山东省泰安市名校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省泰安市名校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 633.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-29 19:04:09 | ||
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文档简介
泰安市名校2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．若复数，则复数z的虚部是（ ）
A．i B．2i C．1 D．2
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知m，n表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①，，，则；
②，，，则；
③，，，则；
④，，，则
其中正确命题的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，（ ）
A． B． C． D．
6．已知正实数a，b满足，若对任意a，b恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，的面积为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为R的函数满足，，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为的等比数列
C．若，则数列的前2023项和为
D．若，则数列的前n项和为
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将该函数图象向左平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C．是曲线的对称轴 D．直线是曲线的一条切线
11．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论正确的是（ ）
A．当点P在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
B．记过点P平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为
C．当点P为中点时，异面直线与BD所成角为
D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为
12．已知奇函数在R上有定义，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的周期 B．函数在R上的最大值为
C．函数在上单调递减 D．方程在上的所有实根之和为
三、填空题
13．已知，则______．
14．已知数列满足，，则的最小值为______．
15．已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．
16．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴旋转一周时，得到一几何体，则该几何体的表面积是______，体积是______．（其中）
四、解答题
17．已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围．
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19．已知函数．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最值；
（3）若，，求的值．
20．如图，已知四边形ABCD为矩形，底面ABCD，，E是PC的中点，过E点作交PB于点F．
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：；
（3）求BD与平面EFD所成角的余弦值．
21．已知数列是等差数列，其前n项和为，且满足，；数列满足：，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
22．已知函数，．
（1）当时，若曲线与直线相切，求k的值；
（2）当时，证明：；
（3）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
1---8：C A C D B B D A
9．ABD 10．AD 11．ACD 12．AD
13． 14． 15．
16．
17．（1）由题意得：，解得：或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
（2）因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
即，解得：，且，
综上：x的取值范围是.
18．（1）在中，，由正弦定理得：，
整理得，由余弦定理得：，而，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得：，
则，而，令，
在锐角中，，解得，，
于是得，则，
所以周长的取值范围是.
19．（1）因为．
所以的最小正周期，
∵，∴，
所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知的单调递减区间为，
∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
又，
故；
（3）∵，∴，由，得，
∴，∴，
．
20．（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
底面ABCD是正方形，点O是AC的中点，
E为PC的中点，OEPA，
OE平面EDB，PA平面EDB，
PA平面EDB．
（2）证明：PD底面ABCD，BC平面ABCD，
PDBC，底面ABCD是正方形，CDBC．
，PD平面PCD，CD平面PCD，
BC平面PCD，DE平面PCD，DEBC，
PD＝DC，E是PC的中点，DEPC，
PC平面PBC，BC平面PBC，，
DE平面PBC，PB平面PBC，DEPB，
EFPB，且，DE平面DEF，EF平面DEF，
PB平面EFDED面EFD，PBED．
（3）由（2）知PB平面EFD，所以BD在平面DEF内的射影为DF，
所以∠BDF为BD与平面EFD所成角，又因为PBDF所以DF是△PDB边PB上的高，
在△ADB中可得，在Rt△PBD中，可得
又所以在Rt△BDF中，
21．（Ⅰ）依题意，，解得：，∴；
∵，∴，
两式相减得：，∴，又∵满足上式，∴；
（Ⅱ）记，其前项和为，
则，
，
两式相减得：
∴，
设，则，
∴其前项和，
∵，∴
22．（1）当时，，则，设切点坐标为，则，故，所以.
（2）当时，，定义域为，，
令，则，当时，，则在上单调递增，
又，所以当时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，
所以，则.
（3）由题可知，，则不等式恒成立，
即，即，即，
即在上恒成立，
令，易知在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增，
则，所以，解得，
所以的取值范围为.
数学试题
一、单选题
1．若复数，则复数z的虚部是（ ）
A．i B．2i C．1 D．2
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知m，n表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①，，，则；
②，，，则；
③，，，则；
④，，，则
其中正确命题的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，（ ）
A． B． C． D．
6．已知正实数a，b满足，若对任意a，b恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，的面积为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为R的函数满足，，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为的等比数列
C．若，则数列的前2023项和为
D．若，则数列的前n项和为
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将该函数图象向左平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C．是曲线的对称轴 D．直线是曲线的一条切线
11．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论正确的是（ ）
A．当点P在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
B．记过点P平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为
C．当点P为中点时，异面直线与BD所成角为
D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为
12．已知奇函数在R上有定义，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的周期 B．函数在R上的最大值为
C．函数在上单调递减 D．方程在上的所有实根之和为
三、填空题
13．已知，则______．
14．已知数列满足，，则的最小值为______．
15．已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．
16．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴旋转一周时，得到一几何体，则该几何体的表面积是______，体积是______．（其中）
四、解答题
17．已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围．
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19．已知函数．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最值；
（3）若，，求的值．
20．如图，已知四边形ABCD为矩形，底面ABCD，，E是PC的中点，过E点作交PB于点F．
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：；
（3）求BD与平面EFD所成角的余弦值．
21．已知数列是等差数列，其前n项和为，且满足，；数列满足：，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
22．已知函数，．
（1）当时，若曲线与直线相切，求k的值；
（2）当时，证明：；
（3）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
1---8：C A C D B B D A
9．ABD 10．AD 11．ACD 12．AD
13． 14． 15．
16．
17．（1）由题意得：，解得：或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
（2）因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
即，解得：，且，
综上：x的取值范围是.
18．（1）在中，，由正弦定理得：，
整理得，由余弦定理得：，而，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得：，
则，而，令，
在锐角中，，解得，，
于是得，则，
所以周长的取值范围是.
19．（1）因为．
所以的最小正周期，
∵，∴，
所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知的单调递减区间为，
∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
又，
故；
（3）∵，∴，由，得，
∴，∴，
．
20．（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
底面ABCD是正方形，点O是AC的中点，
E为PC的中点，OEPA，
OE平面EDB，PA平面EDB，
PA平面EDB．
（2）证明：PD底面ABCD，BC平面ABCD，
PDBC，底面ABCD是正方形，CDBC．
，PD平面PCD，CD平面PCD，
BC平面PCD，DE平面PCD，DEBC，
PD＝DC，E是PC的中点，DEPC，
PC平面PBC，BC平面PBC，，
DE平面PBC，PB平面PBC，DEPB，
EFPB，且，DE平面DEF，EF平面DEF，
PB平面EFDED面EFD，PBED．
（3）由（2）知PB平面EFD，所以BD在平面DEF内的射影为DF，
所以∠BDF为BD与平面EFD所成角，又因为PBDF所以DF是△PDB边PB上的高，
在△ADB中可得，在Rt△PBD中，可得
又所以在Rt△BDF中，
21．（Ⅰ）依题意，，解得：，∴；
∵，∴，
两式相减得：，∴，又∵满足上式，∴；
（Ⅱ）记，其前项和为，
则，
，
两式相减得：
∴，
设，则，
∴其前项和，
∵，∴
22．（1）当时，，则，设切点坐标为，则，故，所以.
（2）当时，，定义域为，，
令，则，当时，，则在上单调递增，
又，所以当时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，
所以，则.
（3）由题可知，，则不等式恒成立，
即，即，即，
即在上恒成立，
令，易知在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增，
则，所以，解得，
所以的取值范围为.
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