，
联立，得，则，，，
因为曲线与轴交于，两点，所以，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程得，
，所以，
所以在定直线上.
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第2章-直线和圆的方程 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．过点 作圆 与圆 的切线，切点分别为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．8
8．若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ）
A．－2 B．－6 C．－3 D．1
10．设直线与，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，l、n间的距离为
D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
11．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
12．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，过M点的圆C的最短弦长是
C．线段的中点纵坐标最小值是
D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知直线：，：，若，则实数 ．
14．直线被圆截得弦的长为 ．
15．点到直线的距离的取值范围为 ．
16．已知圆，直线，若在直线上任取一点作圆的切线，切点分别为，则最小时，原点到直线的距离为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知三点在圆C上，直线，
（1）求圆C的方程；
（2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
18．在直角坐标系中，若圆与轴相切，且过点，圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆交于，两点，求的面积．
19．已知：关于直线对称，且圆心在y轴上.
（1）求的标准方程；
（2）已知动点M在直线上，过点M引的两条切线 ，切点分别为A，B.证明：直线恒过定点.
20．已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
21．已知圆经过点，且与轴相切，切点为坐标原点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线：与圆交于，两点，直线：与圆交于，两点，且.
（i）若，求四边形的面积；
（ii）求证：直线恒过定点.
22．已知圆O：x2＋y2＝16，点A（6，0），点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设T（2，0），过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
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