单元测评 解三角形
(时间:90分钟 满分:120分)
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,共50分.
1.在△ABC中,a=,b=1,B=30°,则A=( )
A.60° B.30°[来源:学科网ZXXK]
C.120° D.60°或120°
解析:由=知sinA=,又a>b,∴A=60°或120°.[来源:学科网ZXXK]
答案:D
2.在△ABC中,已知a=11,b=20,A=130°,则此三角形( )
A.无解 B.只有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
解析:由A=130°,而a<b,可知无解.
答案:A
3.在△ABC中,已知b=3,c=3,A=30°,则角C等于( )
A.30° B.60°或120°
C.60° D.120°
解析:由余弦定理可得a=3,根据正弦定理有=,故sinC=,故C=60°或120°.若C=60°,则B=90°>C,而b<c,不满足大边对大角,故C=120°.
答案:D
4.在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为( )
A.2 B.
C.2或4 D.或2
解析:如图,AD=AB·sinB=<2,故△ABC有两解:S△ABC=BC·AD=,
S△ABC′=BC′·AD=2.
答案:D
5.在△ABC中,若A∶B∶C=3∶4∶5,则a∶b∶c等于( )
A.3∶4∶5 B.2∶∶(+1)
C.1∶∶2 D.2∶2∶(+)
解析:∵A∶B∶C=3∶4∶5,∴A=45°,B=60°,C=75°.
∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶∶(+1).
答案:B
6.在△ABC中,bcosA=acosB,则该三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析:∵b=2RsinB,a=2RsinA,
∴sinBcosA=sinAcosB,
∴sin(A-B)=0,
∴A-B=0或A-B=π(舍去),∴A=B.
∴三角形ABC为等腰三角形.
答案:C
7.若△ABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则角A的对边长为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
解析:a+b+c=20,∴b+c=20-a,
即b2+c2+2bc=400+a2-40a,
∴b2+c2-a2=400-40a-2bc,①
又cosA==,∴b2+c2-a2=bc.②
又S△ABC=bc·sinA=10,
∴bc=40.③
由①②③可知a=7.
答案:C
8.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( )
A. B.5
C.6 D.7
解析:四边形面积可分为求△ABD与△BCD两部分的和,由余弦定理BD=2,
S△BCD=BC·CDsin120°=,∠ABD=120°-30°=90°,
∴S△ABD=AB·BD=4.
∴S四边形ABCD=+4=5.
答案:B
9.△ABC中,若=,则该三角形一定是( )
A.等腰三角形但不是直角三角形
B.直角三角形但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析:由acosA=bcosB,得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A+2B=180°.
∴A=B或A+B=90°.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
答案:D
10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向航行,进行海面巡逻,当行驶半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若C船位于A处北偏东30°方向上,则缉私艇B与船C的距离是( )
A.5(+) km B.5(-) km
C.10(+) km D.10(-) km
解析:由题意∠BAC=30°,∠ACB=75°,
=,
∴BC==10(-).
答案:D
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11.在等腰三角形ABC中,已知sinA∶sinB=1∶2,底边BC=10,则△ABC的周长是__________.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
解析:由正弦定理得BC∶AC=sinA∶sinB=1∶2,
又∵BC=10,∴AC=20.
∴AB=AC=20,
∴△ABC的周长是10+20+20=50.
答案:50
12.若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于_____.
解析:在△ABC中,由面积公式得S=BC·AC·sinC=×2·AC·sin60°=AC=,
∴AC=2,再由余弦定理得:AB2=BC2+AC2-2AC·BC·cosC=22+22-2×2×2×=4,[来源:学科网]
∴AB=2.
答案:2
13.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=600 m,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知|AB|=1 km,水流速度为2 km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为__________km/h.
解析:设客船在水流方向上的分速度为vx km/h,在垂直于水流方向上的分速度为vy km/h,由得vx=vy=6,所以客船在静水中的速度大小为v==6(km/h).
答案:6
14.(2012·宁波高一检测)有一道解三角形的题,因为纸张破损,在划横线地方有一个已知条件看不清,具体如下:在△ABC中角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知角B=45°,a=,__________.求角A.若已知正确答案为A=60°,且必须使用所有条件才能解得,请写出一个符合要求的已知条件.
解析:在△ABC中,若已知B=45°,a=,A=60°,则C=180°-45°-60°=75°.
由正弦定理得AB====,
所以已知条件可填AB=,另外,若填C=75°,则未使用所有条件,若填AC的长度,求出A=60°或120°,不合题意.
答案:c=
三、解答题:本大题共4小题,满分50分.
15.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.
解:(1)由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,
因为sinB≠0,所以cosA=.(4分)
由于0<A<π,故A=.(6分)
(2)因为a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1×=3,
所以a2+c2=b2,所以B=.(8分)
因为D为BC中点,所以BD=,AB=1,
所以AD==.(12分)
16.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,A=,sinB=.
(1)求cosB的值;
(2)若2c=b+2,求边长b.
解:(1)∵sinB=<=sinA,
∴B<A,(4分)
∴B为锐角,∴cosB=.(6分)
(2)sinC=sin(A+B)=×+×=.
由正弦定理得=,(8分)
又c=+1,故=,
解得b=.(12分)
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求cosA;
(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.
解:(1)∵3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC,
∴3cosBcosC-3sinBsinC=-1,
∴3cos(B+C)=-1,(4分)
∴cos(π-A)=-,∴cosA=.(6分)
(2)由(1)得sinA=,
由面积公式bcsinA=2可得bc=6,①
根据余弦定理得
cosA===,
则b2+c2=13, ②(10分)
①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.
(12分)
18.(14分)已知函数f(x)=msinx+cosx(m>0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;
(2)△ABC中,f+f=4sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.
解:(1)由题意,f(x)的最大值为,所以=2.
而m>0,于是m=,f(x)=2sin.
(2分)
由正弦函数的单调性及周期性可得x满足
2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.
(6分)
(2)设△ABC的外接圆半径为R,
由题意,得2R===2.
化简f+f=4sinAsinB,得
sinA+sinB=2sinAsinB.(8分)
由正弦定理,得2R(a+b)=2ab,a+b=ab.①
由余弦定理,得a2+b2-ab=9,
即(a+b)2-3ab-9=0.②
将①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,
解得ab=3或ab=-(舍去),(12分)
故S△ABC=absinC=.(14分)