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第3章-圆锥曲线的方程 单元检测卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，
因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，
则，
由椭圆和双曲线的定义可得，
两式相加得，两边同时除以得，
所以，
故答案为：B
2．如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点
则直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，解得，
因为，所以，
故答案为：B．
3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】。
故答案为：C.
4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点在抛物线上，故设，
由抛物线可得焦点，准线为，故准线与轴的交点，
因为，所以，
因为，
所以，解得，所以的横坐标为，
由抛物线的定义可得，
故答案为：C
5．如图，已知抛物线，过点和分别作斜率大于的两平行直线，交抛物线于，和，，连接交轴于点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：因为，，，所以，
因为，
所以∽，
所以，即，
因为过点和两平行直线斜率大于
所以，直线斜率大于，
故设直线的方程为，
联立方程得，
所以
所以，，解得
所以，
所以，即直线的斜率是.
故答案为：D
6．过抛物线上一点作其切线，该切线交准线于点，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图所示，当在第一象限时，
设，，则切线斜率
由点斜式可得，，
因为点在抛物线上，则，
则
或舍
同理，当点在第二象限时，可以得到一样结果.
故答案为：B.
7．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于 两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的右焦点，连接、，
因为椭圆的对称性以及直线经过原点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
故，
又因为，
则，
而，
因此，，
因为，
所以四边形为矩形，
所以，
在中结合勾股定理可得，
故，
即，
所以，
因此.
故答案为：C
8．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
在以为直径的圆上，，又，
，，
，解得：，
又椭圆的离心率，，
，
，.
故答案为：C.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为：
C．双曲线的离心率为
D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
【答案】B,C,D
【解析】对于A，已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，
所以中的①，A不正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离为，
所以，所以②，
由①②可得：，
所以双曲线的渐近线方程为，B符合题意；
所以双曲线的，
对于C，双曲线的的离心率为，C符合题意；
对于D，双曲线上的点到焦点距离的最小值为.
故答案为：BCD.
10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的中点到轴的距离为4
D．
【答案】A,B,D
【解析】因为点在抛物线上，
所以解得，所以抛物线方程为，
所以准线方程为，所以A符合题意；
由抛物线的定义得
由，所以.所以B符合题意；
设，
联立整理得，
由韦达定理得，
所以，解得，
，所以C不符合题意；
，
由抛物线定义知
，
所以，
当且仅当时取得等号，所以D符合题意.
故答案为： ABD.
11．设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的范围是 B．存在点，使
C．弦长的最小值为3 D．面积的最大值为
【答案】A,C
【解析】由题，设椭圆半焦距为c，则.
则，.
对于A，设为椭圆上任意一点.则.注意到，
则.得，
又注意到，则.
当P为椭圆左顶点，即时，最小为
当P为椭圆右顶点，即时，最大为，A符合题意.
对于B，若存在点，使，则P在以为直径的圆上.
则点P存在等价于上述圆与椭圆有交点，又圆的方程为.
则点P存在等价于有解，消去得.
则方程组无解，故相应的P不存在，B不符合题意.
对于C，设直线AB方程为，将其与椭圆方程联立得，消去x
有，设，又
则.故
.
当时，即AB垂直于x时，最小为3，C符合题意.
对于D，设点.则，
故当P为椭圆上下顶点时，面积最大为.D不符合题意.
故答案为：AC
12．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D．内切圆的面积为
【答案】A,D
【解析】对A，根据椭圆定义可得，则①，
在中，由余弦定理②，
由①②可得，所以的面积为，A符合题意；
对B，设，则，，
，
则当时，取得最大值为5，B不符合题意；
对C，由A，的面积为，则，解得，C不符合题意；
对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，
所以，即，解得，
所以内切圆的面积为，D符合题意.
故答案为：AD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知椭圆的左 右焦点分别为，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】如图，
设线段的中点为，连接，连接，则，
因为椭圆的方程为，所以，
即，因为，
所以，
所以是等边三角形，则，所以直线的斜率为，
故答案为：.
14．已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的右支交于两点，若 ，且，则 ．
【答案】
【解析】因为双曲线的方程为，所以双曲线的实半轴长，虚半轴长，设，则．由双曲线的定义可得，．在中，，
即，解得．
则，，，
所以，
则，故．
故答案为：.
15．抛物线C：的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点A作l的垂线，垂足为B，设点，AF与BP相交于点E，若，且的面积为，则P= .
【答案】3
【解析】由题意可知，如图所示
，，
根据抛物线线的定义，得，
，解得，
设，则，，解得.
因为在抛物线上，所以，解得.
轴， ，
，即.因为的面积为，
所以，即，解得.
所以的值为3.
故答案为：3.
16．已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为 .
【答案】
【解析】由，结合点I是的内切圆的圆心可知，
又有，所以，
再结合双曲线的定义可得，，
再根据，由余弦定理可得，
即，解得，
则，
可得内切圆的半径角。
故答案为：。
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于 、 两点，直线与椭圆相交于 、 两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．
【答案】（1）解：设点，的坐标分别为、，
由题意有解得故椭圆的标准方程为；
（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，
设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，
联立方程消除后有，有，可得，，
同理，，
由对称性可知直线所过的定点必定在 轴上，设点的坐标为，
有，有，化简得，解得，
故直线过定点．
18．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，解得，
故椭圆C的方程.
（2）解：为定值，理由如下：
由（1）可得，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，则，
联立方程，消去y得，
则，
，
∵，，则，可得，
（定值）.
19．已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．
【答案】（1）解：若焦点，其到渐近线的距离，
又因为双曲线：经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：设点，，
因为是弦的中点，
则．
由于，
则，
所以，
从而直线的方程为，
即．
联立，
得，
所以，
从而．
20．已知双曲线：的焦距为4，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
【答案】（1）解：由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2）解：，设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
21．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.
【答案】（1）解：将化为标准方程得，，
因为的最小值为1，所以，解得，
所以抛物线的标准方程为
（2）解：由（1）得，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，
设直线斜率为，则的斜率为，
直线的方程为，由消去并整理得，
，
设，，则，所以线段中点，
，同理，
所以，
令，当且仅当，即时等号成立.
所以，且，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为16.
22．已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设为原点，，，求证：为定值．
【答案】（1）解：抛物线：经过点，
PF=1+2
解得，故抛物线方程为：
（2）解：由题意，直线的斜率存在且不为，
设过点的直线的方程为，
设，
联立方程组可得，
消可得，
，且，
解得，且，
则，，
又、要与轴相交，
直线不能经过点，即，
故直线的斜率的取值范围是；
（3）证明：设点，，
则，，
因为，所以，
故，同理，
直线的方程为
，
令，得，同理可得，
因为
，
，
为定值．
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第3章-圆锥曲线的方程 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A． B．2 C． D．3
2．如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第5题）
3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知抛物线，过点和分别作斜率大于的两平行直线，交抛物线于，和，，连接交轴于点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线上一点作其切线，该切线交准线于点，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于 两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的渐近线方程为：
C．双曲线的离心率为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的中点到轴的距离为4
D．
11．设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的范围是 B．存在点，使
C．弦长的最小值为3 D．面积的最大值为
12．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D．内切圆的面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知椭圆的左 右焦点分别为，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 .
14．已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的右支交于两点，若 ，且，则 ．
15．抛物线C：的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点A作l的垂线，垂足为B，设点，AF与BP相交于点E，若，且的面积为，则P= .
16．已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于 、 两点，直线与椭圆相交于 、 两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．
18．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由．
19．已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．
20．已知双曲线：的焦距为4，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
21．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.
22．已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设为原点，，，求证：为定值．
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