《状元之路》2013-2014学年高中数学北师大版必修五单元测评：第三章 不等式（含解析）

单元测评 不等式
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若a＜b＜0，则(　　)
A.＜　　　　　　　 B．0＜＜1
C．ab＞b2 D.＞
解析：∵a＜b＜0，∴两边同乘以b得ab＞b2，故选C.
答案：C
2．满足不等式y2－x2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：取测试点(0,1)可知C，D错；再取测试点(0，－1)可知A错，故选B.
答案：B
3．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是(　　)
A.≥ B.＋≥2
C.≥2 D．(a＋b)≥4
解析：2＝≤＝，当且仅当a＝b时取等号，∴≥2.
答案：C
4．在R上定义运算☆，a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：根据定义得：x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1，所以实数x的取值范围为(－2,1)，故选B.
答案：B
5．已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，那么下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤
解析：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加可知2(a2＋b2＋c2)≥2(bc＋ab＋ac)，
∴a2＋b2＋c2≥1.
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2.
∴(a＋b＋c)2≥3.
答案：B
6．若不等式x2－2ax＜33x＋a2恒成立，则a的取值范围为(　　)
A．0＜a＜1 B．a＞
C．0＜a＜ D．a＜
解析：由题意得－x2＋2ax＜3x＋a2恒成立，即x2＋(3－2a)x＋a2＞0恒成立．所以Δ＝(3－2a)2－4a2＜0，解得a＞，故选B.
答案：B
7．已知变量x，y满足目标函数是z＝2x＋y，则有(　　)
A．zmax＝5，zmin＝3
B．zmax＝5，z无最小值
C．zmin＝3，z无最大值
D．z既无最大值，也无最小值
解析：可行域为：
如图所示：z在A点取得最小值，zmin＝3，
z在B点取得最大值，zmax＝5.
答案：A
8．若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－8]∪[0，＋∞)
B．(－∞，－4]
C．(－∞，4]
D．(－∞，－8]
解析：分离变量：－(4＋a)＝3x＋≥4，得a≤－8.故选D.
答案：D
9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：＝＜0.
(1)当x＞0时，f(x)＜0，
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(1)＝0，
∴0＜x＜1.
(2)当x＜0时，f(x)＞0，
∵f(x)在(－∞，0)上也为增函数，f(－1)＝0，
∴－1＜x＜0.
答案：D
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＞0，T＝＋＋，则(　　)
A．T＞0 B．T＜0
C．T＝0 D．T≥0
解析：方法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－＜0，排除A，C，D，可知选B.
方法二：由a＋b＋c＝0，abc＞0，知三数中一正两负，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab＜0，－c2＜0，abc＞0，故T＜0，应选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．函数y＝的定义域是__________．
解析：要使函数有意义，只需6－x－x2＞0，即x2＋x－6＜0.
∵Δ＝1＋24＝25＞0，∴方程x2＋x－6＝0有两个不相等的实数根分别为－3,2.
∴不等式x2＋x－6＜0的解为－3＜x＜2，
∴函数的定义域为{x|－3＜x＜2}．
答案：{x|－3＜x＜2}
12．若x＞y＞z＞1，则，，，从大到小依次排列为__________．
解析：取特殊值法，由x＞y＞z＞1，
可取x＝4，y＝3，z＝2，分别代入得
＝2，＝2，＝，＝2.
故＞＞＞.
答案：＞＞＞
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________．
解析：∵(x＋y)＝1＋＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，∴(＋1)2≥9，∴a≥4.
答案：4
14．若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则的最小值为__________．
解析：由题意：2x＋y－3＝0 ＋＝1，
∴＝＋＝·＝＋≥·2＋＝3，
当且仅当x＝y＝1时取得最小值．
答案：3
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知a，b是不相等的两个正数，求证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2.
证明：∵(a＋b)(a3＋b3)－(a2＋b2)2
＝(a4＋ab3＋ba3＋b4)－(a4＋2a2b2＋b4)
＝ab(a－b)2，(6分)
∵a，b∈R＋且a≠b，
∴ab＞0，(a－b)2＞0，
∴ab(a－b)2＞0.
∴(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2.(12分)
16．(12分)已知函数f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋c.
(1)当c＝19时，解关于a的不等式f(1)＞0.
(2)若关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，求实数a，c的值．
解：(1)由已知有：f(1)＝－3＋a(6－a)＋19＞0，
即a2－6a－16＜0，解得：－2＜a＜8.
所以不等式的解集为：(－2,8)．(6分)
(2)由关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)可知：－1，3是关于x的方程3x2－a(6－a)x－c＝0的两个根，则有解得：a＝3±，c＝9.(12分)
17．(12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．
解：∵∴
∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.
∴(4分)
建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．
令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．
取B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝，kAC＝.
∴≤≤.
故的最大值是，最小值是.(12分)
18．(14分)某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝，(注：利润与投资金额单位：万元)
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B
两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；
(2)试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
解：(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100－x(万元)资金投入B产品，利润总和
f(x)＝18－＋
＝38－－(x∈[0,100])．(6分)
(2)∵f(x)＝40－，x∈[0,100]，
∴由基本不等式得：
f(x)≤40－2＝28，取等号当且仅当＝时，即x＝20.(12分)
答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．(14分)