《状元之路》2013-2014学年高中数学人教A版必修三单元测评：第三章 概　率（含解析）

单元测评　概　率
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．[来源:Zxxk.Com]
1．编号为1,2,3的三位学生随意坐入编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是(　　)
A.　 　　B.　 　　C.　 　　D.
解析：编号为1,2,3的三位学生随意坐入编号为1,2,3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率P＝＝.
答案：B
2．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中不同的6个数字组成的六位数码，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字有1个基本事件，则恰好能登录的概率为.
答案：D
3. 已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是(　　)
A. B．1－
C. D.
解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．
则阴影部分的面积是42－4××π×22＝16－4π，
所以所求概率是＝1－.
答案：B
4．(2013·江西卷)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：从A，B中各任意取一个数，对应的基本事件有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种，而这两个数之和等于4的基本事件有：(2,2)，(3,1)，共2种，故所求的概率为P＝＝.
答案：C
5．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：甲、乙、丙三人中任选两名代表有如下三种情况：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)，其中甲被选中包含两种，因此所求概率为P＝.
答案：D
6．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：从甲、乙、丙、丁、戊5人中录用3人的所有事件为：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、乙丙丁、乙丙戊、丙丁戊、乙丁戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊，共10种，其中甲或乙被录用包含9个基本事件，故甲或乙被录用的概率为.故选D.
答案：D
7．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意知(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种情况．而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为＝.
答案：D
8．在面积为S的△ABC的边AC上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：如图，在△ABC中，点F是AC边的四等分点，设△ABC的高为AD，△FBC的高为FE，则FE＝AD，
∴S△FBC＝S△ABC＝，要使△PBC的面积大于，则点P需在线段FA上选取，故P＝＝.
答案：C
9．(2013·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　)
A. B. [来源:Zxxk.Com]
C. D.
解析：不妨设AB＝1，AD＝x，则＝x，由图形的对称性和题意知，点P应在EF之间，EF＝.DE＝CF＝，当点P在E点时，BP最大为 ，所以x2＋＝1，∴x＝.
答案：D
10．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
解析：利用统计图表可知在区间[25,30)上的频率为1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15,20)上的频率为0.04×5＝0.2，故所求二等品的概率为0.45.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝__________.
解析：因为x满足|x|≤m的概率为，所以由几何概型得，当－m≤－2，即m≥2时，＝，解得m＝3；当－m＞－2，即0≤m＜2时，＝，解得m＝，不符合0≤m＜2应舍去．故m＝3.
答案：3
12．(2013·重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为__________．
解析：三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共6种不同的排法，其中甲乙相邻有4种排法，所以甲、乙相邻而站的概率为＝.
答案：
13．(2013·新课标全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．
解析：从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数的基本事件总数为10，其和为5有两个基本事件，所以其概率为0.2.
答案：0.2
14．(2013·福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为__________．
解析：设事件A：“3a－1＜0”，则a∈，所以P(A)＝＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)(2013·辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.(6分)
(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.(12分)
16．(12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
解：(1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)
＝800X－39 000.
当X∈[130,150]时，
T＝500×130＝65 000.
所以T＝(6分)
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(12分)
17．(12分)(2013·湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的药物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：[来源:学科网ZXXK]
X
1
2
3
4
Y
51
48
45[来源:学,科,网]
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝
＝＝46.(6分)
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.(12分)
18．(14分)(2013·广东卷)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
解：(1)苹果重量在[90,95)的频率为＝＝0.4；(4分)
(2)重量在[80,85)的苹果有×4＝1个；(8分)
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，有1个重量在[80,85)中，3个在[95,100)中．设“在[80,85)和[95,100)中各有1个苹果”为事件A，则P(A)＝＝.
故重量在[80,85)和[95,100)中各有1个苹果的概率为.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
(14分)