《状元之路》2013-2014学年高中数学北师大版必修五单元测评：第一章 数　列（含解析）

单元测评 数　列
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(　　)
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
解析：??a1＝－2，d＝3.
答案：A
2．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1　　　　　　　 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析：∵T5＝a1a2a3a4a5＝a·a·a3＝1，∴a3＝1.
答案：B
3．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　)
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析：∴3(a1＋an)＝180.
∴a1＋an＝60.
∵(a1＋an)＝390，∴n＝13.
答案：A
4．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为(　　)
A．12 B．13
C．12或13 D．14
解析：∵a13＝0，∴n＝12或13，Sn最大．
答案：C
5．在等比数列{an}中，若a1＝1，q＝2，则a＋a＋…＋a＝(　　)
A．(2n－1)2 B.(2n－1)
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：Sn＝＝(4n－1)．
答案：D
6．在正项等比数列{an}中，a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析：∵a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log2(a5a6)5＝log395＝10.
答案：B
7．已知等差数列前n项的和为Sn，若S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
解析：???
∴绝对值最小的项为第7项．
答案：C
8．已知数列的前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且S25＝100，则a12＋a14为(　　)
A．16 B．4
C．8 D．不确定
解析：{an}是等差数列．
答案：C
9．某储蓄所计划从2011年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长8%，则到2014年底该储蓄所的吸储量将比2011年的吸储量增加(　　)
A．24% B．32%
C．(1.083－1)×100% D．(1.084－1)×1.083
答案：C
10．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第100项是(　　)
A．10 B．13
C．14 D．100
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝__________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.
又n＝1时，2n－3≠a1，
所以有an＝
答案：
12．设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2 006和a2 007是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 008＋a2 009＝__________.
解析：方程4x2－8x＋3＝0的两根是和，又q＞1，则a2 006＝，a2 007＝.
则q＝＝3.
所以a2 008＋a2 009＝q2(a2 006＋a2 007)＝18.
答案：18
13．用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{xn}的通项公式为xn＝(n∈N*)，则x1＋x2＋…＋x5n＝__________.
解析：x5n＝＝[n]＝n，则x1＋x2＋…＋x5n＝5[x5＋x10＋x15＋…＋x5(n－1)]＋x5n＝5(1＋2＋…＋n－1)＋n＝n2－n.
答案：n2－n
14．设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝__________.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，
所以f(x)＝kx＋1(k≠0)．
又f2(4)＝f(1)f(13)，
所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.
所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.
所以{f(2n)}是公差为4的等差数列．
所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝＝2n2＋3n.
答案：2n2＋3n
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)数列{an}的前n项和记为Sn，点(n，Sn)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N*)上．
求数列{an}的通项公式．
解：由点(n，Sn)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N*)上知Sn＝n2－4n，(4分)
当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5；(8分)
当n＝1时，a1＝S1＝－3，满足上式；(10分)
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－5.(12分)
16．(12分)(2012·肇庆高二检测)已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an和前n项和Sn；
(2)设cn＝，bn＝2cn，证明数列{bn}是等比数列．
解：(1)设{an}的公差为d，由已知条件得，
解得a1＝3，d＝－2，(3分)
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5，
Sn＝na1＋d＝－n2＋4n.(6分)
(2)∵an＝－2n＋5，
∴cn＝＝＝n；(8分)
∴bn＝2cn＝2n.(10分)
∵＝＝2(常数)，
∴数列{bn}是等比数列．(12分)
17．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解：(1)由Sn＝2n2＋n，可得
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n)－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，
当n＝1时，a1＝3符合上式，所以an＝4n－1(n∈N*)．
由an＝4log2bn＋3，(4分)
可得4n－1＝4log2bn＋3，
解得bn＝2n－1(n∈N*)．(6分)
(2)anbn＝(4n－1)·2n－1，
∴Tn＝3＋7×21＋11×22＋15×23＋…＋(4n－1)×2n－1，①
2Tn＝3×21＋7×22＋11×23＋15×24＋…＋(4n－1)×2n.②
①－②可得
－Tn＝3＋4(21＋22＋23＋24＋…＋2n－1)－(4n－1)×2n
＝3＋4×－(4n－1)×2n
＝－5＋(5－4n)×2n，
∴Tn＝5＋(4n－5)×2n.(12分)
18．(14分)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．
解：(1)因为(an＋1)2＝4Sn，
所以Sn＝，Sn＋1＝.
所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝，
即4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，
∴2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．(4分)
因为an＋1＋an≠0，
所以an＋1－an＝2，即{an}为公差等于2的等差数列．
由(a1＋1)2＝4a1，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.(6分)
(2)由(1)知bn＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝
＝－.(10分)
∵Tn＋1－Tn＝－－
＝－
＝＞0，
∴Tn＋1＞Tn.
∴数列{Tn}为递增数列，(12分)
∴Tn的最小值为T1＝－＝.(14分)