《状元之路》2013-2014学年高中数学北师大版必修五单元测评：第二章 解三角形（含解析）

单元测评　解三角形
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．在△ABC中，a＝，b＝1，B＝30°，则A＝(　　)
A．60°　　　　　　　　 B．30°[来源:学科网ZXXK]
C．120° D．60°或120°
解析：由＝知sinA＝，又a＞b，∴A＝60°或120°.[来源:学科网ZXXK]
答案：D
2．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形(　　)
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
解析：由A＝130°，而a＜b，可知无解．
答案：A
3．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则角C等于(　　)
A．30° B．60°或120°
C．60° D．120°
解析：由余弦定理可得a＝3，根据正弦定理有＝，故sinC＝，故C＝60°或120°.若C＝60°，则B＝90°＞C，而b＜c，不满足大边对大角，故C＝120°.
答案：D
4．在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．2 B.
C．2或4 D.或2
解析：如图，AD＝AB·sinB＝＜2，故△ABC有两解：S△ABC＝BC·AD＝，
S△ABC′＝BC′·AD＝2.
答案：D
5．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶4∶5，则a∶b∶c等于(　　)
A．3∶4∶5 B．2∶∶(＋1)
C．1∶∶2 D．2∶2∶(＋)
解析：∵A∶B∶C＝3∶4∶5，∴A＝45°，B＝60°，C＝75°.
∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶∶(＋1)．
答案：B
6．在△ABC中，bcosA＝acosB，则该三角形为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：∵b＝2RsinB，a＝2RsinA，
∴sinBcosA＝sinAcosB，
∴sin(A－B)＝0，
∴A－B＝0或A－B＝π(舍去)，∴A＝B.
∴三角形ABC为等腰三角形．
答案：C
7．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则角A的对边长为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，
即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，
∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，①
又cosA＝＝，∴b2＋c2－a2＝bc.②
又S△ABC＝bc·sinA＝10，
∴bc＝40.③
由①②③可知a＝7.
答案：C
8．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A. B．5
C．6 D．7
解析：四边形面积可分为求△ABD与△BCD两部分的和，由余弦定理BD＝2，
S△BCD＝BC·CDsin120°＝，∠ABD＝120°－30°＝90°，
∴S△ABD＝AB·BD＝4.
∴S四边形ABCD＝＋4＝5.
答案：B
9．△ABC中，若＝，则该三角形一定是(　　)
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：由acosA＝bcosB，得sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：D
10．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是(　　)
A．5(＋) km B．5(－) km
C．10(＋) km D．10(－) km
解析：由题意∠BAC＝30°，∠ACB＝75°，
＝，
∴BC＝＝10(－)．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是__________．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
解析：由正弦定理得BC∶AC＝sinA∶sinB＝1∶2，
又∵BC＝10，∴AC＝20.
∴AB＝AC＝20，
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
答案：50
12．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于_____．
解析：在△ABC中，由面积公式得S＝BC·AC·sinC＝×2·AC·sin60°＝AC＝，
∴AC＝2，再由余弦定理得：AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC·cosC＝22＋22－2×2×2×＝4，[来源:学科网]
∴AB＝2.
答案：2
13．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝600 m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知|AB|＝1 km，水流速度为2 km/h，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为__________km/h.
解析：设客船在水流方向上的分速度为vx km/h，在垂直于水流方向上的分速度为vy km/h，由得vx＝vy＝6，所以客船在静水中的速度大小为v＝＝6(km/h)．
答案：6
14．(2012·宁波高一检测)有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清，具体如下：在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B＝45°，a＝，__________.求角A.若已知正确答案为A＝60°，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件．
解析：在△ABC中，若已知B＝45°，a＝，A＝60°，则C＝180°－45°－60°＝75°.
由正弦定理得AB＝＝＝＝，
所以已知条件可填AB＝，另外，若填C＝75°，则未使用所有条件，若填AC的长度，求出A＝60°或120°，不合题意．
答案：c＝
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
解：(1)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，
因为sinB≠0，所以cosA＝.(4分)
由于0＜A＜π，故A＝.(6分)
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×＝3，
所以a2＋c2＝b2，所以B＝.(8分)
因为D为BC中点，所以BD＝，AB＝1，
所以AD＝＝.(12分)
16．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A＝，sinB＝.
(1)求cosB的值；
(2)若2c＝b＋2，求边长b.
解：(1)∵sinB＝＜＝sinA，
∴B＜A，(4分)
∴B为锐角，∴cosB＝.(6分)
(2)sinC＝sin(A＋B)＝×＋×＝.
由正弦定理得＝，(8分)
又c＝＋1，故＝，
解得b＝.(12分)
17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.
(1)求cosA；
(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
解：(1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，
∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，
∴3cos(B＋C)＝－1，(4分)
∴cos(π－A)＝－，∴cosA＝.(6分)
(2)由(1)得sinA＝，
由面积公式bcsinA＝2可得bc＝6，①
根据余弦定理得
cosA＝＝＝，
则b2＋c2＝13，　②(10分)
①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
(12分)
18．(14分)已知函数f(x)＝msinx＋cosx(m＞0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)△ABC中，f＋f＝4sinAsinB，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝3，求△ABC的面积．
解：(1)由题意，f(x)的最大值为，所以＝2.
而m＞0，于是m＝，f(x)＝2sin.
(2分)
由正弦函数的单调性及周期性可得x满足
2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
(6分)
(2)设△ABC的外接圆半径为R，
由题意，得2R＝＝＝2.
化简f＋f＝4sinAsinB，得
sinA＋sinB＝2sinAsinB.(8分)
由正弦定理，得2R(a＋b)＝2ab，a＋b＝ab.①
由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，
即(a＋b)2－3ab－9＝0.②
将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，
解得ab＝3或ab＝－(舍去)，(12分)
故S△ABC＝absinC＝.(14分)